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1、2024年长沙中考数学终极押题密卷1一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1（3分）2022的相反数是（）ABC2022D20222（3分）如图是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，其俯视图是（）ABCD3（3分）买一张电影票，座位号是偶数号这个事件是（）A必然事件B不可能事件C随机事件D确定性事件4（3分）下列计算正确的是（）A2x+3y5xyB（m+2）2m2+4C（xy2）3xy6Da10a5a5（a0）5（3分）已知一个正多边形的一个内角为150度，则它的边数为（）A12B8C9D76（3分）某人用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成
2、如图所示的统计图在这组数据中，众数和中位数分别是（）A1.3，1.35B1.4，1.3C1.4，1.35D1.3，1.37（3分）如图，已知ABEG，BCDE，CDEF，则x、y、z三者之间的关系是（）AxzyBx+y+z180CyxzDyxxz8（3分）估计（）在哪两个整数之间（）A5和6B6和7C7和8D8和99（3分）如图，AB是O的直径，BC是弦，ODAC交于点D，交BC于点E，若BC8，ED2，则O的半径是（）A3B4C5D210（3分）下列说法正确的是（）A0没有相反数B用普查的方法调查全国2021级七年级学生的视力情况C0既不是正数也不是负数D有理数分为正有理数和负有理数二填空题
3、（共6小题，满分18分，每小题3分）11（3分）因式分解2x28y2 12（3分）已知a2a10，且，则x 13（3分）点（2021，2022）关于x轴对称的点的坐标为 14（3分）如图，在ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF下列结论：四边形ABEF是菱形；CEDF；若AB2，AE2，则四边形ABEF的面积为2其中不正确的个数有 个15（3分）某校为了解学生喜爱的体育活动项目，随机抽查了100名学生，让每人选一项自己喜欢的项目，并制成如图所示的扇形统计图如果该校有1000名
4、学生，则喜爱跳绳的学生约有 人16（3分）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且ADBO，ABO60，AB4，过点D作DCBE于点C，则阴影部分的面积是 三解答题（共9小题，满分72分）17（6分）计算：18（6分）先化简，再求值：，其中x319（6分）如图，海面上有A，B，C三个小岛，A，B两岛相距20海里，B，C两岛相距20海里，A，C两岛相距40海里，若B岛在A岛的东北方向上，那么C岛在A岛的什么方向上？20（8分）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选
5、择一类自己最喜欢的书籍进行统计根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图根据图中信息回答问题：（1）九年级（1）班的学生总数为 ；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，A的扇形圆心角度数为 ，m的值为 ；（4）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率为 21（8分）如图，CACB，E在BC上，且CECD，ACBDCE90，AE的延长线交BD于F，连接CF（1）猜想AE与BD的关系，并给予证明（2）求CFB的度数22（9分）每年五、六月份是我国冬小麦的收割时间某农业合作社租
6、用中型收割机和小型收割机进行冬小麦收割已知1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩（1）求每台中型收割机和每台小型收割机平均每天各收割小麦多少亩？（2）每台中型收割机和每台小型收割机每天的租金分别为1800元和1000元，该合作社种植了冬小麦5350亩，合作社计划租用两型收割机共8台，在5天时间内将小麦全部收割，要使租用收割机的总金额不超过65000元，试求出所有满足条件的租用方案并指出最经济的方案，计算出此种方案的总租金23（9分）如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且ACE是等边三角形（1）求证：
7、四边形ABCD是菱形；（2）若AED2EAD，ABa，求四边形ABCD的面积24（10分）如图，在ABC中，AB20，BC21，tan B，D是射线BC上一点，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90，得到DE（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答）（1）当ABD的外心O在其内部时，求BD的取值范围；（2）连接CE，当BD11时，求DCE的面积；（3）当点E恰好落在直线BC或直线AC上时，求DA旋转到DE的过程中，点A所走的路径长25（10分）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标之和为零的点，则称该点为这个函数图象的“好点”例如，点（1，1）是函数yx+2的图象的“好
