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1、湖北省重点高中智学联盟2024年春季高二年级5月联考命题学校：鄂俞高饭中学数学试题命题人：一、选择题z本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个t选项中，只有一项是符合题目要求的1.(.rs.川r的展开式中x的系数为（A.50B.100c.-50D.-100 2.若集合A=ne NIA;2 0在1,99上有且只有26个整数解，贝lj实数r的取值范围是L：湖北省重点高中智学联盟湖北省重点高中智学联盟 2024 年春季高二年级年春季高二年级 5 月联考月联考数学数学参考答案参考答案一、选择题：选择题：题号12345678答案CAABCBDB1.【详解】323235C(5)()50 xyx
2、 y，故选：C2.【详解】由2886nnAnAAN，则288(8)(7)6nnnn，解得56n，所以 6A，由32CCnnBnN，解得5n，所以5B，所以AB.故选：A3.【详解】()f xx在0,4上的平均变化率为12，令1211()22oofxx；则01x；故选：A4.【详解】分成两类：个位是 0,有2520A;个位是 5，先填百位再填个位，有4 416种，故一共有 36 种；故选：B5.【详解】因为111nnSSnn，所以nSn是以 1 为公差的等差数列，又1121Sa，所以211nSnnn，2nan则218182182(98)2(9)nnnannaannnnnn，因为8892+994
3、2nnnn，当且仅当2 2n 时等号成立，所以当2n 时，2310130aa a，当3n 时，3411388aa a，故数列18nnnaaa的最大项为388，6.【详解】设直线ykxb与曲线()f x相切于点111(,)P x y，与曲线 h x相切于点222(,)P xy，由于()exf x，20242024xh xe，所以()exfx，2024exgx，11exy，220242e2024xy，#QQABRQIEgggIAJIAAQhCEwECCEGQkAAAAagGxEAAoAABwANABAA=#所以由点111(,)P x y在切线上，得切线方程为111ee()xxyxx，由点222(,
4、)P xy在切线上，得切线方程为22202420242e2024e()xxyxx，故12122024202412e=ee(1)=e(1)2024xxxxxx解得121()2024xxx e，11xe11xke.故选：B7.【详解】“选出了一个男生和一个女生，且两人不是同班同学”的选法有114312CC种,故选：D8.【详解】函数 f x是以 4 为周期的周期函数，当1,3x时，ln xf xx，所以 21 ln xfxx，当1xe时，0fx，函数 f x递增；当3ex时，0fx，函数 f x递减；当xe时，函数 f x取得极大值 1fxe，作出函数 f x在(1,3上的图象，因为 32,ln2
5、ln332ff，所以(3)(2)ff，因为不等式 20fxtf x在1,99上有且只有 26 个整数解，所以不等式 20fxtf x在(1,3上有且只有 1 个整数解，当 0f x 时，不符合题意，故不等式 f xt在(1,3上有且只有 1 个整数解为 3，又因为1,99共有 25 个周期，整数解个数为 25+1=26 个，则 23fft；故选：B二、选择题：二、选择题：题号91011答案ADBDBCD9.【详解】由互斥的定义知，A 项正确，由事件相互独立的定义知，B 项错误；设A“甲同学迟到”；1B=“步行”；2B=“骑自行车”；3B=“乘出租车”，则11221111,|,|5324P BP
6、 A BP BP A B，3331,|1012P BP A B由全概率公式得：112233|P AP B P A BP BP A BP BP A B111131135324101260.C 项错误；由题意可知所求概率为1(|)P BA，#QQABRQIEgggIAJIAAQhCEwECCEGQkAAAAagGxEAAoAABwANABAA=#由贝叶斯公式得：1111|P ABP BP A BP BAP AP A11453131360；D 项正确；10.【详解】数列 1，3 第 n 次拓展后的项数为nP，则13P，25P，根据拓展规则可知，121nnPP，即1121nnPP，数列1nP 是等比数
7、列，首项为 2，公比为 2，12nnP ，即21nnP；故 A 项错误；由212024nnP ，即22023n，解得11n，故 B 项正确；根据拓展规则可知，12434nnnnaaaa，1232nnaa，又126a，数列2na 是等比数列，首项为 6，公比为 3，126 32 3nnna，所以2 31nna;故 C 项错误；123nnSaaaa232 3332nn1323nn，故 D 项正确.11.【详解】2()(sincos)1sin()axexfxeaxxeax，其中21sin1a，2cos,021aa；当1a 时，()f x在x处的切线斜率为()fe，故 A 项错误；令()0fx，由0
8、x 得*,xkkN当*2(21),mxmmN，()0fx；当*(21)(22),mxmmN，()0fx；因此，当*,xkkN时，()f x取得极值，所以*,nxnnN1,x121sinsin1xa，故 B 项正确；当,2x，(,)2x，则sin()yx在,2单调递减，0,2x唯一使0sin()0 x；0,2xx()0fx；0,xx()0fx；故()f x在区间,2存在唯一极大值点0 x；故 C 项正确；()sinnaxnnf xex()sin()a nen；()0nf x(1)1()sin(1)()()sin()a nxaxna nnenf xef xen 是常数；故 D 项正确.三、三、填空
