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1、 第三章 复变函数的积分3.1解计算积分，路径(1)自原点至的直线段；(2)自原点沿实轴至，由铅直向上至；(3)自原点沿虚轴至，由沿水平方向右至。1L2ioooyxL1 1+iC2(2)(1)xyyxC111+i(3)1+i解：(1)设参数方程为 ，(2) 设参数方程为(3) 设参数方程为3.2计算积分的值，其中C为（1）；（2）.解：令，故当时，为;当时，为.3.3求证：其中C是从到的直线段。11-iC0证明： C：z=1+iy=1+itan, 故有3.4试用观察法确定下列积分的值，并说明理由，C为|z|=1。解：（1） 积分值为0，因被积函数在|z|1内解析。（2） 积分值为0，因被积函数
2、在|z|1内解析。（3）3.5求积分的值，其中C为由正向圆周|z|=2与负向圆周|z|=1所组成。解：3.6解：，其中C为圆周|z|=2。在|z|=2内有两个奇点z=0，1，分别作以0，1为中心的圆周C1，C2，C1与C2不相交，则3.7 3.8解:计算下列积分值。（1）解（2）解 （3）解3.9解:计算，其中c为圆周=2 的右半周，走向为从-3i到。3.10解:计算下列积分。（1）解（2）解 （3）解 将被积函数分解因式得到由于点在圆周 内部，而函数 在闭圆盘 上为解析，故3.11. 解计算 ，其中 C 是（1） （2）（3） （1）被积函数在 内仅有一个奇点 ，故（2）被积函数在 内仅有奇
3、点 ，故（3）被积函数在 内处处解析，故 （4）被积函数在 内仅有两个奇点， ，由复合闭路原理，知其中 为 ， 为 。3.12若是区域G内的非常数解析函数，且 在 G 内无零点，则 不能G 内取到它的最小模。证明：设 因为非常数解析函数，且 ， ，则 为非常数解析函数，所以 在 G 内不能取得最大模，即不能在 G 内取得最小模。3.13. 解计算下列积分。（1） （2） （3）其中:,:3.14.设在上解析，且在 上有 ，试证： 证 由柯西积分公式知 则3.15.设, 在区域 D内处处解析，C 为D内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于D如果在C上所有的点处成立，试证在C所有的点处也成立。证 设 ，因，均在 D 内解析，所以在 D内解析，在 C上， ， 在 C 内有即 ，由 的任意性知，在 C内 。6