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1、- 1 - / 19【2019【2019 最新最新】精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本精选高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数初等函数2-32-3 函数的奇偶性与周期性学案理函数的奇偶性与周期性学案理考纲展示 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义2会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性3了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性考点 1 函数奇偶性的判断函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做偶函数关于_对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有_，那么函数f(x)就叫做奇函数
2、关于_对称答案：f(x)f(x) y 轴 f(x)f(x)原点教材习题改编 函数 f(x)x3, f(x)x4，f(x)x2，f(x)|x|中，偶函数的个数是_答案：2解析：f(x)x4 和 f(x)x2为偶函数判断函数奇偶性的易错点：忽略定义域；变形错误(1)函数 f(x)(x1)在定义域上是_函数(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)答案：非奇非偶- 2 - / 19解析：要使函数有意义，必须使0，即0，解得11 时，x1，所以 f(x)(x)22(x22)f(x)；当|x|1 时，f(x)0f(x)综上可知 f(x)是奇函数典题 1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)xlg(x)；(2)f(
3、x)(1x)；(3)f(x) (4)f(x).解 (1)|x|0，函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称，又 f(x)(x)lgxxlg(x)xlg(x)f(x)即 f(x)f(x)，f(x)是偶函数(2)当且仅当0 时函数有意义，1x1，由于定义域关于原点不对称，函数 f(x)是非奇非偶函数- 3 - / 19(3)函数的定义域为x|x0，关于原点对称，当 x0 时，x0，f(x)x22x1f(x)，当 x0 时，x0，f(x)x22x1f(x)f(x)f(x)，即函数是奇函数(4)2x2 且 x0，函数的定义域关于原点对称f(x)，又 f(x)，f(x)f(x)，即函数是奇函数点石成金
4、 判定函数奇偶性的三种常用方法(1)定义法：(2)图象法：(3)性质法：设 f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇奇奇，奇奇偶，偶偶偶，偶偶偶，奇偶奇复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶” 提醒 (1)“性质法”中的结论是在两个函数的公共定义域内才成立的(2)判断分段函数的奇偶性应分段分别证明 f(x)与 f(x)的关系，只有对各段上的 x 都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性考点 2 函数的周期性函数的周期性(1)周期函数：对于函数 yf(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义- 4 - / 19域内的任何值时，都有_，那么就称函数 y
5、f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个_的正数，那么这个_就叫做 f(x)的最小正周期答案：(1)f(xT)f(x) (2)最小 最小正数(1)教材习题改编已知函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，当x(0,1时，f(x)log4(x23)，则 f(2 017)_.答案：1解析：因为 f(x2)f(x)，所以 f(x)是以 2 为周期的周期函数，所以 f(2 017)f(1 00821)f(1)log4(123)1.(2)教材习题改编设 f(x)是周期为 2 的奇函数，当 0x1 时，f(x)2x(1x)，则 f_.答案：1
6、 2周期性三个常用结论对 f(x)定义域内任一自变量的值 x，最小正周期为 T.(1)若 f(xa)f(x)，则 T_；(2)若 f(xa)，则 T_；(3)若 f(xa)f(xb)，则 T_.答案：(1)2|a| (2)2|a| (3)|ab|解析：(1)因为 f(x2a)f(xaa)f(xa)f(x)，所以其最小正周期 T2|a|.(2)因为 f(x2a)f(xaa)f(x)，- 5 - / 19所以其最小正周期 T2|a|.(3)f(xab)f(xb)af(xb)bf(x)，所以其最小正周期 T|ab|.典题 2 (1)2017山西晋中模拟已知 f(x)是 R 上的奇函数，f(1)2，且