9、题：填空题：12.【详解】设 na的公比为q，则nnSS555的公比为325q，则 na的公比为 2，则8320222025 qaa#QQABRQIEgggIAJIAAQhCEwECCEGQkAAAAagGxEAAoAABwANABAA=#13.【详解】101212121XPXP14.【详解】设 344712fpC pp，则 pppCppCppCpf7221213214234724473347当72,0p时，0pf，pf单调递增；当21,72p时，0pf，pf单调递减.故当72p时，pf取得最大值.四、四、解答题：解答题：15.解：(1)当2n时，1113233nnnnnnSSa3 分而当1n
10、时，211 Sa满足.5 分故132nna,Nn6 分(2)1111212nbnnnn9 分 12341112 3 3 412nnTbbbbbnn 111111233412nn 11 分1122n故1122nTn13 分16.解：(1)设抽出来的是 1 个白球和 2 个红球的事件为 A1 分则总体事件数为：3510C 3 分满足条件的为：12236C C 5 分 63105P A 6 分(2)每一次抽出白球的概率为257 分#QQABRQIEgggIAJIAAQhCEwECCEGQkAAAAagGxEAAoAABwANABAA=#X 的所有可能取值为 0,1,2,39 分则23,5XB12 分
11、X 的分布列为：X0123P271255412536125812514 分故26355E X 15 分17.解：(1)二项式系数之和642 n，则6n分621x展开式的通项rrrrrrrxCxCT2216661分其中3a为3x前面的系数，令3r，则16023363 Ca分(2)1x，则6012363729aaaaa9 分(3)对二项式两边求导，56232156322162xaxaxaax11 分令1x，则63215632362aaaa13 分故29166326321aaaa15 分18.解：(1)设双曲线12222byax的焦距为 2c，且2c，1 分因为0,2F到直线0aybx的距离为222
12、2abb，故2b，3 分则222bca.故双曲线的方程为：12222yx4 分(2)(i)设 2211,yxByxA，联立直线与双曲线的方程2222yxtyx，则024122tyyt#QQABRQIEgggIAJIAAQhCEwECCEGQkAAAAagGxEAAoAABwANABAA=#221221221 0884121tttyyty yt 6 分因为直线与双曲线右支交于两点，故1 22201y yt，则11t故t的取值范围为1,1.9 分(3)(ii)由(i)知，2222122122121881411tttyyyytyytAB11 分原点 O 到直线 AB 的距离212td12 分设 44
13、33,yxDyxC，联立0222yxtyx，则044122tyyt，13 分14243ttyy，14243tyy，01614 分则224324324321161411ttyyyytyytCD15 分而22211222421ttdABCDSSSSAOBCOD，16 分令2,2222tm，则22422424448221242221mmmmmSS，当2m即0t时取到等号.综上所述，21SS 的最大值为224.17 分19.解：(1)axaxaaxxxf332221 分若0a，当,3,aax时，0 xf；当aax3,时，0 xf#QQABRQIEgggIAJIAAQhCEwECCEGQkAAAAagG
14、xEAAoAABwANABAA=#故 xf在a,上单调递增，在aa3,上单调递减，在,3a上单调递增2 分若0a，则 02 xxf，则 xf在R上单调递增3 分若0a，当,3,aax时，0 xf；当aax,3时，0 xf故 xf在a3,上单调递增，在aa,3上单调递减，在,a上单调递增4 分综上所述：当0a时，xf在a,上单调递增，在aa3,上单调递减，在,3a上单调递增；当0a时，则 xf在R上单调递增；当0a时，xf在a3,上单调递增，在aa,3上单调递减，在,a上单调递增.5 分(2)当1a时，xxxxf33123，322xxxf，切点nnnnnxxxxA331,23切线斜率：322nn
15、xx，故切线方程为：nnnnnnxxxxxxxy331322326 分联立得：xxxxxxxxxxnnnnnn33133132232327 分化简得：03263323223nnnnxxxxxxx因式分解得：0322nnxxxx.故321nnxx9 分上式亦满足由0A作切线而得到的1A的横坐标1x，故31x10 分1211nnxx，则1nx是以2为首项，以2为公比的等比数列.11 分故nnx21，故12nnx12 分(3)构造 0,1lnxxxxg 01111xxxxg，故 xg在,0上单调递减，故 00 gxg故当0 x时，xx 1ln14 分故nnnnxx212111111ln15 分#QQABRQIEgggIAJIAAQhCEwECCEGQkAAAAagGxEAAoAABwANABAA=#则1121111lnx，2221111lnx，nnx21111ln将上式累加，得nnxxx211212121111ln111ln111ln11111故1111111111ln21nxxx故exxxxn11111111111132117 分#QQABRQIEgggIAJIAAQhCEwECCEGQkAAAAagGxEAAoAABwANABAA=#