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2、2）求点C坐标；（3）直线y=x+1上是否存在点P，使得BCP与OAB相似？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由2（2015三亚三模）如图，直线y=x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（1，0）（1）求B、C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDB
3、F的最大面积及此时E点的坐标3（2015金山区一模）如图，已知直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线y=ax2+bx+2（a0）经过点A和点B（1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AD上取一点F（点F不与点A重合）过点F作x轴的垂线交抛物线于点G、交x轴于点H当FG=GH时，求点H的坐标；（3）设抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，点M在线段AB上，当AEM与BCM相似时，求点M的坐标4（2015普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（m，0）和点B（0，2m）（m0），点C在x轴上（不与点A重合）（1）当BOC与AOB相似时，请直接写出
4、点C的坐标（用m表示）（2）当BOC与AOB全等时，二次函数y=x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，求m的值，并求点C的坐标（3）P是（2）的二次函数图象上的一点，APC=90，求点P的坐标及ACP的度数5（2015宝山区一模）（1）数学小组的单思稿同学认为形如的抛物线y=ax2+bx+c，系数a、b、c一旦确定，抛物线的形状、大小、位置就不会变化，所以称数a、b、c为抛物线y=ax2+bx+c的特征数，记作a，b，c；请求出与y轴交于点C（0，3）的抛物线y=x22x+k在单同学眼中的特征数；（2）同数学小组的尤恪星同学喜欢将抛物线设成y=a（x+m）2+k的顶点式，因此坚持称a、m、k
5、为抛物线的特征数，记作a，m，k；请求出上述抛物线在尤同学眼中的特征数；（3）同一个问题在上述两位同学眼中的特征数各不相同，为了让两人的研究保持一致，同组的董和谐将上述抛物线表述成：特征数为u，v，w的抛物线沿平行于某轴方向平移某单位后的图象，即此时的特征数u，v，w无论按单思稿同学还是按尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，请你根据数学推理将董和谐的表述完整地写出来；（4）在直角坐标系xOy中，上述（1）中的抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），请直接写出ABC的重心坐标6（2015松江区一模）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，3）和点（1，5）；（
6、1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分PCO，求m的值7（2015山西模拟）如图1，P（m，n）是抛物线y=x21上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PHl，垂足为H【特例探究】（1）填空，当m=0时，OP=_，PH=_；当m=4时，OP=_，PH=_【猜想验证】（2）对任意m，n，猜想OP与PH大小关系，并证明你的猜想【拓展应用】（3）如图2，如果图1中的抛物线y=x21变成y=x24x+3，直线l变成
7、y=m（m1）已知抛物线y=x24x+3的顶点为M，交x轴于A、B两点，且B点坐标为（3，0），N是对称轴上的一点，直线y=m（m1）与对称轴于点C，若对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离用含m的代数式表示MC、MN及GN的长，并写出相应的解答过程；求m的值及点N的坐标8（2015徐汇区一模）已知：如图，抛物线C1：y=ax2+4ax+c的图象开口向上，与x轴交于点A、B（A在B的左边），与y轴交于点C，顶点为P，AB=2，且OA=OC（1）求抛物线C1的对称轴和函数解析式；（2）把抛物线C1的图象先向右平移3个单位，再向下平移m个单位得到抛物线C2，记顶点为M，
