第三章复变函数的积分.pdf

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1、第三章 复变函数的积分 本章要求 1正确理解复积分的概念，掌握复积分的性质及一般计算法.2明确柯西积分定理及其几种推广的条件和结论.能运用柯西定理、柯西公式、高阶导数公式来求积分.3掌握柯西不等式、刘维尔定理、代数学基本定理.知道摩勒拉定理与柯西定理组成了解析函数的一个充要条件.4 明确调和函数与共轭调和函数的概念，会由已知的调和函数u和v求出解析函数uiv 本章重点 柯西定理、柯西公式、高阶导数公式及其应用.本章难点 柯西定理、柯西公式、刘维尔定理.3.1 复积分的概念及其简单性质 1.复变函数积分的定义 定义3.1 设有向曲线C：ttzz,以 za 为起点,zb 为终点,zf沿 C有定义.

2、顺着C从a到b的方向在 C 上取分点:bzzzzann ,110 把曲线C分成若干个弧段(图 3.1),在从1kz到kz),2,1(nk 的每一段上任取一点k.作成和数:kknknzfs1 其中1kkkzzz.当分点无限增多.而这些弧段长度的最大值趋于零时,如果和数ns的极限存在且等于J,则称 zf沿 C(从a到b)可积,而称J 为沿C(从a到b)的积分,并以记号 dzzfc表示:dzzfJc C称为积分路径.dzzfc表示沿C的正方向的积分,dzzfc表示沿 C的负方向的积分.如果J存在,我们一般不能把J写成 dzzfba的形式,因为J的值不仅和ba,有关,而且和积分路径C 有关.显然,zf

3、沿曲线 C 可积的必要条件为 zf沿 C 有界.另一方面,我们有 定理 3.1 若 yxivyxuzf,沿曲线 C 连续,则 zf沿 C 可积,且 .udyvdxivdyudxdzzfccc (3.1)注:公式 1.3可以在形式上看成函数 ivuzf与微分idydxdz相乘后所得到的.例 3.1 命 C 表连接点a及b的任一曲线,试证 22212;1abzdzabdzcc 证:(1)因 abzzszfkknkn11,1,故absnnkz0maxlim,即abdzc(2)因 zzf,选1kkz,则得 ,1111kkknkzzz 但我们又可选kkz,则得 ,112kkknkzzz 由定理 3.1,

4、可知积分zdzc存在,因而ns的极限存在,且应与1及2的极限相等,从而应与的极限相等.今2221212121)(2121abzzkknk 所以2221abzdzc 注 当 C 为闭曲线时,.0,0zdzdzcc 2.复变函数积分的计算问题 设有光滑曲线 C:tiytxtzz t,这就表示tz在,上连续且有不为零的导数ty itxtz.又设 zf沿 C 连续.今 tivtutytxivtytxutzf,由公式(3.1)我们有 cccfz dzudxvdyiudyvdxu t xtv t ytdtiu t ytv t xtdt 即 ,dttztzfdzzfc (3.2)或 Redzzfcdttzt

5、zfidttztzfIm (3.3)用公式(3.2)或(3.3)计算复变函数的积分,是从积分路径 C 的参数方程着手,称为参数方程法.(3.2)或(3.3)称为复积分的变量代换公式.例 3.2 (重要的常用例子)ncazdz)1(,0)1(,2nni 这里 C 表示以a为心,为半径的圆周.(注意;积分值与,a均无关)证 C 的参数方程为:.20,ieaz故 ;220202.3idieeiazdziic 当n为整数且1n时,12200122001cos1sin10ii ncnninnndzi e diedezaindind 3.复变函数积分的基本性质 设 zgzf,沿曲线 C 连续,则有下列与数

