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1、绝密 启用前2024 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 I 卷）数学参考答案与解析本参考答案与解析共 7 页，19 小题，满分 150 分.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。2.选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.填空题和解答题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。一、选择题：本题共 8 小题，每小题
2、5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 =|5 3 5，=3,1,0,2,3，则=A.1,0B.2,3C.3,1,0D.1,0,2【答案】A.【解析】5 3 5 513 513，而 1 513 2，因此 =1,0.故答案为 A.2.若 1=1+i，则 =A.1 iB.1+iC.1 iD.1+i【答案】C.【解析】两边同时减 1 得：1 1=i,进而 =1+1i=1 i.故答案为 C.3.已知向量 =(0,1)，=(2,).若 (4)，则 =A.2B.1C.1D.2【答案】D.【解析】即 (4)=0.代入得 4+(4)=0,即 =2.故答案为 D.
3、4.已知 cos(+)=，tantan=2，则 cos()=数学参考答案与解析 第 1 页（共 7 页）A.3B.3C.3D.3【答案】A.【解析】通分 sinsin=2coscos.积化和差12(cos()cos(+)=212(cos()+cos(+).即 cos()=3cos(+)=3.故选 A.5.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且他们的高均为3，则圆锥的体积为A.23B.33C.63D.93【答案】B.【解析】设二者底面半径为，由侧面积相等有 2+3=2 3，解得 =3.故=13 23=33 9=33.故答案为 B.6.已知函数为()=2 2 ,0，故()在 0,+)上单调递
4、增.而 =22 的对称轴为直线 =，故由()在(,0)上单调递增可知 0 0.在 =0 时应有 2 2 e+ln(+1)，解得 1，故 1 0.故答案为 B.7.当 0,2 时，曲线 =sin 与 =2sin(3 6)的交点个数为A.3B.4C.6D.8【答案】C.【解析】五点作图法画图易得应有 6 个交点.故答案为 C.8.已知函数()的定义域为 R，()(1)+(2)，且当 100B.(20)1000C.(10)1000D.(20)3 (4)5 (5)8 (6)13 (11)143 (12)232 (13)300 (14)500 (15)800 (16)1000 (20)1000故答案为
5、B.数学参考答案与解析 第 2 页（共 7 页）二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.9.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值为 =2.1，样本方差 2=0.01.已知该种植区以往的亩收入 服从正态分布(1.8,0.12)，假设推动出口后的亩收入 服从正态分布(,2)，则（若随机变量 服从正态分布(,2)，则(2)0.2B.(2)2)0.5D.(2)2)1.9)=1 (1.9)=1 0.8413 2)1.8)=0.
6、5,B 正确；(2)(2.1)=0.5,C 正确；(2)=(0.8,D 错误.故答案为 BC.10.设函数()=(1)2(4)，则A.=3 是()的极小值点B.当 0 1 时，()(2)C.当 1 2 时，4 (2 1)0D.当 1 ()【答案】ACD.【解析】计算知()=3(1)(3).故 (1,3)时()单调减,其余部分单调增.由此知 =3 为()极小值点，A 正确；由上知 (0,1)时()单调增,又此时 2,故()(2),B 错误；此时 2 1 (1,3),故(2 1)(3),(1)=(4,0),C 正确；由(2 )=(1)2(2),故(2 )()=2(1 )3 0,D 正确.故答案为
7、ACD.11.造型 可以看作图中的曲线 的一部分.已知 过坐标原点，且 上的点满足横坐标大于 2；到点(2,0)的距离与到定直线 =(0)的距离之积为 4，则A.=2B.点(22,0)在 上C.在第一象限的点的纵坐标的最大值为 1D.当点(0,0)在 上时，040+2【答案】ABD.【解析】由原点 在曲线 上且|=2 知 到直线 =距离为 2,由 2 知 上点满足(+2)(2)2+2=4,代(22,0)知 B 正确；解出 2=16(+2)2(2)2,将左边设为(),则(2)=0.5 1.此时 1 且在第一象限,C 错误；又 2=16(+2)2(2)216(+2)2,故 0 0,0)的左右焦点分
8、别为 1,2，过 2做平行于 轴的直线交 于,两点，若|1|=13,|=10，则 的离心率为.【答案】32.【解析】根据对称性|2|=|2=5，则 2=|1|2|=8，得到 =4.另外根据勾股定理 2=|12|=12，得到 =6，所以离心率 =32.13.若曲线 =e+在点(0,1)处的切线也是曲线 =ln(+1)+的切线，则 =.【答案】ln2.【解析】设曲线分别为 1,2，那么 1=e+1，得到切线方程 1=2，根据 2=1+1得到切点横坐标为 12，代入 2得到 =ln2.14.甲、乙两人各有四张卡片，每张卡片上标有一个数字，甲的卡片上分别标有数字 1,3,5,7，乙的卡片上分别标有数字