8、并与y轴交于点F（0，1），求抛物线C2的函数解析式；（3）在（2）的基础上，点G是y轴上一点，当APF与FMG相似时，求点G的坐标9（2014辽阳）如图，在RtABC中，C=90，顶点A、C的坐标分别为（1，2），（3，2），点B在x轴上，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点（1）求该抛物线所对应的函数关系式；（2）点P是抛物线上的一点，当SPAB=SABC时，求点P的坐标；（3）若点N由点B出发，以每秒个单位的速度沿边BC、CA向点A移动，秒后，点M也由点B出发，以每秒1个单位的速度沿线段BO向点O移动，当其中一个点到达终点时另一个点也停止移动，点N的移动时间为t秒，当MNAB时，请直接
9、写出t的值，不必写出解答过程10（2014梧州）如图，抛物线y=ax2+bx+2与直线l交于点A、B两点，且A点为抛物线与y轴的交点，B（2，4），抛物线的对称轴是直线x=2，过点A作ACAB，交抛物线于点C、x轴于点D（1）求此抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）抛物线上是否存在点K，使得以AC为边的平行四边形ACKL的面积等于ABC的面积？若存在，请直接写出点K的横坐标；若不存在，请说明理由提示：抛物线y=ax2+bx+c（a0）的对称轴为x=，顶点坐标为（，）11（2014青海）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为M（2，4），与x轴交于A、B两点，且A（6，0），与x轴交
10、于点C（1）求抛物线的函数解析式；（2）求ABC的面积；（3）能否在抛物线第三象限的图象上找到一点P，使APC的面积最大？若能，请求出点P的坐标；若不能，请说明理由12（2014河池）如图（1），在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴交于A（1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，3），顶点为D（1，4），对称轴为DE（1）抛物线的解析式是_；（2）如图（2），点P是AD上一个动点，P是P关于DE的对称点，连接PE，过P作PEPE交x轴于F设S四边形EPPP=y，EF=x，求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；（3）在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使BCQ成为
11、以BC为直角边的直角三角形？若存在，求出Q的坐标；若不存在请说明理由13（2014葫芦岛）如图，22网格（每个小正方形的边长为1）中，有A，O，B，C，D，E，F，H，G九个格点抛物线l的解析式为y=x2+bx+c（1）若l经过点O（0，0）和B（1，0），则b=_，c=_；它还经过的另一格点的坐标为_（2）若l经过点H（1，1）和G（0，1），求它的解析式及顶点坐标；通过计算说明点D（1，2）是否在l上（3）若l经过这九个格点中的三个，直接写出所有满足这样的抛物线的条数14（2014日照二模）已知：如图，一次函数y=x+1的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B；二次函数y=x2+bx+c的图象
12、与一次函数y=x+1的图象交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D点坐标为（1，0）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC的面积S；（3）在x轴上有一动点P，从O点出发以每秒1个单位的速度沿x轴向右运动，是否存在点P使得PBC是以P为直角顶点的直角三角形？若存在，求出点P运动的时间t的值，若不存在，请说明理由（4）若动点P在x轴上，动点Q在射线AC上，同时从A点出发，点P沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，点Q以每秒a个单位的速度沿射线AC运动，是否存在以A、P、Q为顶点的三角形与ABD相似，若存在，求a的值，若不存在，说明理由15（2014福田区模拟）如图所示，对称轴是x=1的抛
13、物线与x轴交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），作直线AC，点P是线段AB上不与点A、B重合的一个动点，过点P作y轴的平行线，交直线AC于点D，交抛物线于点E，连结CE、OD（1）求抛物线的函数表达式；（2）当P在A、O之间时，求线段DE长度s的最大值；（3）连接AE、BC，作BC的垂直平分线MN分别交抛物线的对称轴x轴于F、N，连接BF、OF，若EAC=OFB，求点P的坐标16（2014西城区一模）抛物线y=x2kx3与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，其中点B的坐标为（1+k，0）（1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点M落在线段BC
