《数学 1.1.1 正弦定理（提升版）新人教A版必修5.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学 1.1.1 正弦定理（提升版）新人教A版必修5.ppt（27页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1.1正弦定理2Rsin A 2Rsin B 2Rsin C a b c 基础回扣基础回扣 (2)(2)正弦定理在解三角形中的应用正弦定理在解三角形中的应用已知两边及其中一边的已知两边及其中一边的 ，求其他的边和角；，求其他的边和角；已知两角及已知两角及 ，求其他的边和角，求其他的边和角对角一边例例1 1、想一想：如何用、想一想：如何用ABCABC的外接圆证明这一定理？的外接圆证明这一定理？问题探讨与解题研究类型一 与正弦定理有关的推论分析：作分析：作ABCABC的外接圆，在的外接圆，在ABCABC中中,令令BC=a,AC=b,AB=c,BC=a,AC=b,AB=c,根据根据直径所对的圆周角是
2、直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等，来证明 这一关系这一关系.证明：在证明：在ABCABC中中,已知已知BC=a,AC=b,AB=c,BC=a,AC=b,AB=c,作作ABCABC的外接圆的外接圆,O,O为为圆心圆心,连接连接BOBO并延长交圆于并延长交圆于B,B,设设BB=2R.BB=2R.则根据直径所对的则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 同理同理,可得可得这就是说这就是说,对于任意的三角形对于任意的三角形,上述关系式均成立上述关系式均成立,因此因此,得到等得到等式式1.1
3、.在在ABCABC中，角中，角A A，B B，C C的对边分别是的对边分别是a a，b b，c c，若，若ABCABC=123=123，则，则abcabc等于等于()()(A)123 (B)234 (C)345 (D)1 2(A)123 (B)234 (C)345 (D)1 22.2.在在ABCABC中，中，A=60A=60,a=3,a=3，则，则 =()=()(A)(B)(C)(D)(A)(B)(C)(D)【练习】【练习】【分析】【分析】1.1.由三个角的比值可得角的大小，进而求其正弦的比值，由三个角的比值可得角的大小，进而求其正弦的比值，利用正弦定理求得边的比利用正弦定理求得边的比.2.2
4、.根据比例的性质来求解根据比例的性质来求解.【解析】【解析】1.1.选选D.ABC=123D.ABC=123，故，故 故故sin Asin Bsin sin Asin Bsin 所以所以sin Asin Bsin Csin Asin Bsin C=abc=abc=故选故选D.D.2.2.选选D.D.由比例性质和正弦定理可知由比例性质和正弦定理可知【小结】正弦定理的常用变形【小结】正弦定理的常用变形(1)a=2Rsin A(1)a=2Rsin A，b=2Rsin Bb=2Rsin B，c=2Rsin C.c=2Rsin C.(2)(2)(3)abc=sin Asin Bsin C.(3)abc=
5、sin Asin Bsin C.(4)(4)由变形由变形(1)(2)(1)(2)可以实现三角形中边与角之间的相互转化，这是正可以实现三角形中边与角之间的相互转化，这是正弦定理除了用于求边、角之外的另一重要功能弦定理除了用于求边、角之外的另一重要功能.类型二类型二 解三角形解三角形 例例1、在、在ABC中，已知中，已知a8，B60，C75，求，求A、b、c.【思路点拨思路点拨】已知两角和一边，可由内角和求已知两角和一边，可由内角和求第三个角第三个角A，再由正弦定理求，再由正弦定理求b、c.【名师点评名师点评】已知三角形的两个角求第三个角已知三角形的两个角求第三个角时注意三角形内角和定理的运用，求
6、边时可用正时注意三角形内角和定理的运用，求边时可用正弦定理的变式，把要求的边用已知条件表示出来弦定理的变式，把要求的边用已知条件表示出来再代入计算再代入计算1.1.为锐角为锐角aabsinAbsinA无解无解a=a=bsinAbsinA一解一解bsinAbsinAababab一解一解abab无解无解baba为直角时，与为钝角相同，为直角时，与为钝角相同，abab时，一解；时，一解；abab时，无解时，无解.1 1、在、在ABCABC中中,A=a=1,b=,A=a=1,b=则则B=()B=()2 2、已知、已知a,b,ca,b,c分别是分别是ABCABC的三个内角的三个内角A,B,CA,B,C所
