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1、求不定方程整数解的常用方法 不定方程是指未知数的个数多于方程的个数，且未知数受到某些限制（如要求是有理数，整数或正整数等)的方程或方程组。不定方程也称丢番图方程，是数论的重要分支学科，也是数学上最活跃的数学领域之一。我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百钱百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理。一般常用的求不定方程整数解的方法包括：(1)分离整数法此法主要是通过解未知数的系数中绝对值较小的未知数，将其结果中整数部分分离出来，则剩下部分仍为整数，则令其为一个新的整数变量，以此类推，直到能直接观察出特解的不定方程为止，再追根溯源，求出原方程的特解.例1 求不定方程的整数
2、解解 已知方程可化为 因为y是整数，所以也是整数.由此 x+2=1，-1，3，-3，即 x=-1，-3，1，-5，相应的所以方程的整数解为(-1,4),(-3,0),(1,2),(-5,0).(2) 辗转相除法此法主要借助辗转相除式逆推求特解，具体步骤如下：第一步，化简方程，尽量化简为简洁形式(便于利用同余、奇偶分析的形式);第二步，缩小未知数的范围，就是利用限定条件将未知数限定在某一范围内，便于下一步讨论;第三步，用辗转相除法解不定方程.例2 求不定方程的整数解.解 因为,所以原方程有整数解.用辗转相除法求特解: 从最后一个式子向上逆推得到 所以 则特解为 通解为 或改写为 (3) 不等式估
3、值法先通过对所考查的量的放缩得到未知数取值条件的不等式，再解这些不等式得到未知数的取值范围.例3 求方程适合的正整数解.解 因为 所以 所以 即 所以 所以当时有 所以 所以 所以所以当时有 所以 所以 所以所以(4) 逐渐减小系数法此法主要是利用变量替换，使不定方程未知数的系数逐渐减小，直到出现一个未知量的系数为的不定方程为止，直接解出这样的不定方程(或可以直接能用观察法得到特解的不定方程为止，再依次反推上去）得到原方程的通解.例4 求不定方程的整数解.解 因为，所以原方程有整数解.有，用来表示，得 则令 由4b)，求a和b最大公约数(a，b)的步骤如下：用a除以b，得ab=q.r1(0r1)。若r1=0，则(a，b)=b；若r10，则再用b除以r1，得br1=q.r2 (0r2）.若r2=0，则(a，b)=r1；若r20，则继续用r1除以r2，如此下去，直到能整除为止。其最后一个余数为0的被除数的除数即为(a, b)。例如：a=25,b=15，a/b=1余10,b/10=1余5,10/5=2余0,最后一个余数为0的被除数的除数就是5, 5就是所求最大公约数。