14、上，记该抛物线为G，求抛物线G所对应的函数表达式；（3）将线段BC平移得到线段BC（B的对应点为B，C的对应点为C），使其经过（2）中所得抛物线G的顶点M，且与抛物线G另有一个交点N，求点B到直线OC的距离h的取值范围17（2014成都三模）如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B（1）求抛物线的解析式；（2）在y轴上有一点M使MAB的周长最小，求出此时MAB的周长；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点N（不与点O、A重合），使NAO比MAO小？若存在请求出点N横坐标xN的取值范围；若不存在，请说明理由18（2014宜春模拟）如图，对称轴为x=3的抛物线y
15、=ax2+2x 与x 轴相交于点B、O连结AB，把AB所在的直线平移，使它经过原点O，得到直线l（1）求抛物线的解析式，并求出顶点A 的坐标；求直线l的函数解析式（2）若点P是l上一动点设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当9S18时，t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当t取最小值时，抛物线上是否存在点Q，使OPQ为直角三角形且OP为直角边？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由19（2014河东区一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x2+bx+c（b，c为常数）的顶点为P，等腰直角三角形ABC的顶点A的坐标为（0，1），C的坐标为（4，3），直角顶点
16、B在第四象限（1）如图，若该抛物线过A，B两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P在直线AC上滑动，且与AC交于另一点Q，取BC的中点N，连接NP，BQ，试探究是否存在最大值？若存在，求出该最大值；若不存在，请说明理由20（2013铁岭）如图，抛物线y=ax2+bx+4的对称轴是直线x=，与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，并且点A的坐标为（1，0）（1）求抛物线的解析式； （2）过点C作CDx轴交抛物线于点D，连接AD交y轴于点E，连接AC，设AEC的面积为S1，DEC的面积为S2，求S1：S2的值（3）点F坐标为（6，0），连接DF，在（2）的条件下，点P从点
17、E出发，以每秒3个单位长的速度沿ECDF匀速运动；点Q从点F出发，以每秒2个单位长的速度沿FA匀速运动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动若点P、Q同时出发，设运动时间为t秒，当t为何值时，以D、P、Q为顶点的三角形是直角三角形？请直接写出所有符合条件的t值21（2013海曙区一模）如图，A为第一象限内一点A切y轴于点D，交x轴于点B，C，点E为BC的中点（1）求证：四边形OEAD是矩形；（2）若A（5，4），求过点D，B，C的抛物线解析式；（3）点F与（2）中的点D，B，C三点构成平行四边形，把（2）中的抛物线向上或向下平移多少个单位长度后所得抛物线经过点F？请直接写出点F的坐标及
18、相应平移方向与平移距离；（4）在（2）的条件下，点P为线段AD上的一动点，在BP右侧作PQPB，且PQ=PB，求当DQ+BQ最小时P点坐标22已知二次函数C1：y=x2+2ax+2xa+1，且a变化时，二次函数C1的图象顶点M总在抛物线C2上；（1）用含有a的式子表示顶点M的坐标，并求出抛物线C2的函数解析式；（2）若抛物线C2的图象与x轴交于点A、B（A在B点左侧），与y轴交于点C设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F且满足AC=2EF，是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是梯形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若P是抛物线C2
19、对称轴上使ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线l交抛物线于M、N两点，当y轴平分MN时，求出直线l的函数解析式23如图，抛物线y=x2+bx3与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），直线l与抛物线交于A、C亮点，其中C的横坐标为2（1）求A、C两点的坐标及直线AC的函数解析式；（2）P是线段AC上的一个动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求ACE面积的最大值；（3）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A、C、F、G四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由24如图，已知抛物线y=x21的顶点坐标为M