7、对任意 xR 都有 f(x6)f(x)f(3)成立，则 f(2 017)_.答案 2解析 f(x)是 R 上的奇函数，f(0)0，又对任意 xR 都有 f(x6)f(x)f(3)，当 x3 时，有 f(3)f(3)f(3)0，f(3)0，f(3)0，f(x6)f(x)，周期为 6.故 f(2 017)f(1)2.(2)设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且对任意实数 x，恒有f(x2)f(x)当 x0,2时，f(x)2xx2.求函数的最小正周期；计算 f(0)f(1)f(2)f(2 015)解 f(x2)f(x)，f(x4)f(x2)f(x)f(x)的最小正周期为 4.f(0)0，f(1)1
8、，f(2)0，f(3)f(1)f(1)1.又f(x)是周期为 4 的周期函数，f(0)f(1)f(2)f(3)f(4)f(5)f(6)f(7)- 6 - / 19f(2 012)f(2 013)f(2 014)f(2 015)0，f(0)f(1)f(2)f(2 015)0.题点发散 1 若本例(2)中条件变为“f(x2)” ，求函数f(x)的最小正周期解：对任意 xR，都有 f(x2)，f(x4)f(x22)f(x)，f(x)的最小正周期为 4.题点发散 2 若本例(2)中条件改为：定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x6)f(x)，当3x0 的 x 的取值范围是_- 9 - / 19答案
9、：(1,0)(1，)考情聚焦 高考常将函数的单调性、奇偶性及周期性相结合来命题，以选择题或填空题的形式考查，难度稍大，为中高档题主要有以下几个命题角度：角度一奇偶性的应用典题 3 (1)2017河北武邑中学高三上期中已知 f(x)满足对xR，f(x)f(x)0，且 x0 时，f(x)exm(m 为常数)，则 f(ln 5)的值为( )B4A4D6C6答案 B解析 由题设函数 f(x)是奇函数，故 f(0)e0m1m0，即 m1，所以 f(ln 5)f(ln 5)eln 51514，故选 B.(2)设函数 f(x)为奇函数，则 a_.答案 1解析 f(x)为奇函数，f(1)f(1)0，即0，a1
10、.角度二函数的奇偶性与单调性相结合问题典题 4 (1)设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x0，)时f(x)是增函数，则 f(2)，f()，f(3)的大小关系是( )- 10 - / 19Af()f(3)f(2) Bf()f(2)f(3)Cf()f(3)f(2) Df()f(2)f(3)答案 A解析 因为 32，且当 x0，)时 f(x)是增函数，所以 f()f(3)f(2)又函数 f(x)为 R 上的偶函数，所以 f(3)f(3)，f(2)f(2)，故 f()f(3)f(2)(2)已知函数 f(x)是定义域为 R 的偶函数，且在区间0，)上是增函数，若 f(m)f(2)，则实数 m 的取值
11、范围是_答案 (，22，)解析 函数 f(x)是 R 上的偶函数，且在0，)上是增函数，所以 f(x)在(，0上是减函数当 m0 时，由 f(m)f(2)，知 m2；当 m0 时，由 f(m)f(2)，f(2)f(2)可得，f(m)f(2)，所以 m2.故实数 m 的取值范围是(，22，)角度三函数的周期性与奇偶性相结合问题典题 5 (1)已知 f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数，若 f(1)1，f(5)，则实数 a 的取值范围为( )B(2,0)A(1,4)- 11 - / 19D(1,2)C(1,0)答案 A解析 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数，f(5)f(5
12、6)f(1)f(1)，f(1)1，f(5)，1，即0，解得1a4.(2)若函数 f(x)(xR)是周期为 4 的奇函数，且在0,2上的解析式为 f(x) 则 ff_.答案 5 16解析 由于函数 f(x)是周期为 4 的奇函数，所以 ffff(2 47 6)ffff(7 6)sin .角度四函数的单调性、奇偶性与周期性相结合问题典题 6 (1)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x4)f(x)，且在区间0,2上是增函数，则( )Af(25)0)5对称性的三个常用结论(1)若函数 yf(xa)是偶函数，即 f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线 xa 对称(2)若对于 R
