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1、中考数学与圆有关的压轴题（解答题部分3）11（2014四川成都,第27题10分）如图，在O的内接ABC中，ACB=90，AC=2BC，过C作AB的垂线l交O于另一点D，垂足为E设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G（1）求证：PACPDF；（2）若AB=5，=，求PD的长；（3）在点P运动过程中，设=x，tanAFD=y，求y与x之间的函数关系式（不要求写出x的取值范围）考点：圆的综合题分析：（1）证明相似，思路很常规，就是两个角相等或边长成比例因为题中因圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及圆，倾向于找接近圆的角D
2、PF，利用补角在圆内作等量代换，等弧对等角等知识易得DPF=APC，则结论易证（2）求PD的长，且此线段在上问已证相似的PDF中，很明显用相似得成比例，再将其他边代入是应有的思路利用已知条件易得其他边长，则PD可求（3）因为题目涉及AFD与也在第一问所得相似的PDF中，进而考虑转化，AFD=PCA，连接PB得AFD=PCA=PBG，过G点作AB的垂线，若此线过PB与AC的交点那么结论易求，因为根据三角函数或三角形与三角形ABC相似可用AG表示PBG所对的这条高线但是“此线是否过PB与AC的交点”？此时首先需要做的是多画几个动点P，观察我们的猜想验证得我们的猜想应是正确的，可是证明不能靠画图，如
3、何求证此线过PB与AC的交点是我们解题的关键常规作法不易得此结论，我们可以换另外的辅助线作法，先做垂线，得交点H，然后连接交点与B，再证明HBG=PCA=AFD因为C、D关于AB对称，可以延长CG考虑P点的对称点根据等弧对等角，可得HBG=PCA，进而得解题思路解答：（1）证明：，DPF=180APD=180所对的圆周角=180所对的圆周角=所对的圆周角=APC在PAC和PDF中，PACPDF（2）解：如图1，连接PO，则由，有POAB，且PAB=45，APO、AEF都为等腰直角三角形在RtABC中，AC=2BC，AB2=BC2+AC2=5BC2，AB=5，BC=，AC=2，CE=ACsinB
4、AC=AC=2=2， AE=ACcosBAC=AC=2=4，AEF为等腰直角三角形，EF=AE=4，FD=FC+CD=（EFCE）+2CE=EF+CE=4+2=6APO为等腰直角三角形，AO=AB=，AP=PDFPAC，PD=（3）解：如图2，过点G作GHAB，交AC于H，连接HB，以HB为直径作圆，连接CG并延长交O于Q，HCCB，GHGB，C、G都在以HB为直径的圆上，HBG=ACQ，C、D关于AB对称，G在AB上，Q、P关于AB对称，PCA=ACQ，HBG=PCAPACPDF，PCA=PFD=AFD，y=tanAFD=tanPCA=tanHBG=HG=tanHAGAG=tanBACAG=
5、，y=x点评：本题考查了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单，但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结总体来讲本题偏难，学生练习时加强理解，重点理解分析过程，自己如何找到思路12. （2014湖北荆门,第24题12分）如图，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HPAB，弦HP=3若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EFBD交BC于F，再把CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G设CE=x，EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S（1）求证：四边形ABHP是菱形；（2）问
6、EFG的直角顶点G能落在O上吗？若能，求出此时x的值；若不能，请说明理由；（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与O相切时，S的值第3题图考点：圆的综合题；含30度角的直角三角形；菱形的判定；矩形的性质；垂径定理；切线的性质；切线长定理；轴对称的性质；特殊角的三角函数值所有专题：压轴题分析：（1）连接OH，可以求出HOD=60，HDO=30，从而可以求出AB=3，由HPAB，HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再根据切线长定理可得BA=BH，即可证到四边形ABHP是菱形（2）当点G落到AD上时，可以证到点G与点M重合，可求出x=2（3）当0x2时，如图，S=SEGF，只需求出FG