8、点”（1）在函数yx+3，yyx2+2x+1的图象上，存在“好点”的函数是 ；（填序号）（2）设函数y（x0）与ykx+3的图象的“好点”分别为点A、B，过点A作ACy轴，垂足为C当ABC为等腰三角形时，求k的值；（3）若将函数yx2+2x的图象在直线ym下方的部分沿直线ym翻折，翻折后的部分与图象的其余部分组成了一个新的图象当该图象上恰有3个“好点”时，求m的值2024年菁优长沙中考数学终极押题密卷1参考答案与试题解析一选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1（3分）2022的相反数是（）ABC2022D2022【考点】相反数菁优网版权所有【专题】实数；运算能力【答案】D【分析】根据相
9、反数的定义直接求解【解答】解：2022的相反数是2022，故选：D【点评】本题主要考查相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解答此题的关键2（3分）如图是由5个大小相同的正方体组成的立体图形，其俯视图是（）ABCD【考点】简单组合体的三视图菁优网版权所有【专题】投影与视图；空间观念【答案】A【分析】根据简单组合体三视图的意义，得出从上面看所得到的图形即可【解答】解：从上面看，所得到的图形有两行，其中第一行有2个小正方形，第二行有2个小正方形，因此选项A中的图形比较符合题意，故选：A【点评】本题考查简单组合体的三视图，掌握视图的意义，得到各种视图的形状是正确判断的前提3（3分）买一张电影票，座位号
10、是偶数号这个事件是（）A必然事件B不可能事件C随机事件D确定性事件【考点】随机事件菁优网版权所有【专题】概率及其应用；数据分析观念【答案】C【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可【解答】解：买一张电影票，座位号是偶数号这个事件是随机事件，故选：C【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念必然事件指在一定条件下，一定发生的事件不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件4（3分）下列计算正确的是（）A2x+3y5xyB（m+2）2m2+4C（xy2）3xy6Da10a5a5（a0）【考点】完全平方公式；合并同类项；
11、幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法菁优网版权所有【专题】整式；运算能力【答案】D【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法进行计算，再逐个判断即可【解答】解：A2x与3y不能合并，故本选项不符合题意；B（m+2）2m2+4m+4，故本选项不符合题意；C（xy2）3x3y6，故本选项不符合题意；Da10a5a5，故本选项符合题意；故选：D【点评】本题考查了合并同类项法则，完全平方公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法等知识点，注意：（ab）nanbn（注意：积的每个因式都乘方）5（3分）已知一个正多边形的一个内角为150度，则它的边数为（）A12B8C9D7【
12、考点】多边形内角与外角菁优网版权所有【专题】计算题；一次方程（组）及应用；正多边形与圆；应用意识【答案】A【分析】设出多边形的边数，利用内角和相等列出方程求解即可【解答】解：设该正多边形为正n边形则（n2）180150n解得：n12故选：A【点评】本题考查了多边形的内角和定理、多边形的性质及一元一次方程的解法解决本题亦可通过外角和恒为360和正多边形的外角相等直接求解6（3分）某人用手机软件记录了某个月（30天）每天健步走的步数（单位：万步），将记录结果绘制成如图所示的统计图在这组数据中，众数和中位数分别是（）A1.3，1.35B1.4，1.3C1.4，1.35D1.3，1.3【考点】众数；中
13、位数菁优网版权所有【专题】统计的应用；运算能力【答案】B【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此判断即可【解答】解：这组数据中1.4出现的次数最多，在每天所走的步数这组数据中，众数是1.4；每天所走的步数的中位数是：（1.3+1.3）21.3，在每天所走的步数这组数据中，众数和中位数分别是1.4、1.3故选：B【点评】本题主要考查了众数、中位数的含义和求法，熟练掌握将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最
14、多的数据是解答此题的关键7（3分）如图，已知ABEG，BCDE，CDEF，则x、y、z三者之间的关系是（）AxzyBx+y+z180CyxzDyxxz【考点】平行线的性质菁优网版权所有【专题】线段、角、相交线与平行线；运算能力【答案】A【分析】延长AB交DE于H，依据平行线的性质，即可得到ABCDEG，即xz+y，进而得到xzy【解答】解：如图所示，延长AB交DE于H，BCDE，ABCAHEx，CDEF，ABEG，DDEFz，AHEDEGz+y，ABCDEG，即xz+y，xzy故选：A【点评】此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握平行线性质定理：两直线平行，内错角相等8（3分）估计（）在哪两个