9、 2,4,6,8.两人进行四轮比赛，在每轮比赛中，两人各自从自己持有的卡片中随机选一张，并比较所选卡片上数字的大小，数字大的人得 1 分，数字小的人得 0 分，然后各自弃置此轮所选的卡片（弃置的卡片在此后的轮次中不能使用）.则四轮比赛后，甲的总得分不小于 2 的概率为.【答案】12.【解析】.由对称性，不妨固定乙出卡片顺序依次为(2,4,6,8),为了简便,设甲依次出(,),1,3,5,7.首先注意到 8 是最大的,故甲不可能得四分.若甲得三分,则从 到 均要求得分,比较得必有 =7,=5,=3,=1 共一种情况；若甲得两分,则讨论在何处得分：若在,处,则同样 =7,=5,进而 =1,=3,共
10、一种；若在,处，则必有 =7,1,5,在 =1 时有全部两种,在 =1 时仅一种,共三种；若在,处,则 5,7,1,7.当 =5 时,由上述限制,=1 时有两种,=1 时仅一种；当 =7时,全排列六种中仅 =1 的两种不行,故有四种,此情形共八种.故共有 1+3+8=12 种,又总数为 4!=24,故所求为 1 1224=12.四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13 分）记 的内角,的对边分别为,，已知 sin=2cos，2+22=2.（1）求；（2）若 的面积为 3+3，求.数学参考答案与解析 第 4 页（共 7 页）【解析】（1）根
11、据余弦定理 2+22=2cos=2，那么 cos=22，又因为 (0,)，得到 =4，此时 cos=12，得到 =3.（2）根据正弦定理 =sinsin=62，并且 sin=sin(+)=sincos+cossin=6+24，那么 =12sin=3+3，解得 =22.16.（15 分）已知(0,3)和 (3,32)为椭圆 22+22=1(0)上两点.（1）求 的离心率；（2）若过 的直线 交 于另一点，且 的面积为 9，求 的方程.【解析】（1）直接代入后解方程，得到 2=12,2=9,2=3，所以 2=14，离心率 =12.（2）设(0,0)，则=(0 3,032),=(3,32).得到 9
12、=1232(0 3)3(032)，或者 0+20=6，与椭圆方程联立，得到 1(3,15),2(0,3)，对应的直线方程 =12 或者 =32 3.17.（15 分）如图，四棱锥 中，底面，=2，=1，=3.（1）若 ，证明：平面；（2）若 ，且二面角 的正弦值为427，求.【解析】（1）由 面 知 ,又 ,故 面.故 ,又由勾股定理知 ,故/,进而/面.（2）由 面.,=22,设 =,则 =4+2,=4 2,由勾股定理知 .则=1216 4,=124 2,数学参考答案与解析 第 5 页（共 7 页）设 到 距离为.由等体积,=.代入解出 =24+2.考虑 向 作垂线,二面角设为 则 =sin
13、=2217.由此解出 =3.18.（17 分）已知函数()=ln2 +(1)3.（1）若 =0，且()0，求 的最小值；（2）证明：曲线 =()是中心对称图形；（3）若()2 当且仅当 1 2，求 的取值范围.【解析】函数定义域(0,2).(1)当 =0 时,()=1+12 +=2(2 )+0 恒成立.令 =1 得 2.当 =2 时,()=2(1)2(2 )0,从而 的最小值为 2.(2)()+(2)=ln2 +(1)3+ln2 +(2)+(1)3=2=2(1),且定义域也关于 1 对称,因此 =()是关于(1,)的中心对称图形.(3)先证明 =2.由题意,=(1)2.假设|+1|=1,应用零
14、点存在定理知存在 1(1,2e|+11+e|+1),(1)=0,矛盾.故 =2.此时,()=(1)2(2 )3(2 )+2.当 23,()(1)2(2 )(2 4+22)0,且不恒为 0,故()在(0,2)递增.()2=(1)当且仅当 1 2,此时结论成立.当 23,令 0=3 92 63(0,1),(0)=0,且()(1)=2,而 0(1,2)此时结论不成立.综上,的取值范围是23,+).19.（17 分）设 为正整数，数列 1,2,4+2是公差不为 0 的等差数列，若从中删去两项 和()后剩余的 4 项可被平均分为 组，且每组的 4 个数都能构成等差数列，则称数列1,2,4+2是(,)可分
15、数列.（1）写出所有的(,),1 6，使数列 1,2,6是(,)可分数列；（2）当 3 时，证明：数列 1,2,4+2是(2,13)可分数列；（3）从 1,2,4+2 中一次任取两个数 和(18.【解析】数学参考答案与解析 第 6 页（共 7 页）记 的公差为.(1)从 1,2,6中去掉两项后剩下 4 项,恰构成等差数列,公差必为,否则原数列至少有 7 项.因此剩下的数列只可能为 1,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6三种可能,对应的(,)分别为(5,6),(1,6),(1,2).(2)考虑分组(1,4,7,10),(3,6,9,12),(5,8,11,14),(41,4,4+1,4+
16、2)(4 ),(当 =3 时只需考虑前三组即可)即知结论成立.(3)一方面,任取两个,(18.下面考虑 3.我们证明:当 2,+1 被 4 整除,且 +1 4 时,数列是(,)可分的.首先我们将 1,2,2,及+2,+3,4+2顺序排成一列,每 4 个排成一段,得到一些公差为 的四元数组,因此我们只需考虑 1,+1,+2,1,+1这 +1 个数即可.为书写方便,我们记 =4 1(1),并记=+2,即证 1,3,4,4,4+2可被划分成若干组.引理:设 1 能被 4 整除.若 1,2,+1是(2,)可分的,则 1,2,+9是(2,+8)可分的.引理证明:将 1,2,+1去掉 2,后的 14组四元组再并上(,+2,+4,+6),(+3,+5,+7,+9)即证.回原题.由(2),1,14是(2,13)可分数列,且(1,3,5,7)和(4,6,8,10)知1,10是(2,9)可分数列,因而结合引理知 1,3,4,4,4+2可被划分成若干组,由此结论成立.计算此时的方法数.设 =4+2(0 1),则此时 有(4+2)(4+2)41=1 种,因此方法数为1=0(1)=(1)2.因此我们有(1)+(+1)(+2)22+118.数学参考答案与解析 第 7 页（共 7 页）