20、，与x轴交于A、B两点（1）判断MAB的形状，并说明理由；（2）过原点的任意直线（不与y轴重合）交抛物线于C、D两点，连接MC、MD，试判断MC、MD是否垂直，并说明理由25如图，二次函数y=x2+c的图象经过点D（，），与x轴交于A，B两点（1）求c的值；（2）如图，设点C为该二次函数的图象在x轴上方的一点，直线AC将四边形ABCD的面积二等分，试证明线段BD被直线AC平分，并求此时直线AC的函数解析式；（3）设点P，Q为该二次函数的图象在x轴上方的两个动点，试猜想：是否存在这样的点P，Q，使AQPABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说明理由（图供选用）26如图，已知抛物线过
21、点A（1，0），B（4，0），C（，）（1）求抛物线对应的函数关系式及对称轴；（2）点C是点C关于抛物线对称轴的对称点，证明直线y=（x+1）必经过点C；（3）问：以AB为直径的圆能否过点C？并说明理由27如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴的正半轴相交于点A，过点A、B、C三点的P与y轴相切于点A，M为y轴负半轴上的一个动点，直线MB交抛物线于点N，交P于点D（1）填空：点A的坐标是_，P半径的长是_；（2）若SBNC：SAOB=15：2，求N点的坐标；（3）若AOB与以A、B、D为顶点的三角形相似，求MBMD的值28如图，在直角坐标系中，M的圆
22、心在y轴的正半轴上，AB与M相切于A，BC与M相切于点D，圆M与x轴相切于点O，已知B点坐标为（4，12）（1）求点C的坐标；（2）求经过A、B、C三点的函数的解析式，并写出对称轴；（3）求圆M在抛物线的对称轴上切得的弦EF的长29如图，已知二次函数y=（x+2）2的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B（1）求点A、B的坐标；（2）求SAOB；（3）求对称轴方程；（4）在对称轴上是否存在一点P，使以P、A、O、B为顶点的四边形为平行四边形？30已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）（1）求抛物线的解析式；（2）判断ABC是否为直角三角形，
23、并给出理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABCD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标，并求出此时四边形ABCD的面积；若不存在，请说明理由一解答题（共30小题）1（2015崇明县一模）如图，已知抛物线y=x2+bx+c经过直线y=+1与坐标轴的两个交点A、B，点C为抛物线上的一点，且ABC=90（1）求抛物线的解析式；（2）求点C坐标；（3）直线y=x+1上是否存在点P，使得BCP与OAB相似？若存在，请直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题菁优网所有分析：（1）根据直线的解析式求得A、B的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（2）作CD
24、x轴于D，根据题意求得OAB=CBD，然后求得AOBBDC，根据相似三角形对应边成比例求得CD=2BD，从而设BD=m，则C（2+m，2m），代入抛物线的解析式即可求得；（3）分两种情况分别讨论即可求得解答：解：（1）把x=0代入y=x+1得，y=1，A（0，1），把y=0代入y=x+1得，x=2，B（2，0），把A（0，1），B（2，0）代入y=x2+bx+c得，解得，抛物线的解析式y=x2x+1，（2）如图，作CDx轴于D，ABC=90，ABO+CBD=90，OAB=CBD，AOB=BDC，AOBBDC，=2，CD=2BD，设BD=m，C（2+m，2m），代入y=x2x+1得，2m=（m+
25、2）2（m+2）+1，解得，m=2或m=0（舍去），C（4，4）；（3）OA=1，OB=2，AB=，B（2，0），C（4，4），BC=2，当AOBPBC时，则=，解得，PB=，作PEx轴于E，则AOBPEB，=，即=，PE=1，P的纵坐标为1，代入y=x+1得，x=0或x=4，P（0，1）或（4，1）；当AOBCBP时，则=，即=，解得，PB=4，作PEx轴于E，则AOBPEB，=，即=，PE=4，P的纵坐标为4，代入y=x+1得，x=6或x=10，P（6，4）或（10，4）；综上，P的坐标为（0，1）或（4，1）或（6，4）或（10，4）点评：本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了待定系数
