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1、第3讲函数的奇偶性与周期性考试要求1.函数奇偶性的含义及判断，B级要求；2.运用函数的图象理解、研究函数的奇偶性，A级要求；3.函数的周期性、最小正周期的含义，周期性的判断及应用，B级要求知 识 梳 理1函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是偶函数关于 对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 ，那么函数f(x)是奇函数关于 对称f(x)f(x)y轴f(x)f(x)原点2.奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于 对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于 对称)(2)奇函数的图象关
2、于 对称，偶函数的图象关于 对称(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0).(4)定义在(，)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和原点原点原点y轴03函数的周期性(1)周期函数：对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有 ，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)正周期f(xT)f(x)存在一个最小最小诊 断 自 测1判断正误(在括号内打“”或“”)(1)函数yx2在x(0，)时是偶函数()(2)若函数f(x)为奇函数，则一定有f
3、(0)0.()(3)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称()(4)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)的图象关于点(b,0)中心对称()解析(1)由于偶函数的定义域关于原点对称，故yx2在(0，)上不是偶函数，(1)错(2)由奇函数定义可知，若f(x)为奇函数，其在x0处有意义时才满足f(0)0，(2)错答案(1)(2)(3)(4)5(2014全国卷)偶函数yf(x)的图象关于直线x2对称，f(3)3，则f(1)_.解析f(x)为偶函数，f(1)f(1)又f(x)的图象关于直线x2对称，f(1)f(3)f(1)3.答案3规律方法判断函数的奇偶性，其中包括两
4、个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(x)是否具有等量关系在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)f(x)0(奇函数)或f(x)f(x)0(偶函数)是否成立答案(1)(2)答案(1)1(2)1规律方法(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f(x)f(x)0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性
5、构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式或函数值答案2规律方法(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间(2)若f(xa)f(x)(a是常数，且a0)，则2a为函数f(x)的一个周期规律方法(1)函数单调性与奇偶性的综合注意函数单调性及奇偶性的定义以及奇、偶函数图象的对称性(2)周期性与奇偶性的综合此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行变换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解(3)单调性、奇偶性与周期性的综合解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解答案(1)0(2)2思想方法1判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件2利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性3在解决具体问题时，要注意结论“若T是函数的周期，则kT(kZ且k0)也是函数的周期”的应用 易错防范1f(0)0既不是f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件2函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)表明的是函数图象的对称性，函数f(x)满足的关系f(ax)f(bx)(ab)表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