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1、第第1 1讲直线与圆讲直线与圆考情分析考情分析总纲目录考点一 直线的方程及应用考点二 圆的方程及应用考点三 直线与圆、圆与圆的位置关系考点一直线的方程及应用1.直线方程的五种形式(1)点斜式:y-y1=k(x-x1).(2)斜截式:y=kx+b.(3)两点式:=(x1x2且y1y2).(4)截距式:+=1(a0,b0).(5)一般式:Ax+By+C=0(A,B不同时为0).2.三种距离公式(1)A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的距离:|AB|=.(2)点到直线的距离:d=(其中点P(x0,y0),直线的方程为Ax+By+C=0).(3)两平行线间的距离:d=(其中两平行线方程分别为l1
2、:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0).3.两条直线平行与垂直的判定若两条不重合的直线l1,l2的斜率k1,k2存在,则l1l2k1=k2,l1l2k1k2=-1,若给出的直线方程中存在字母系数,则要考虑斜率是否存在.典型例题典型例题(1)若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2间的距离为()A.B.4C.D.2(2)过点(1,2)的直线l与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点,当OAB的面积最小时,直线l的方程为()A.2x+y-4=0B.x+2y-5=0C.x+y-3=0D.2x+3y-8=0解析解析(1)由l1l2,得=
3、,解得a=-1,l1与l2的方程分别为l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,l1与l2之间的距离d=.(2)设l的方程为+=1(a0,b0).则有+=1.a0,b0,+2.答案答案(1)C(2)A即12,ab8.当且仅当=,即a=2,b=4时,取“=”.即当a=2,b=4时,OAB的面积最小.此时l的方程为+=1.即2x+y-4=0.解答直线方程问题应注意的问题(1)求解两条直线平行的问题时,在利用A1B2-A2B1=0建立方程求出参数的值后,要注意代入检验,排除两条直线重合的情况.(2)要注意几种直线方程的局限性.点斜式、斜截式要求直线不能与x轴垂直;两点式要求直线不垂直于坐标轴;截距式
4、方程不能表示过原点的直线,也不能表示垂直于坐标轴的直线.(3)求直线方程要考虑直线的斜率是否存在.方法归纳方法归纳跟踪集训跟踪集训1.已知点A(-1,2),B(3,4).P是x轴上一点,且|PA|=|PB|,则PAB的面积为()A.15B.C.6D.答案答案D设M是AB的中点,由题意知AB的中点坐标为M(1,3),kAB=,AB的中垂线方程为y-3=-2(x-1).即2x+y-5=0,令y=0,则x=,即P点的坐标为.又|AB|=2,P到AB的距离为|PM|=,SPAB=|AB|PM|=2=.2.直线l过点P(1,4),分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A、B两点,O为坐标原点,当|OA|+|
5、OB|最小时,l的方程为.解析解析依题意,l的斜率存在,且斜率为负,设直线l的斜率为k(k0,表示以为圆心,为半径的圆.典型例题典型例题已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆.(1)证明:坐标原点O在圆M上;(2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程.解析解析(1)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+2.由可得y2-2my-4=0,则y1y2=-4.又x1=,x2=,故x1x2=4.因此OA的斜率与OB的斜率之积为=-1,所以OAOB.故坐标原点O在圆M上.(2)由(1)可得y1+y2=2m,x1+x2=m(
6、y1+y2)+4=2m2+4.故圆心M的坐标为(m2+2,m),圆M的半径r=.由于圆M过点P(4,-2),因此=0,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0,即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.由(1)可得y1y2=-4,x1x2=4.所以2m2-m-1=0,解得m=1或m=-.当m=1时,直线l的方程为x-y-2=0,圆心M的坐标为(3,1),圆M的半径为,圆M的方程为(x-3)2+(y-1)2=10.当m=-时,直线l的方程为2x+y-4=0,圆心M的坐标为,圆M的半径为,圆M的方程为+=.求圆的方程的两种方法(1)直接法:利用圆的性质、直