26、法、三角形相似的判定和性质，数形结合运用是解题的关键2（2015三亚三模）如图，直线y=x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知二次函数的图象经过点B、C和点A（1，0）（1）求B、C两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与x轴的交点为点D，则在抛物线的对称轴上是否存在点P，使PCD是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；（4）点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标考点：二次函数综合题菁优网所有分析：（1）分别
27、令解析式y=x+2中x=0和y=0，求出点B、点C的坐标；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式，求出a、b、c的值，进而求得解析式；（3）由（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出CD的值，再以点C为圆心，CD为半径作弧交对称轴于P1，以点D为圆心CD为半径作圆交对称轴于点P2，P3，作CE垂直于对称轴与点E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（4）设出E点的坐标为（a，a+2），就可以表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=SBCD+SCEF+SBEF求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论解答：解：（1）令x=0，可得y=2
28、，令y=0，可得x=4，即点B（4，0），C（0，2）；（2）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，将点A、B、C的坐标代入解析式得，解得：，即该二次函数的关系式为y=x2+x+2；（3）y=x2+x+2，y=（x）2+，抛物线的对称轴是x=OD=C（0，2），OC=2在RtOCD中，由勾股定理，得CD=CDP是以CD为腰的等腰三角形，CP1=DP2=DP3=CD如图1所示，作CHx对称轴于H，HP1=HD=2，DP1=4P1（，4），P2（，），P3（，）；（4）当y=0时，0=x2+x+2x1=1，x2=4，B（4，0）直线BC的解析式为：y=x+2如图2，过点C作CMEF于M，设E（
29、a，a+2），F（a，a2+a+2），EF=a2+a+2（a+2）=a2+2a（0x4）S四边形CDBF=SBCD+SCEF+SBEF=BDOC+EFCM+EFBN，=+a（a2+2a）+（4a）（a2+2a），=a2+4a+（0x4）=（a2）2+a=2时，S四边形CDBF的面积最大=，E（2，1）点评：本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键3（2015金山区一模）如图，已知直线y=2x+6与x轴、y轴分别交于A、D两点，抛物线y=ax2+bx+2（a0）经过点A和点B（
30、1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）在线段AD上取一点F（点F不与点A重合）过点F作x轴的垂线交抛物线于点G、交x轴于点H当FG=GH时，求点H的坐标；（3）设抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，点M在线段AB上，当AEM与BCM相似时，求点M的坐标考点：二次函数综合题菁优网所有分析：（1）根据函数值，可得相应自变量的值，根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据自变量的值，可得相应函数值，根据FG=GH，可得关于a的方程，解方程，可得答案；（3）根据相似三角形的性质，可得关于b的方程，解方程，可得答案解答：解：（1）当y=0时，2x+6=0解得x=3，即A（3，0），
31、由抛物线y=ax2+bx+2（a0）经过点A（3，0）和点B（1，0），得，解得故抛物线为y=x2x+2；（2）设H点的坐标为（a，0），F（a，2a+6），G（a，a2a+2）由FG=GH，得2a+6=2（a2a+2）化简，得2a2+7a+3=0解得a=，a=3（不符合题意要舍去），点H的坐标（，0）；（3）设M点坐标为（b，0），AM=b+3，BM=1b，抛物线的对称轴与直线AD交于点E，抛物线与y轴的交点为C，得E（1，4），C（0，2）由勾股定理，得AE=2，BC=当AEMBCM时，=，即=化简，得3b=1，解得b=，即M（，0）；当AEMBMC时，=，即=，化简，得b2+2b+7=0