6、学分析中的曲线积分相类似的性质;adzzfadzzafcC,)1(是常数;(2);dzzgdzzfdzzgzfccc(3),21dzzfdzzfzfccc 其中 C 由曲线1C和2C衔接而成;(4).)()(CCdzzfdzzf(5).)()()(dszfdzzfdzzfCCC 这里dz表示弧长的微分,即 d sd yd xzd22)()()(要得到(5)式,只要把下列不等式取极限:.)()()(111nkkknkkknkkksfzfzf 定理 3.2(积分估值)沿曲线C,)(zf连续,且有正数M使Mzf)(,L为之C长,则 .)(MLdzzfC 证 由不等式 ,)(11MLzMzfnkknk

7、kk 取极限即得证.例 3.3 试证.22Czdz 积分路径C是连接i和i2的直线段.证 C的参数方程为 )2()1(ititz),10(t 即 itz 2 ),10(t 沿C，21z连续，且 .114111222tzz 而C之长为2.由定理 3.2,.22Czdz 例 3.4 试证 ),0(2)(22rararrazazdzrz 证 若,0a则02rzzdz(例 3.2),不等式成立;若0a,则由负积分的基本性质(5),2)(222222azrardzazdzazazdzrzrzrz 注 数学分析中实变函数的积分中值定理,不能直接推广到负积分上来.因由 ,0s inc o s202020di

8、ddei 而(20)0ie，即可看出.3.2 柯西积分定理 1.柯西积分定理 定理 3.3 设)(zf在z平面上的单连通区域D内解析,C为D内任一条围线,则 .0)(Czf 要证明这个定理是比较困难的.1851 年，黎曼在附加假设“)(zf 在D内连续”的条件下，得到一个如下的简单证明.黎曼证明 令),(),()(,yxivyxuzfiyxz，由公式（3.1）,)(CCCudyvdxivdyudxdzzf 而)(zf 在D内连续,导致yxyxvvuu,在D内连续,并适合.RC 条件:有格林定理,0,0CCu d yv d xv d yu d x 故得 .0)(dzzfC 现在先由柯西积分定理，

9、可以得到 定理3.4 设)(zf在z平面上的单连通区域D内解析,C为内任一闭曲线(不必是简单的),则 .0)(dzzfC 证 因为C总可以看承区域D内有限多条围线衔接而成(如图3.3).再由复积分的基本性质（3）及柯西积分定理3.3,即可得证.推论3.5 设)(zf在z平面上的单连通区域D内解析,则)(zf在D内积分与路径无关,即对D内任意两点0z与1z,积分:10)(zzdzzf之值,不依赖于D内连接起点0z与终点1z的曲线.3 不定积分 柯西积分定理3.3 已经回答了积分与路径无关的问题,这就是说,如果在单连通区域D 内)(zf解析,则沿D 内任一曲线L 的积分ldf)(只与其起点和终点有

10、关.因此当起点0z固定时,这积分就在D 内定义了一个变上限z 的单值函数,我们把它记成 ldfZF)()(定理3.6 设)(zf在单连通区域内解析,则由(3.10)定义的函数)(zF在 D 内解析,且)()(zfzF 定理3.7 设 (1)(zf在单连通区域D 内连续;(2)ldf)(沿着区域D 内任一围线的积分值为零(从而,积分与路径无关),图 3.3 C C 则函数zzdfZF0)()(0z为 D 内的一定点)在 D 内解析,且)()(DzzfzF 这与数学分析相仿,我们有 定义 3.2 在区域 D 内,如果)(zf连续,则称合条件)()(Dzzfz的函数)(x的)(zf的一个不顶积分或原

11、函数(显然)(x必在 D 内解析)定理 3.8 在定理 3.6 或定理 3.7 的条件下,如果)(x为)(zf的单连通区域D 的任何一个原函数,则),)()()(000Dzzzzdfzz(3.12)例 3.6 在单连通区域 D;zarg内,函数zln是zzf1)(的一个原函数,而zzf1)(在 D 内解析,故由定理 3.8 有)(ln1lnln1Dzzzdz(3.12)4 柯西积分定理的推广 首先我们来证明柯西积分定理3.3 与下面的定理是等价的.定理 3.3 设是一条围线,D 为 C 之内部,发)(zf在闭域D=D+C 上解析则cdzzf)(=0 证(1)由定理 3.3 推证定理 3.3 由