15、整数之间（）A5和6B6和7C7和8D8和9【考点】估算无理数的大小菁优网版权所有【专题】实数；应用意识【答案】B【分析】根据二次根式的混合运算化简式子，再估算出的大小即可解答【解答】解（），（）在6和7两个整数之间故选：B【点评】本题主要考查的是估算无理数的大小，掌握算术平方根的性质是解题的关键9（3分）如图，AB是O的直径，BC是弦，ODAC交于点D，交BC于点E，若BC8，ED2，则O的半径是（）A3B4C5D2【考点】垂径定理；勾股定理菁优网版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；圆的有关概念及性质；运算能力；推理能力【答案】C【分析】由圆周角定理得ACB90，再证ODBC，由垂径定理
16、得BEBC4，设O的半径为r，则OEr2，然后在RtOBE中，由勾股定理得出方程，解方程即可【解答】解：AB是O的直径，ACB90，ODAC，OEBACB90，ODBC，BEBC4，设O的半径为r，则OEr2，在RtOBE中，由勾股定理得：42+（r2）2r2，解得：r5，即O的半径为5，故选：C【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、平行线的性质等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理得出方程是解题的关键10（3分）下列说法正确的是（）A0没有相反数B用普查的方法调查全国2021级七年级学生的视力情况C0既不是正数也不是负数D有理数分为正有理数和负有理数【考点】有理数；相反数；正数和负
17、数菁优网版权所有【专题】实数；数据的收集与整理；数感；数据分析观念【答案】C【分析】依据有理数的分类、相反数和抽样调查，即可得到正确结论【解答】解：A、0有相反数，是0，原来的说法错误，不符合题意；B、用抽样调查的方法调查全国2021级七年级学生的视力情况，原来的说法错误，不符合题意；C、0既不是正数也不是负数是正确的，符合题意；D、有理数分为正有理数，0和负有理数，原来的说法错误，不符合题意故选：C【点评】本题主要考查了有理数的分类、相反数和抽样调查，关键是根据有理数的分类、相反数和抽样调查的有关概念解答二填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11（3分）因式分解2x28y22（x+2y
18、）（x2y）【考点】提公因式法与公式法的综合运用菁优网版权所有【专题】计算题；因式分解；运算能力【答案】2（x+2y）（x2y）【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有2项，可采用平方差公式继续分解【解答】解：2x28y22（x24y2）2（x+2y）（x2y）故答案为：2（x+2y）（x2y）【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解12（3分）已知a2a10，且，则x4【考点】解分式方程菁优网版权所有【专题】分式方程及应用；运算能力【答案】4【分析
19、】已知等式整理后，表示出x，把已知等式移项变形后代入降次，计算即可求出值【解答】解：，6a49xa2+62a34xa2+2a，整理得：x，a2a10，a2a+1，则x 4故答案为：4【点评】此题考查了解分式方程，利用了整体代换的思想，熟练掌握运算法则是解本题的关键13（3分）点（2021，2022）关于x轴对称的点的坐标为 （2021，2022）【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标菁优网版权所有【专题】平面直角坐标系；符号意识【答案】（2021，2022）【分析】关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数【解答】解：点（2021，2022）关于x轴对称的点的坐标为（2021，20
20、22）故答案为：（2021，2022）【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，掌握横纵坐标关系是解题关键14（3分）如图，在ABCD中，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，再分别以点B、F为圆心，大于BF的相同长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点E，连接EF下列结论：四边形ABEF是菱形；CEDF；若AB2，AE2，则四边形ABEF的面积为2其中不正确的个数有 0个【考点】作图基本作图；平行四边形的性质；菱形的判定与性质菁优网版权所有【专题】矩形 菱形 正方形；尺规作图；几何直观【答案】0【分析】由题意可知，ABAF，AE为BAD的平分线，根据平行四边形的性质以及菱