32、实数b不存在；综上所述：M（，0）点评：本题考查了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）利用了线段中点的性质，（3）利用了相似三角形的性质4（2015普陀区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（m，0）和点B（0，2m）（m0），点C在x轴上（不与点A重合）（1）当BOC与AOB相似时，请直接写出点C的坐标（用m表示）（2）当BOC与AOB全等时，二次函数y=x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，求m的值，并求点C的坐标（3）P是（2）的二次函数图象上的一点，APC=90，求点P的坐标及ACP的度数考点：二次函数综合题菁优网所有分析：（1）分类讨论：BOCBOA，B
33、OCAOB，根据相似三角形的性质，可得答案；（2）根据全等三角形的性质，可得C点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（3）根据相似三角形的性质，可得关于a的方程，根据解方程，可得a的值可得p点坐标，分类讨论：当点P的坐标为（，1）时，根据正弦函数据，可得COP的度数，根据等腰三角形得到性质，可得答案； 当点P的坐标为（，1）时，根据正弦函数据，可得AOP的度数，根据三角形外角的性质，可得答案解答：解：（1）点C的坐标为（m，0）或（4m，0）或（4m，0）；（2）当BOC与AOB全等时，点C的坐标为（m，0），二次函数y=x2+bx+c的图象经过A、B、C三点，解得二次函数解析式为y=x2+
34、4，点C的坐标为（2，0）；（3）作PHAC于H，设点P的坐标为（a，a2+4），AHP=PHC=90，APH=PCH=90CPH，APHPCH，=，即PH2=AHCH，（a2+4）2=（a+2）（2a）解得a=，或a=，即P（，1）或（，1），如图：当点P1的坐标为（，1）时，OP1=2=OC，sinP1OE=COP=30，ACP=75当点P的坐标为（，1）时，sinP2OF=，P2OF=30由三角形外角的性质，得P2OF=2ACP，即ACP=15点评：本题考查了二次函数综合题，（1）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键；（2）利用全等三角形的性质，解三元一次方程组；（3）利用了相似三
35、角形的性质，分类讨论是解题关键，正弦函数及等腰三角形的性质，三角形外角的性质5（2015宝山区一模）（1）数学小组的单思稿同学认为形如的抛物线y=ax2+bx+c，系数a、b、c一旦确定，抛物线的形状、大小、位置就不会变化，所以称数a、b、c为抛物线y=ax2+bx+c的特征数，记作a，b，c；请求出与y轴交于点C（0，3）的抛物线y=x22x+k在单同学眼中的特征数；（2）同数学小组的尤恪星同学喜欢将抛物线设成y=a（x+m）2+k的顶点式，因此坚持称a、m、k为抛物线的特征数，记作a，m，k；请求出上述抛物线在尤同学眼中的特征数；（3）同一个问题在上述两位同学眼中的特征数各不相同，为了让两
36、人的研究保持一致，同组的董和谐将上述抛物线表述成：特征数为u，v，w的抛物线沿平行于某轴方向平移某单位后的图象，即此时的特征数u，v，w无论按单思稿同学还是按尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，请你根据数学推理将董和谐的表述完整地写出来；（4）在直角坐标系xOy中，上述（1）中的抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左边），请直接写出ABC的重心坐标考点：二次函数综合题菁优网所有专题：综合题分析：（1）把C坐标代入抛物线解析式求出k的值，确定出抛物线解析式，即可得出抛物线在单同学眼中的特征数；（2）把抛物线解析式化为顶点形式，确定出抛物线在尤同学眼中的特征数即可；（3）把抛物线解析式化为顶点形式
37、，要使单思稿同学和尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，必须满足，得到b=0，即可得出董和谐的表述；（4）找出AB的中点，求出AB边中线方程，同理求出AC边中线方程，联立求出重心坐标即可解答：解：（1）把C（0，3）代入抛物线解析式得：k=3，抛物线解析式为y=x22x3，则该抛物线在单同学眼中的特征数为1，2，3；（2）y=x22x3=（x1）24，上述抛物线在尤同学眼中的特征数为1，1，4；（3）y=ax2+bx+c=a（x+）2+c，要使单思稿同学和尤恪星同学的理解做出的结果是一样的，必须满足，即b=0，y=（x1）24可以看做y=x24沿平行于x轴方向向右平移1个单位而成，董和谐的表述为
38、：特征数1，0，4的抛物线沿平行于x轴方向向右平移1个单位的图象；（4）对于抛物线解析式y=x22x3，令y=0，得到x22x3=0，即（x3）（x+1）=0，解得：x=3或x=1，即A（1，0），B（3，0），C（0，3），线段AB中点坐标为（1，0），AB边的中线方程为y=（x1）=3（x1）=3x3；AC边中点坐标为（，），AC边的中线方程为y=（x3）=（x3）=x，联立得：，解得：，则ABC的重心坐标为（，1）点评：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式，线段中点坐标公式，直线的点斜式方程，以及新定义，弄清题中的新定义是解本题的关键6（2015松江区一模）已