12、定理3.3的假设,zf必在z平面上一含D的单连通区域G内解析,于是由定理3.3就有 0Cdzzf.(2)由定理3.3推证定理3.3 由定理3.3的假设:“zf在单连通区域D内解析，C为D内任意一条围线”，今设G为C之内部，则 zf必在闭域CGG上解析.于是由定理 3.3就有：0Cd zzf 下面的定理要比定理3.3更一般，它是从一个方面推广了的柯西积分定理.定理 3.9 设C是一条围线，D为C之内部，zf在D内解析，在CDD上连续（也可以说“连续到C”），则：0Cd zzf 因 zf沿C连续，故积分 dzzfC存在.在C的内部作围线nC逼近于C，由定理 3.3知 0dzzfnC.我们希望取极限

13、而得出所要的结论.这种想法提供了证明本定理的一个线索,但严格的证明都比较麻烦,故从略不证.例 3.7 计算下列积分:(1)dzzInrz1 10 r;(2)dzzC21,其中C为右半圆周:3z,0Rez,起点为i 3,终点为i 3;(3)dzzz11,其中z取11那一支.5.柯西积分定理推广到复围线的情形 下面我们从另一个方面推广柯西积分定理,即将柯西积分定理从以一条(单)围线为边界的有界单连通区域,推广到以多条围线组成的”复围线”为边界的有界多连通区域.定义 3.3 考虑1n条围线nCCC,10,其中,21nCCC中每一条都在其余各条的外部,而它们又全都在0C的内部.在0C的内部同时又 在,

14、21nCCC外部的点集构成一个有界的多连通区域D,以.,210nCCCC为它的边界.在这种情况下,我们称区域D的边界是一条复围线nCCCCC210,它包括取正方向的0C,以及取负方向的nCCC,21.换句话说,假如观察者沿复围线C的正方向绕行时,区域D的点总在它的左手边(图 3.10 是2n的情形).定理 3.10 设D是由复围线nCCCCC210所围成的有界多连通区域,zf在D内解析,在CDD上连续,则:0Cd zzf,或写成:nCCCdzzfdzzfdzzf010,(3.13)或写成 dzzfdzzfdzzfCCCn01.(3.14)证 取1n条互不相交且全在D内(端点除外)的光滑弧nLL

15、LL,210作为割线.用它们顺次的与.,210nCCCC连接.设想将D沿割线割破,于是D就被分成两个单连通区域(图 3.10 是2n的情形),其边界各是一条围线,分别记为1和2.而由定理 3.9,我们有 ,0,021dzzfdzzf 将这两个等式想加,并注意到沿着nLLL,10的积分,各从相反的两个方向取了一次,在相加的过程中互相抵消.于是,由复积分的基本性质(3)就得到 0Cd zzf.从而有(3.13)和(3.14).例 3.8 设a为围线C内部一点,则 .,1012且 为 整 数nniazdzCn 证 以a为圆心画圆周C,使C全含于C的内部,则由(3.14)CnCnazdzazdz 再由

16、例 3.2 即得要证明的结论.3.3 柯西积分公式及其推论 1.柯西积分公式 我们利用柯西积分定理(复围线形式)导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式.定理 3.11 设区域D的边界是围线(或复围线)C,zf在D内解析,在CDD上连续,则有:dzfizfC21 Dz (3.15)这就是柯西积分公式.它是解析函数的积分表达式,因而是今后我们研究解析函数的重要工具.定义 3.4 在定理 3.11 的条件下,Csdzfic,21 称为柯西积分.思考题 在定理 3.11 的条件下,如果Dz,则柯西积分 dzfi21之值如何?柯西积分公式(3.15)可以改写成 ,2Dzifdzfc 借此公式可以计