7、，就可得到S与x之间的函数关系式；当2x3时，如图，S=SGEFSSGR，只需求出SG、RG，就可得到S与x之间的函数关系式当FG与O相切时，如图，易得FK=AB=3，KQ=AQAK=22+x再由FK=KQ即可求出x，从而求出S解答：解：（1）证明：连接OH，如图所示四边形ABCD是矩形，ADC=BAD=90，BC=AD，AB=CDHPAB，ANH+BAD=180ANH=90HN=PN=HP=OH=OA=，sinHON=HON=60BD与O相切于点H，OHBDHDO=30OD=2AD=3BC=3BAD=90，BDA=30tanBDA=AB=3HP=3，AB=HPABHP，四边形ABHP是平行四
8、边形BAD=90，AM是O的直径，BA与O相切于点ABD与O相切于点H，BA=BH平行四边形ABHP是菱形（2）EFG的直角顶点G能落在O上如图所示，点G落到AD上EFBD，FEC=CDBCDB=9030=60，CEF=60由折叠可得：GEF=CEF=60GED=60CE=x，GE=CE=xED=DCCE=3xcosGED=x=2GE=2，ED=1GD=OG=ADAOGD=3=OG=OM点G与点M重合此时EFG的直角顶点G落在O上，对应的x的值为2当EFG的直角顶点G落在O上时，对应的x的值为2（3）如图，在RtEGF中，tanFEG=FG=xS=GEFG=xx=x2如图，ED=3x，RE=2
9、ED=62x，GR=GEER=x（62x）=3x6tanSRG=，SG=（x2）SSGR=SGRG=（x2）（3x6）=（x2）2SGEF=x2，S=SGEFSSGR=x2（x2）2=x2+6x6综上所述：当0x2时，S=x2；当2x3时，S=x2+6x6当FG与O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FKAD，垂足为K，如图所示四边形ABCD是矩形，BCAD，ABC=BAD=90AQF=CFG=60OT=，OQ=2AQ=+2FKA=ABC=BAD=90，四边形ABFK是矩形FK=AB=3，AK=BF=3xKQ=AQAK=（+2）（3x）=22+x在RtFKQ中，tanFQK=FK=QK
10、3=（22+x）解得：x=3032，S=x2=（3）2=6FG与O相切时，S的值为6点评：本题考查了矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特殊角的三角函数值、30角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，综合性非常强13（2014莱芜，第23题10分）如图1，在O中，E是弧AB的中点，C为O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=（r是O的半径）（1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与O相切；（2）求EFEC的值；（3）如图2，当F是AB的四等分点时，求EC的值考点：圆的综合题.专题：综合题分析：（1）连结OC、
11、OE，OE交AB于H，如图1，由E是弧AB的中点，根据垂径定理的推论得到OEAB，则HEF+HFE=90，由对顶相等得HFE=CFD，则HEF+CFD=90，再由DC=DF得CFD=DCF，加上OCE=OEC，所以OCE+DCE=HEF+CFD=90，于是根据切线的判定定理得直线DC与O相切；（2）由弧AE=弧BE，根据圆周角定理得到ABE=BCE，加上FEB=BEC，于是可判断EBFECB，利用相似比得到EFEC=BE2=（r）2=r2；（3）如图2，连结OA，由弧AE=弧BE得AE=BE=r，设OH=x，则HE=rx，根据勾股定理，在RtOAH中有AH2+x2=r2；在RtEAH中由AH2
