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1、15章习题参考答案15-3 求各图中点 P 处磁感应强度的大小和方向。解 (a) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：210coscos4aIB对于导线 1：，因此0122aIB 40 1对于导线 2：，因此2102BaIBBB 40 21p方向垂直纸面向外。 (b) 因为长直导线对空间任一点产生的磁感应强度为：210coscos4aIB对于导线 1：，因此，方向垂直纸面向内。0122rI aIB 4400 1对于导线 2：，因此，方向垂直纸面向内。212rI aIB 4400 2半圆形导线在 P 点产生的磁场方向也是垂直纸面向内，大小为半径相同、电流相同的 圆形导线在圆心处产生的磁感
2、应强度的一半，即，方向垂直纸面向内。rI rIB422100 3所以，rI rI rI rI rIBBBB4244400000 321p (c) P 点到三角形每条边的距离都是ad63，o301o1502每条边上的电流在 P 点产生的磁感应强度的方向都是垂直纸面向内，大小都是 aI dIB 23150cos30cos40000 0故 P 点总的磁感应强度大小为aIBB 2930 0方向垂直纸面向内。15-4 在半径为 R 和 r 的两圆周之间，有一总匝数为 N 的均匀密绕平面线圈，通有电流 I， 方向如图所示。求中心 O 处的磁感应强度。 解 由题意知，均匀密绕平面线圈等效于通以 I NI 圆
3、盘， 设单位长度线圈匝数为 nrRNn建立如图坐标，取一半径为 x 厚度为 dx 的 圆环,其等效电流为:xrRNIxjIddd)(2d 2dd00 0rRxxNI xIBrR rRNI rRxxNIBBRr NIln)(2)(2dd00 00方向垂直纸面向外.15-5 电流均匀地流过一无限长薄壁半圆筒，设电流 I=5.0A，圆筒半径 R=如图m100 . 12 所示。求轴线上一点的磁感应强度。 解 把无限长薄壁半圆筒分割成无数细条，每一细条可看作一无限长直导线，取一微元 dl则IRlIdd 则在 O 点所产生的磁场为l d2200 2d 2ddRlI RIB 又因，ddRl 所以，RI RI
4、B200 2d 2dd ，cosddxBB sinddyBB 半圆筒对 O 点产生的磁场为：，0 0xxdBBRIBB200yyd所以只有方向分量，即，沿的负方向。ByRIBB20 yy15-6 矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示，均匀密绕共 N 匝，通以电流 I，试证明通过螺绕环截面的磁通量为210ln2DDNIh 证明 建立如图所示坐标，在螺绕环横截面上任取一微元xhSdd以与螺绕环同心的圆周为环路，其半径为 r，2212DrDNIrB02dlByxdldB Oxdx xrNIB 20SBdd所以 210220ln2d2dd12DDhNIrhrNISBDD 15-7 长直导线与半径为 R 的均
5、匀导体圆环相切于点 a，另一直导线沿半径方向与圆aa bb 环接于点 b，如图所示。现有稳恒电流 I 从端 a 流入而从端 b 流出。(1)求圆环中心点 O 的 B。(2)B 沿闭合路径 L 的环流等于什么? Ll dB解 (1)43210BBBBB其中: 04BRIB 40 1,RIBRIB231,23230 320 22332 ll II故与大小相等,方向相反,所以2B3B032 BB因而,方向垂直纸面向外.RIBB 40 10(2)由安培环路定理,有:3)32(d00i0IIII LlB15-9 磁场中某点处的磁感应强度，一电子以速度T20. 040. 0jiB通过该点。求作用在该电子上
6、的磁场力。sm100 . 1105 . 066jiv解 由洛仑兹力公式,有N10810 02 . 04 . 000 . 15 . 0106 . 114619kkji BvF q15-10 在一个圆柱磁铁 N 极正上方，水平放置一半径为 R 的导线圆环，如图所示，其中通 有顺时针方向(俯视)的电流 I。在导线处的磁场 B 的方向都与竖直方向成角。求导线环受0120 ORabab12 34的磁场力。 解 圆环上每个电流元受力为BlF ddI将分解为 z 分量和径向分量：BrzBBB，coszBB sinrBB 所以 rzrzddddBlBlBBlFIIIrzddBlF IzrddBlF I对于圆环