39、知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx的图象经过点（1，3）和点（1，5）；（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，请用m的代数式表示平移后函数图象顶点M的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点P的坐标为（2，3），CM平分PCO，求m的值考点：二次函数综合题菁优网所有分析：（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据顶点坐标公式，可得顶点坐标，根据图象的平移，可得M点的坐标；（3）根据角平分线的性质，可得全等三角形，根据全等三角形的性质，可得方程组，根据解方程组，可得答案解答：解：（1）由二次函数y=ax2+bx的图
40、象经过点（1，3）和点（1，5），得，解得二次函数的解析式y=x24x；（2）y=x24x的顶点M坐标（2，4），这个二次函数的图象向上平移，交y轴于点C，其纵坐标为m，顶点M坐标向上平移m，即M（2，m4）；（3）由待定系数法，得CP的解析式为y=x+m，如图：作MGPC于G，设G（a，a+m）由角平分线上的点到角两边的距离相等，DM=MG在RtDCM和RtGCM中，RtDCMRtGCM（HL）CG=DC=4，MG=DM=2，化简，得8m=36，解得m=点评：本题考察了二次函数综合题，（1）利用了待定系数法求函数解析式，（2）利用了二次函数顶点坐标公式，图象的平移方法；（3）利用了角平分线的
41、性质，全等三角形的性质7（2015山西模拟）如图1，P（m，n）是抛物线y=x21上任意一点，l是过点（0，2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PHl，垂足为H【特例探究】（1）填空，当m=0时，OP=1，PH=1；当m=4时，OP=5，PH=5【猜想验证】（2）对任意m，n，猜想OP与PH大小关系，并证明你的猜想【拓展应用】（3）如图2，如果图1中的抛物线y=x21变成y=x24x+3，直线l变成y=m（m1）已知抛物线y=x24x+3的顶点为M，交x轴于A、B两点，且B点坐标为（3，0），N是对称轴上的一点，直线y=m（m1）与对称轴于点C，若对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离
42、等于该点到点N的距离用含m的代数式表示MC、MN及GN的长，并写出相应的解答过程；求m的值及点N的坐标考点：二次函数综合题菁优网所有分析：（1）根据勾股定理，可得OP的长，根据点到直线的距离，可得可得PH的长；（2）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据勾股定理，可得PO的长，根据点到直线的距离，可得PH的长；（3）根据该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，可得CM=MN，根据线段的和差，可得GN的长；对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，可得方程，根据解方程，可得m的值，再根据线段的和差，可得GN的长解答：解：（1）当m=0时，P（0，1），OP
43、=1，PH=1（2）=1；当m=4时，y=3，P（4，3），OP=5，PH=3（2）=3+2=5，故答案为：1，1，5，5；（2）猜想：OP=PH，证明：PH交x轴与点Q，P在y=x21上，设P（m，m21），PQ=|x21|，OQ=|m|，OPQ是直角三角形，OP=m2+1，PH=yp（2）=（m21）（2）=m2+1OP=PH（3）CM=MN=m1，GN=2+m，理由如下：对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，M（2，1），即CM=MN=m1GN=CGCMMN=m2（m1）=2+m点B的坐标是（3，0），BG=1，GN=2+m由勾股定理，得BN=，对于抛物线上每一点都有：该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，得即1+（2+m）2=（m）2解得m=由GN=2+m=2=，即N（0，），m=，N点的坐标是（0，）点评：本题考查了二次函数综合题，利用了勾股定理，点到直线的距离，线段中点的性质，线段的和差，利用的知识点较多，题目稍有难度8（2015徐汇区一模）已知：如图，抛物线C1：y=ax2+4ax+c的图象开口向上，与x轴交