12、+（rx）2=（r）2，利用等式的性质得x2（rx）2=r2（r）2，即得x=r，则HE=rr=r，在RtOAH中，根据勾股定理计算出AH=，由OEAB得AH=BH，而F是AB的四等分点，所以HF=AH=，于是在RtEFH中可计算出EF=r，然后利用（2）中的结论可计算出EC解答：（1）证明：连结OC、OE，OE交AB于H，如图1，E是弧AB的中点，OEAB，EHF=90，HEF+HFE=90，而HFE=CFD，HEF+CFD=90，DC=DF，CFD=DCF，而OC=OE，OCE=OEC，OCE+DCE=HEF+CFD=90，OCCD，直线DC与O相切；（2）解：连结BC，E是弧AB的中点，
13、弧AE=弧BE，ABE=BCE，而FEB=BEC，EBFECB，EF：BE=BE：EC，EFEC=BE2=（r）2=r2；（3）解：如图2，连结OA，弧AE=弧BE，AE=BE=r，设OH=x，则HE=rx，在RtOAH中，AH2+OH2=OA2，即AH2+x2=r2，在RtEAH中，AH2+EH2=EA2，即AH2+（rx）2=（r）2，x2（rx）2=r2（r）2，即得x=r，HE=rr=r，在RtOAH中，AH=，OEAB，AH=BH，而F是AB的四等分点，HF=AH=，在RtEFH中，EF=r，EFEC=r2，rEC=r2，EC=r点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论、
14、切线的判定定理和圆周角定理；会利用勾股定理进行几何计算，利用相似三角形的知识解决有关线段等积的问题14. （2014乐山，第26题12分）如图，O1与O2外切与点D，直线l与两圆分别相切于点A、B，与直线O1、O2相交于点M，且tanAM01=，MD=4（1）求O2的半径；（2）求ADB内切圆的面积；（3）在直线l上是否存在点P，使MO2P相似于MDB？若存在，求出PO2的长；若不存在，请说明理由考点：圆的综合题.专题：综合题分析：（1）连结O1A、O2B，设O1的半径为r，O2的半径为R，根据两圆相切的性质得到直线O1O2过点D，则MO2=MD+O2D=4+R，再根据切线的性质由直线l与两圆
15、分别相切于点A、B得到O1AAB，O2BAB，然后根据特殊角的三角函数值得到AM01=30，在RtMBO2中，根据含30度的直角三角形三边的关系得MO2=O2B=2R，于是有4+R=2R，解得R=4；（2）利用互余由AM02=30得到MO2B=60，则可判断O2BD为等边三角形，所以BD=O2B=4，DBO2=60，于是可计算出ABD=30，同样可得MO1A=60，利用三角形外角性质可计算得O1AD=MO1A=30，则DAB=60，所以ADB=90，在RtABD中，根据含30度的直角三角形三边的关系得AD=BD=4，AB=2AD=8，利用直角三角形内切圆的半径公式得到ADB内切圆的半径=22，
16、然后根据圆的面积公式求解；（3）先在RtMBO2中，根据含30度的直角三角形三边的关系得MB=O2B=12，然后分类讨论：MO2P与MDB有一个公共角，当MO2PMDB时，利用相似比可计算出O2P=8；当MO2PMBD时，利用相似比可计算出O2P=8解答：解：（1）连结O1A、O2B，如图，设O1的半径为r，O2的半径为R，O1与O2外切与点D，直线O1O2过点D，MO2=MD+O2D=4+R，直线l与两圆分别相切于点A、B，O1AAB，O2BAB，tanAM01=，AM01=30，在RtMBO2中，MO2=O2B=2R，4+R=2R，解得R=4，即O2的半径为4；（2）AM02=30，MO2
17、B=60，而O2B=O2D，O2BD为等边三角形，BD=O2B=4，DBO2=60，ABD=30，AM01=30，MO1A=60，而O1A=O1D，O1AD=O1DA，O1AD=MO1A=30，DAB=60，ADB=1803060=90，在RtABD中，AD=BD=4，AB=2AD=8，ADB内切圆的半径=22，ADB内切圆的面积=（22）2=（168）；（3）存在在RtMBO2中，MB=O2B=4=12，当MO2PMDB时，=，即=，解得O2P=8；当MO2PMBD时，=，即=，解得O2P=8，综上所述，满足条件的O2P的长为8或8点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握切线的性质、两圆相切的性质和直角三角形内切圆的半径；会利用含30度的直角三角形三边的关系和三角形相似比进行几何计算；会运用分类讨论的思想解决数学问题单纯的课本内容，并不能满足学生的需要，通过补充，达到内容的完善 教育之通病是教用脑的人不用手，不教用手的人用脑，所以一无所能。教育革命的对策是手脑联盟，结果是手与脑的力量都可以大到不可思议。