7、 0drF圆环所受合力为，方向沿 z 轴正向。sin2dsind20rzRIBRIBlIBFF15-11 如图所示，空心圆柱无限长导体内外半径分别为 a 和 b，导体内通有电流 I，且电流 在横截面上均匀分布，介质的影响可以忽略不计。求证导体内部(a，说明载流平面的磁场的方向与所放入的均匀磁场的方向在2B1BB0BxBxyabcdabcd平面右侧是一致的，在平面左侧是相反的，进而说明平面上电流方向是垂直于纸面向内。 设面电流密度为 j。则jBBBB000121jBBBB000221由此二式解得 ， 21021BBB12 01BBj在载流平面上沿电流方向取长为 h、宽为 dl 的条形面积，面积
8、dS=hdl，面积上电流 dI=jdl，此电流受到的磁力大小为 SBjlBjhIBhFdddd载流平面单位面积所受磁力大小为 2 12 2 01212 021 21 ddBBBBBBBjSF方向为垂直于平面向左。15-16 电流为的等边三角形载流线圈与无限长直线电流共面，如图所示。求：2I1I(1)载流线圈所受到的总的磁场力； (2)载流线圈所受到的磁力矩(通过点 c 并垂直于纸面方向的直线为轴)。 解 ab 边到长直导线的距离为 d，电流在 ab 边上的磁场为1IdIB 210方向垂直纸面向内。此磁场对 ab 边的作用力为dlIIBlIF 2210 2AB方向向左。在 ac 边上任取一,设到
9、的距离为，则在处l dl d1Ix1Il d产生的磁场为， 受到的磁力，又因为xIB 210l dBlFdd2IBl d所以，0210 230cosd 2ddx xIIlBIF所以，方向如图所示。)231ln( 3d31023 10 acdlII xxIIFldd同理，可求得，方向如图所示。acbcFF则线圈受到的合力为：，0yFOxxdl )231ln( 31 2210 bcxacxabxdl dlIIFFFF方向沿 x 轴负向。（2）因为 的方向垂直直面向外nPSIddMn所以BPMd又因为，所以，所以BPMMdd0dM0M15-17 半径为 a、线电荷密度为(常量)的半圆，以角速度绕轴匀
10、速旋转，如图所OO 示。求：(1)在点 O 产生的磁感应强度 B；(2)旋转的带电半圆的磁矩。mP解 （1）把半圆分成无数个小弧每段带电量dddalq旋转后形成电流元 d2d2ddaqqnI由圆环得 23222 0 2xRIRB sinaR cosax dsin4d2sincossin2dsind20 322 0 23222222 0 IaaaaIaB方向向上8dsin4d0020BB（2）因为， nmSIP d2sindsinSdId23 22 maIaP，方向向上。4dsin2d2sin3002323maaaP15-18 有一均匀带电细直棒 AB，长为 b，线电荷密度为。此棒绕垂直于纸面的
11、轴 O 以匀 角速度转动，转动过程中端 A 与轴 O 的距离a 保持不变，如图所示。求：(1)点 O 的磁感应强度；0B(2)转动棒的磁矩； mP(3)若 ab，再求和。0BmP解 (1)均匀带电直棒 AB 绕 O 轴旋转，其结果等效于载流圆盘。在均匀直棒上取一微元,等效电流为：rdqdrqId22dd 它在 O 点的磁感应强度rr rIBd 42dd00 0（，方向垂直直面向里）aba rrBbaaln4d 4d00 00 B0(2)rrIrpd21dd22 mbaarrppd21d2 mm6/ )(33aba(3)若 ab，则有： ， ab abalnaq abB 4400 0与带电粒子情
12、况相同b),/31 ()( ,33abababa23 m2136aqabap与点电荷的磁矩相同15-20 有一个无限长直圆筒形导体，导体和空腔半径分别为和，它们的轴线相互平行，2R1R两轴线间的距离为 a(a+2)，如图所示。电流 I 沿轴向流动，在横截面上均匀分2R1R1R布。求两轴线上任一点的磁感应强度。解 根据叠加原理，此系统可看作由半径为，其上电流密度为的实心导2R2 12 2RRIj体，与半径为的，电流密度为-j 的实心导体所构成的。1R设 j 沿 z 轴正方向，根据安培环路定理，半径为电流均匀分布的导体，在 O 点产生2R的磁场为 0，而半径为电流均匀分布的导体，在 O 点产生的磁场为1RaRRIRRRI aR ajRB2 12 22 10 2 12 22 102 10 O222 1 2OROROBBB由环路定理：)(22 12 20OR 2RRIaB0 1ORBOABab煤 所以，方向垂直纸面向外)(22 12 20ORO 2RRIaBB