7、线与圆、圆与圆的位置关系,数形结合直接求出圆心坐标、半径,进而求出圆的方程.(2)待定系数法:先设出圆的方程,再由条件构建系数满足的方程(组),求得各系数,进而求出圆的方程.方法归纳方法归纳跟踪集训跟踪集训1.(2015课标,7,5分)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C.D.答案答案B在平面直角坐标系xOy中画出ABC,易知ABC是边长为2的正三角形,其外接圆的圆心为D.因此|OD|=.故选B.2.(2016课标全国,15,5分)设直线y=x+2a与圆C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B两点,若|AB|=2,则圆C的面积为.答案
8、答案4解析解析把圆C的方程化为x2+(y-a)2=2+a2,则圆心为(0,a),半径r=.圆心到直线x-y+2a=0的距离d=.由r2=d2+,得a2+2=+3,解得a2=2,则r2=4,所以圆的面积S=r2=4.考点三直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系的判断(1)几何法:把圆心到直线的距离d和半径r的大小加以比较;dr相离.(2)代数法:将圆的方程和直线的方程联立起来组成方程组,消元后得到一元二次方程,利用判别式来讨论位置关系:0相交;=0相切;r1+r2两圆外离;(2)d=r1+r2两圆外切;(3)|r1-r2|dr1+r2两圆相交;(4)d=|r1-r2|(r1r2)两圆内
9、切;(5)0d|r1-r2|(r1r2)两圆内含.典型例题典型例题(2017课标全国,20,12分)在直角坐标系xOy中,曲线y=x2+mx-2与x轴交于A,B两点,点C的坐标为(0,1).当m变化时,解答下列问题:(1)能否出现ACBC的情况?说明理由;(2)证明过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解析解析(1)不能出现ACBC的情况,理由如下:设A(x1,0),B(x2,0),则x1,x2满足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐标为(0,1),故AC的斜率与BC的斜率之积为=-,所以不能出现ACBC的情况.(2)证明:BC的中点坐标为,可得BC的中垂线方程为y-=x2
10、由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂线方程为x=-.联立又+mx2-2=0,可得所以过A,B,C三点的圆的圆心坐标为,半径r=.故圆在y轴上截得的弦长为2=3,即过A,B,C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.解决直线与圆、圆与圆位置关系的方法(1)讨论直线与圆及圆与圆的位置关系时,要注意数形结合,充分利用圆的几何性质寻找解题途径,减少运算量.(2)圆上的点与圆外点的距离的最值问题,可以转化为圆心到点的距离问题;圆上的点与直线上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到直线的距离问题;圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题,可以转化为圆心到圆心的距离问题.方法归纳方法归纳跟踪集训跟踪集训(201
11、5课标,20,12分)已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.(1)求k的取值范围;(2)若=12,其中O为坐标原点,求|MN|.解析解析(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.因为l与C交于两点,所以1.解得k0)恒有两个交点,则r的取值范围为()A.(,+)B.1,+)C.(2,+)D.2,+)答案答案A直线y=kx-1过定点M(0,-1),由直线y=kx-1(kR)与圆恒有两个交点,得M(0,-1)在圆内,即(0-1)2+(-1)2.3.经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2)的圆M与x轴、y轴的交点(非原点)分别为S、T
12、.则|ST|为()A.6B.8C.10D.12答案答案C解法一:设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.则解得D=-8,E=6,F=0.圆M的方程为x2+y2-8x+6y=0.令y=0,得x2-8x=0,x=0或x=8;令x=0,得y2+6y=0,y=0或y=-6.S(8,0),T(0,-6),|ST|=10.|ST|=2R=10.解法二:由题意知圆M过坐标原点.故ST即为圆的直径,由解法一得4.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0,)在圆C上,且圆心到直线2x-y=0的距离为,则圆C的方程为.答案答案(x-2)2+y2=9解析解析设圆C的方程为(x-a)2+y2=r2(a0),由题意可得解得所以圆C的方程为(x-2)2+y2=9.