21、形的判定与性质进行判断即可【解答】解：由题意可知，ABAF，AE为BAD的平分线，BAEFAE，四边形ABCD为平行四边形，BCAD，BEAFAE，BAEBEA，ABBE，BEAF，四边形ABEF为平行四边形，ABAF，四边形ABEF是菱形故正确，不符合题意；四边形ABCD为平行四边形，BCAD，四边形ABEF是菱形，BEAF，CEDF故正确，不符合题意；连接BF，交AE于点O，四边形ABEF是菱形，BFAE，AO，BO1，BF2，四边形ABEF的面积为2故正确，不符合题意故答案为：0【点评】本题考查作图基本作图、平行四边形的性质、菱形的判定与性质，熟练掌握角平分线的作图方法、平行四边形的性质
22、、菱形的判定与性质是解答本题的关键15（3分）某校为了解学生喜爱的体育活动项目，随机抽查了100名学生，让每人选一项自己喜欢的项目，并制成如图所示的扇形统计图如果该校有1000名学生，则喜爱跳绳的学生约有300人【考点】扇形统计图；用样本估计总体菁优网版权所有【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念；应用意识【答案】见试题解答内容【分析】样本中“跳绳人数”占整体的115%45%10%30%，因此估计总体100人的30%是“跳绳”的人数【解答】解：1000（115%45%10%）100030%300（人），故答案为：300【点评】本题考查扇形统计图的意义，明确各个量之间的关系，是正确解
23、答的关键16（3分）如图，点O是半圆圆心，BE是半圆的直径，点A，D在半圆上，且ADBO，ABO60，AB4，过点D作DCBE于点C，则阴影部分的面积是 2【考点】扇形面积的计算；勾股定理；垂径定理；圆周角定理菁优网版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；与圆有关的计算；运算能力；推理能力【答案】2【分析】连接OA，易求得圆O的半径为4，扇形的圆心角的度数，然后根据S阴影SAOB+S扇形OAESBCD即可得到结论【解答】解：连接OA，ABO60，OAOB，AOB是等边三角形，AB4，O的半径为4，ADOB，DAOAOB60，OAOD，AOD60，AOBAOD60，DOE60，AOE120，DC
24、BE于点C，CDsin60OD42，OCOD2，BC4+26，S阴影SAOB+S扇形OAESBCD4262 462，故答案为：2【点评】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键三解答题（共9小题，满分72分）17（6分）计算：【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值菁优网版权所有【专题】实数；运算能力【答案】0【分析】原式利用算术平方根定义，特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值【解答】解：原式21+230【点评】此题考查了实数的运算，负整数指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本
25、题的关键18（6分）先化简，再求值：，其中x3【考点】分式的化简求值菁优网版权所有【专题】计算题；分式；运算能力【答案】3x+2，7【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可【解答】解： 3x+2，当x3时，原式9+27【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键19（6分）如图，海面上有A，B，C三个小岛，A，B两岛相距20海里，B，C两岛相距20海里，A，C两岛相距40海里，若B岛在A岛的东北方向上，那么C岛在A岛的什么方向上？【考点】勾股定理的应用菁优网版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；解直角三角形及其应用；应用意识【答
26、案】C岛在A岛的北偏东75方向上【分析】根据勾股定理的逆定理得到B90，根据三角函数的定义得到BAC30，于是得到结论【解答】解：AB2+BC2（20）2+2021200+4001600402AC2，B90，sinBAC，BAC30，NAB45，NAC75，C岛在A岛的北偏东75方向上【点评】本题考查了勾股定理的应用，三角函数的定义，方向角，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键20（8分）在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计根据统计结果，绘制了如图所
27、示的两幅不完整的统计图根据图中信息回答问题：（1）九年级（1）班的学生总数为 40；（2）补全条形统计图；（3）在扇形统计图中，A的扇形圆心角度数为 108，m的值为 40；（4）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率为 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图菁优网版权所有【专题】数据的收集与整理；统计的应用；概率及其应用；数据分析观念；运算能力【答案】（1）40；（2）详见解答；（3）108，40；（4）【分析】（1）从两个统计图可知，样本中喜欢A类图书的有12人，占调