13、 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)，则 yf(x)的图象关于直线 xa 对称(3)若函数 yf(xb)是奇函数，即 f(xb)f(xb)0，则函数 yf(x)关于点(b,0)中心对称易错防范 1.f(0)0 既不是 f(x)是奇函数的充分条件，也不是必要条件2分段函数奇偶性判定时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性真题演练集训 12015福建卷下列函数为奇函数的是( )By|sin x|AyDyexexCycos x答案：D解析：对于 D，f(x)exex 的定义域为 R，f(x)exexf(x)，
14、故 yexex 为奇函数而 y的定义域为x|x0，不具有对称性，故 y为非奇非偶函数y|sin x|和ycos x 为偶函数22014新课标全国卷设函数 f(x)，g(x)的定义域都为R，且 f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )Af(x)g(x)是偶函数 - 15 - / 19B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数答案：C解析：A：令 h(x)f(x)g(x)，则 h(x)f(x)g(x)f(x)g(x)h(x)，h(x)是奇函数，A 错B：令 h(x)|f(x)|g(x)，则 h(x)|f(x)|g(x)|f(x
15、)|g(x)|f(x)|g(x)h(x)，h(x)是偶函数，B 错C：令 h(x)f(x)|g(x)|，则 h(x)f(x)|g(x)|f(x)|g(x)|，h(x)是奇函数，C 正确D：令 h(x)|f(x)g(x)|，则 h(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|f(x)g(x)|h(x)，h(x)是偶函数，D 错32016山东卷已知函数 f(x)的定义域为 R.当 x0 时，f(x)x31；当1x1 时，f(x)f(x)；当 x时，ff，则f(6)( )B1A2D2C0答案：D解析：由题意可知，当1x1 时，f(x)为奇函数，且当 x时，f(x1)f(x)，所以 f(6)f(511)
16、f(1)而 f(1)f(1)(1)312，所以 f(6)2.故选 D.42015新课标全国卷若函数 f(x)xln(x)为偶函数，则 a_.- 16 - / 19答案：1解析： f(x)为偶函数， f(x)f(x)0 恒成立， xln(x)xln(x)0 恒成立， xln a0 恒成立， ln a0，即 a1.52016四川卷已知函数 f(x)是定义在 R 上的周期为 2 的奇函数，当 00，f(x2)，对任意 xR 恒成立，则 f(2 015)( )B3A4D1C2思路分析 解析 因为 f(x)0，f(x2)，所以 f(x4)f(x2)2)f(x)，即函数 f(x)的周期是 4.所以 f(2
17、 015)f(50441)f(1)，- 18 - / 19因为函数 f(x)为偶函数，所以 f(2 015)f(1)f(1)当 x1 时，f(12)，得f(1).即 f(1)1，所以 f(2 015)f(1)1.答案 D方法探究对于抽象函数，常常利用恰当赋值解答问题，在赋值时要注意观察变量与所求问题之间的关系，有时需要进行多次赋值3抽象函数的奇偶性抽象函数的奇偶性就是要判断x 对应的函数值与 x 对应的函数值之间的关系，从而得到函数图象关于原点或 y 轴对称，再结合函数的图象作出进一步的判断典例 3 已知函数 f(x)对任意 x，yR，都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且 f(0)
18、0，求证：f(x)是偶函数思路分析 证明 已知对任意 x，yR，都有 f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，不妨取 x0，y0，则有 2f(0)2f(0)2，因为 f(0)0，所以 f(0)1.取 x0，得 f(y)f(y)2f(0)f(y)2f(y)，所以 f(y)f(y)又 yR，所以函数 f(x)是偶函数方法探究在利用函数奇偶性的定义进行判断时，如果等式中还有其他的量- 19 - / 19未解决，例如本题中的 f(0)，就需要令 x，y 取特殊值进行求解4抽象函数的单调性与抽象不等式抽象函数的单调性一直是高考考查的难点，常出现在一些综合性问题中，需要先对所含的参数进行分类讨论或根据已知条件确定出参数的范围，再根据单调性求解或证明抽象不等式典例 4 设函数 f(x)是定义在(0，)上的增函数，且满足f(xy)f(x)f(y)若 f(3)1，且 f(a)f(a1)2，求实数 a 的取值范围思路分析 解 因为 f(xy)f(x)f(y)，且 f(3)1，所以 22f(3)f(3)f(3)f(9)又 f(a)f(a1)2，所以 f(a)f(a1)f(9)再由 f(xy)f(x)f(y)，可知 f(a)f(9(a1)因为 f(x)是定义在(0，)上的增函数，从而有解得 19(a1)