7、对的边，若所对的边，若a=1,a=1,b=A+C=2B b=A+C=2B，则，则sin Csin C等于等于()()【练习】【练习】【分析】【分析】1 1、利用正弦定理求解即可、利用正弦定理求解即可.2 2、先由、先由A+B+C=A+B+C=及条件得及条件得B B，再利用正弦定理得，再利用正弦定理得A A，进而得，进而得sin C.sin C.【解析】【解析】1 1、选、选C.C.由正弦定理可得由正弦定理可得,2 2、选、选A.A.由由A+C=2BA+C=2B且且A+B+C=A+B+C=得得sin C=1.sin C=1.类型三类型三 判定三角形的形状问题判定三角形的形状问题 在在ABC中，若
8、中，若sin A2sin Bcos C，且，且sin2Asin2Bsin2C，试判断，试判断ABC的形状的形状【思路点拨思路点拨】利用正弦定理将角的关系式利用正弦定理将角的关系式sin2Asin2Bsin2C转化为边的关系式，从而判断转化为边的关系式，从而判断ABC的的形状形状【名师点评名师点评】判断三角形的形状，主要看其是判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形等，要特别注意三角形或锐角三角形等，要特别注意“等腰直角等腰直角三角形三角形”与与“等腰三角形或直角三角形等腰三角形或直角三角形”的区别的区别【
9、练习】【练习】(1)1)在在ABCABC中，中，则则ABCABC的形状为的形状为()()(A)(A)直角三角形直角三角形 (B)(B)等腰三角形等腰三角形 (C)(C)等边三角形等边三角形 (D)(D)等腰直角三角形等腰直角三角形【解析】【解析】(1)(1)选选B.B.方法一：方法一：acos(acos(A)A)bcos(bcos(B)B)，asin Aasin Absin B.bsin B.由正弦定理可得：由正弦定理可得：a a2 2=b=b2 2，aab b，ABCABC为等腰三角形为等腰三角形.方法二：方法二：acos(-A)acos(-A)bcos(-B)bcos(-B)，asin A
10、asin Absin B.bsin B.由正弦定理可得：由正弦定理可得：2Rsin2Rsin2 2A A2Rsin2Rsin2 2B B，即，即sin Asin Asin Bsin B，AAB.(AB.(AB B不合题意舍去不合题意舍去)故故ABCABC为等腰三角形为等腰三角形.当堂检测2.在在ABC中，已知中，已知c10，A105，C30，则则b等于（）等于（）.3.3.在在ABCABC中，中，a,b,ca,b,c分别为内角分别为内角A A，B B，C C所对的边，且满足所对的边，且满足sin A=sin A=2-cos A,a=2,B=45 2-cos A,a=2,B=45，则边，则边b
11、b等于等于 ()()【解析】选【解析】选C.C.由已知得由已知得sin A+cos A=2,sin A+cos A=2,即即sin(A+)=1,sin(A+)=1,A(0,),A(0,),A+A+A+=A=A+=A=由正弦定理由正弦定理4.4.在在ABCABC中，若中，若2acos B=c2acos B=c，则，则2cos2cos2 2 +sin B-1+sin B-1的取值范围的取值范围是是()()【解析】选【解析】选C.C.由由2acos B=c2acos B=c得得2sin Acos B=sin C=sin(A+B),2sin Acos B=sin C=sin(A+B),即即2sin A
12、cos B=sin Acos B+cos Asin B2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B，即即sin Acos B-cos Asin B=0,sin Acos B-cos Asin B=0,即即sin(A-B)=0,sin(A-B)=0,四、课堂小结 1 1、已知两边和一边对角，可能出现不同的结果，注意根据、已知两边和一边对角，可能出现不同的结果，注意根据已知条件来判断。已知条件来判断。2 2、在解三角形中进行三角变换，需注意以下两点：、在解三角形中进行三角变换，需注意以下两点：（1 1）三角形内角和定理的应用；）三角形内角和定理的应用；（2 2）利用正弦定理及三角形的有关性质进行边角互化。）利用正弦定理及三角形的有关性质进行边角互化。