28、查人数的30%，根据频率进行计算即可；（2）求出喜欢C类图书的人数即可补全条形统计图；（3）A的扇形圆心角度数占360的30%即可，求出B所占的百分比，即可得出m的值；（4）用列表法表示从2男2女中随机选择2人，所有可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可【解答】解：（1）1230%40（人），故答案为：40；（2）40121684（人），补全条形统计图如下：（3）36030%108，1640100%40%，即m40，故答案为：108，40；（4）用列表法表示从2男2女中随机选择2人，所有可能出现的结果如下：共有12种能可能出现的结果，其中1男1女的有8种，所以恰好是一男一女同学去参加读书
29、交流活动的概率为，故答案为：【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图以及列表法或树状图法，掌握频率以及列表法表示所有可能出现的结果是正确解答的前提21（8分）如图，CACB，E在BC上，且CECD，ACBDCE90，AE的延长线交BD于F，连接CF（1）猜想AE与BD的关系，并给予证明（2）求CFB的度数【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形菁优网版权所有【专题】图形的全等；等腰三角形与直角三角形；图形的相似；几何直观；运算能力；推理能力【答案】（1）AE与BD的关系是：AEBD，AEBD；证明见解答过程；（2）135【分析】（1）证ACE和BCD全等可得AE与BD的数量关系；由DCE9
30、0得DCB+D90，然后由AECDBEF可得DBC+BEF90，据此可得出AE与BD的位置关系；（2）先求出ABC45，证BFE和ACE相似得BE：AEEF：CE，进而得BE：EFAE：CE，据此可根据两边对应成比例夹角相等的两个三角形相似得BEA和FEC相似，进而根据相似三角形的对应角相等得ABECFE45，进而可求出CFB的度数【解答】解：（1）AE与BD的关系是：AEBD，AEBD证明如下：ACBDCE90，ACEBCD90，在ACE和BCD中，ACBCD（SAS），AEBD；DCE90，DCB+D90，由可知：ACBCD，AECD，又AECBEF，DBEF，DBC+BEF90，BFE1
31、80（DBC+BEF）1809090，AFBD；（3）CACB，ACB90，ACB为等腰直角三角形，ABC45由（1）可知：BFE90，BFEACE90，又BEFAEC，BFEACE，BE：AEEF：CE，BE：EFAE：CE，又BEAFEC，BEAFEC，ABECFE45，CFBCFE+BFE45+90135【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等和三角形相似的证明方法，理解全等三角形的对应边相等、对应角相等；相似三角形的对应角相等是解答此题的关键22（9分）每年五、六月份是我国冬小麦的收割时间某农业合作社租用中型收割机和小型
32、收割机进行冬小麦收割已知1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩（1）求每台中型收割机和每台小型收割机平均每天各收割小麦多少亩？（2）每台中型收割机和每台小型收割机每天的租金分别为1800元和1000元，该合作社种植了冬小麦5350亩，合作社计划租用两型收割机共8台，在5天时间内将小麦全部收割，要使租用收割机的总金额不超过65000元，试求出所有满足条件的租用方案并指出最经济的方案，计算出此种方案的总租金【考点】二元一次方程组的应用；一元一次不等式组的应用；一元一次方程的应用菁优网版权所有【专题】一次方程（组）及应用；一元一次不等式
33、（组）及应用；运算能力；应用意识【答案】（1）每台中型收割机平均每天收割小麦160亩，每台小型收割机平均每天收割小麦90亩；（2）共有2种租用方案，方案1：租用5台中型收割机，3台小型收割机；方案2：租用6台中型收割机，2台小型收割机；最经济的方案为：方案1、租用5台中型收割机，3台小型收割机，此种方案的总租金为60000元【分析】（1）设每台中型收割机平均每天收割小麦x亩，每台小型收割机平均每天收割小麦y亩，根据“1台中型收割机和3台小型收割机一天共能收割小麦430亩，1台中型收割机比1台小型收割机每天多收割70亩”，可列出关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可；（2）设租用m台中型收割机
34、，则租用（8m）台小型收割机，根据“恰好用5天时间将小麦全部收割，且租用收割机的总费用不超过65000元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解不等式组得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各租用方案，分别计算各租用方案的租金进行比较即可【解答】解：（1）设每台中型收割机平均每天收割小麦x亩，每台小型收割机平均每天收割小麦y亩，由题意得：，解得：，每台中型收割机平均每天收割小麦160亩，每台小型收割机平均每天收割小麦90亩，答：每台中型收割机平均每天收割小麦160亩，每台小型收割机平均每天收割小麦90亩；（2）设租用m台中型收割机，则租用（8m）台小型收割机，由题意得：，解得：5m，又m为