17、算某些围线积分(指路径是围线的积分).例 3.10 设 C 为圆周2,则按(3.15),22292.959Cciddiii 注意到 29f在闭圆2上解析,定理 3.11 的条件满足,故公式(3.15)可以应用,因而上面的计算是正确的.定理 3.11 的特殊情形,有如下的解析函数的平均值定理.定理 3.12 如果函数 f在圆Rz0内解析,在闭圆Rz0上连续,则 dRzfzfi020021 既 f在圆心0z的值等于它在圆周上的值的算术平均数.证 设 C 表圆周,0Rz,则 ，20,0iRz 或 ，iRz0 由此 ，iiRd 根据柯西积分公式(3.15)22292.959Cciddiii 根据 f的

18、连续性，对任给的0，存在0，只要z=，就有 ,2zff 由定理 3.2 知（3.17）不超过22，于是证明了（3.16）.定理得证 例 3.11 设 zf在闭圆Rz 上解析.如果存在0a,使当Rz 时:,azf 而且 ,0af 试证:在圆Rz 内 zf至少有一个零点.证明：反证法 假设 zf在圆Rz 内没有零点，由假设 f(z)在圆周|z|=R 上也无零点，于是 zfzF1在闭圆Rz 上解析.由解析函数的平均值定理,201(0)(Re),2iFFd 又由题设 ,1010afF ,11aRfRFii 从而 .12211210120aadRFFai 矛盾.故在圆Rz 内 zf至少有一个零点.2.解

19、析函数的无穷可微性 我们将柯西积分公式(3.15)形式地在积分号下对z求导后得 ，Dzdzfizfc221(3.18)这样继续一次又可得 ,223Dzdzfizfc！我们将对这些公式的正确性加以证明.定理 3.13 在定理11.3的条件下,函数 zf在区域D内有各阶导数,并且有 1!.1,2,2nCnfnfzdDniz (3.19)例 3.12 计算积分 ,c o s3dzzciz 其中C是绕i一周的围线.解 因为zcos在z平面上解析，应用公式（3.19）于zzfcos)(，我们得 .2cos!22cos13|cosieiiidzzezizizc 应用上述定理，我们得出解析函数的无穷可微性：

20、定理 3.14 设 zf在z平面上的区域D内解析，则 zf在D内具有各阶导数，并且它们也在D内解析.借助解析函数的无穷可微性，我们现在来把判断函数 zf在区间D内解析的一个充分条件定理 2.5，补充证明成刻划解析函数的第二个等价定理：定理 3.15 函数),(),()(yxivyxuzf在区域 D 内解析的充要条件是（1）vvuuyxyx,在内连续；（2）),(),(yxvyxu在 D 内满足 C-R 条件.3.柯西不等式与刘维尔(Liouville)定理 利用定理 3.13 可以得出一个很有用的导数的估计式：柯西不等式 设)(zf在区域 D 内解析，a为 D 内一点，以a为心作圆周Ra:，只

21、要及其内部 K 均含于 D，则有 ,)(!)(RfnnRMna 其中,.2,1,)()(maxnzfRMRaz 证 应用定理 3.13 于K上，则有 .)(!2)(2!)(2!11)()(RRaafnnnnRMnRRMndfin 在整个复平面上解析的函数称为整函数.例如多项式，zezcos,及zsin都是整函数.常数当然也是整函数.应用柯西不等式，可得一关于整函数的定理：刘维尔定理 有界整函数)(zf必为常数.应用刘维尔定理可以很简洁地证明：代数学基本原理 在 z 平面上，n 次多项式 )0(.0110aazazannnzp 至少有一个零点.4.摩勒拉（Morera）定理 我们现在来证明柯西积

22、分定理（定理3.3）的逆定理，称为摩勒拉定理.定理 3.16 若函数 zf在单连通区域 D 内连续，且对 D 内的任一围线 C，有 ,odzzfc 则 zf在 D 内解析.下面我们着重指出刻划解析函数是第三个等价定理.定理 3.17 zf在区域 G 内解析的充要条件是:(1)(1)zf在 G 内连续;(2)(2)对任一围线 C,只要 C 及其内部全含于 G 内,就有 .0dzzfc 证 必要性可由柯西积分定理 3.3 导出.至于充分性,我们可在 G 内任一点z0的一个领域zK0:内来应用定理 3.16,只要充分小,就知道 zf在圆 K内解析.特别说来,在z0解析,因为z0可在 G 内任意取,故