35、正整数，m可以为5或6，共有2种租用方案，方案1、租用5台中型收割机，3台小型收割机；方案2、租用6台中型收割机，2台小型收割机；方案1租金为：180055+10005360000（元），方案2租金为：180056+10005264000（元），6000064000，最经济的方案为：方案1：租用5台中型收割机，3台小型收割机，此种方案的总租金为60000元【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组23（9分）如图，在ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延
36、长线上一点，且ACE是等边三角形（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若AED2EAD，ABa，求四边形ABCD的面积【考点】菱形的判定与性质；等边三角形的性质；平行四边形的性质菁优网版权所有【专题】等腰三角形与直角三角形；多边形与平行四边形；矩形 菱形 正方形；推理能力【答案】（1）证明见解析；（2）a2【分析】（1）由等边三角形的性质得EOAC，即BDAC，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论；（2）证明菱形ABCD是正方形，即可得出答案【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，AOOC，ACE是等边三角形，EOAC （三线合一），即BDAC，ABCD是菱形；（2）
37、解：ACE是等边三角形，EAC60由（1）知，EOAC，AOOCAEOOEC30，AOE是直角三角形，AED2EAD，EAD15，DAOEAOEAD45，ABCD是菱形，BAD2DAO90，菱形ABCD是正方形，正方形ABCD的面积AB2a2【点评】本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，证明四边形ABCD为菱形是解题的关键24（10分）如图，在ABC中，AB20，BC21，tan B，D是射线BC上一点，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90，得到DE（如需作图或作辅助线，请先将原题草图画在对应题目的答题区域后再作答）（1）当ABD的外心O在其
38、内部时，求BD的取值范围；（2）连接CE，当BD11时，求DCE的面积；（3）当点E恰好落在直线BC或直线AC上时，求DA旋转到DE的过程中，点A所走的路径长【考点】圆的综合题菁优网版权所有【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；与圆有关的计算；图形的相似；解直角三角形及其应用；几何直观；应用意识【答案】（1）16BD25；（2）25；（3）6或【分析】（1）过A作AFBC于F，过A作AGAB，交BC延长线于G，在RtABF中，AB20，tan B，可求得BF16，在RtABG中，AB20，tan B，AG15，即得BG25，当ABD的外心O在其内部时，ABD是锐角三角形，D在线段FG上（不包括
39、F、G），故16BD25；（2）过A作AFBC于F，过E作EHBC，交BC延长线于H，由将AD绕点D顺时针旋转90，得到DE，可证DEHADF，即得HEDF，而BF16，BD11，有DF5HE，即可得SDCECDHE25；（3）当E落在直线BC上时，由ADE90，可得AD12，故点A所走的路径长为6；当E落在直线AC上时，过A作AMBC于M，过E作ENBC，交BC延长线于N，由已知可得AM12，BM16，即得CM5，而ADMDEN（AAS），得DNAM12，DMNE，即得CN+DMDNCM7，设DMNEx，则CN7x，由AMCENC，得，解得x，可得AD，故点A所走的路径长为【解答】解：（1）
40、过A作AFBC于F，过A作AGAB，交BC延长线于G，如图：在RtABF中，AB20，tan B，设AF3m，则BF4m，（3m）2+（4m）2202，m4，BF16，在RtABG中，AB20，tan B，设AG3n，则AB5n，5n20，n5，AG15，BG25，当ABD的外心O在其内部时，ABD是锐角三角形，D在线段FG上（不包括F、G），16BD25；（2）过A作AFBC于F，过E作EHBC，交BC延长线于H，如图：将AD绕点D顺时针旋转90，得到DE，HDE90ADFDAF，ADDE，在ADF和DEH中，DEHADF（AAS），HEDF，由（1）知：BF16，BD11，DF5HE，BC
41、21，BD11，CDBCBD10，SDCECDHE10525；（3）当E落在直线BC上时，如图：ADE90，ADB90，在RtABD中，AB20，tan B，设AD3t，则BF4t，（3t）2+（4t）2202，t4，AD12，点A所走的路径长为6；当E落在直线AC上时，过A作AMBC于M，过E作ENBC，交BC延长线于N，如图：在RtABM中，AB20，tan B，设AM3s，则BM4s，（3s）2+（4s）2202，s4，AM12，BM16，BC21，CM5，将AD绕点D顺时针旋转90，得到DE，NDE90ADMDAM，ADDE，在ADM和DEN中，ADMDEN（AAS），DNAM12，DMNE，CN+DMDNCM7，设DMNEx，则CN7x，ACMECN，AMCENC90，AMCENC，即，解得x，DM，AD，点A所走的路径长为，综上所述，点A所走的路径长为