23、 zf在 G 内解析.例3.13例 3.13 如果 zf为一整函数,且有使 Re f zM的实数 M 存在,试证 zf为常数.证 令 ezfzF,则 zF为整函数.又在z平面上 eeMzfzFRe 故有界,由刘维尔定理可见 zF是常数.因此 zf也是常数.例 3.14 设 zf是整函数,n为正整数,试证当 0limznzzf 时,zf至多是 n-1 次多项式.证 由第二章习题(一)6(1)及定理 3.8,只须证得对任何的 .0,zzfn 由 0limznzzf 可知,对任给的0,存在0R,只要Rz 时就有 .znzf 在 z 平面上任取一点 z.再取以 z 为心,以 r 为半径的圆周 C,使圆

24、周RzzC|1全含于其内部.于是有zr.这时对于C,必R,因而 .rznnf 由柯西不等式可得 .!21nnnnnnnnzrzrzrf 因为0是任意的,所以 .0zfn 故 zf至多是n-1 次多项式.5.柯西型积分 定义4.3 设 C 为任一条简单逐段光滑曲线(不必闭合),f是在 C 上有定义的可积函数,则具有如下形式的积分:Czdzfic21 称为柯西型积分.显然柯西积分为柯西型积分的特例,但柯西型积分就不一定为柯西积分.例如:).1,1(,21)3()1(,121)2();1(,21)1(1111zzxdxizdzizdzi (显然(1)可变形为(2);(2)、(3)的计算留给读者).这

25、三个积分都是柯西型积分而非柯西积分.类似定理 3.13 的证明,我们可以得到类似定理 3.13 的结果.定理13.3 若 zf沿简单逐段光滑曲线 C(不必闭合)连续,则由柯西型积分 )(,21CzdzfizFc 所定义的函数 zF,在 z 平面上 C 外任一区域 D 内解析,且 ,.).2,1,(,2!1nDzdfinzcnnzF 证 明 留 给 读 者.4.解析函数与调和函数的关系 在前一节,我们已经证明了,在区域 D 内解析的函数具有任何阶的导数.因此，在区域 D 内它的实部u与虚部v都有二阶连续偏导数.现在我们来研究应该如何选择u与v才能使函数ivu 在区域 D 内解析.设 ivuzf在

26、区域 D 内解析，则由C-R 条件 ,xvyuyvxu 得 ,222222xyvuyxvuyx 因xyvyxv22及在 D 内连续，它们必定相等，故在 D 内有 ,02222yxuu 同理，在 D 内有 ,02222yxvv 即u及v在 D 内满足拉普拉斯（Laplace）方程：.0,0vu 这里yx2222是一种运算记号，称为拉普拉斯算子.定理 3.5 如果二元实函数yxH,在区域 D 内有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程0H,则称yxH,为区域 D 内的调和函数.调和函数常出现在诸如流体力学、电学、磁学等实际问题中.定义 3.6 在区域 D 内满足 C-R 条件 ,xvyuyvxu 的两

27、个调和函数vu,中,v称为u在区域 D 内的共轭调和函数.由上面的讨论,我们已经证明了:定理 3.18 若),(),()(yxivyxuzf在区域 D 内解析,则在区域 D 内yxv,必为yxu,的共轭调和函数.现在接着上面的讨论.反过来,如果vu,是任意选取的在区域 D 内的两个调和函数,则ivu 在 D 内就不一定解析.要想ivu 在区域 D 内解析,u及v还必须满足 C-R 条件.即v必须是u的共轭调和函数.由此,如已知一个解析函数的实部yxu,(或虚部yxv,)就可以求出它的虚部yxv,(或实部yxu,）.假设D是一个单连通区域，yxu,是区域D内的调和函数，则yxu,在D内有二阶连续

28、偏导数，且 02222yuxu 即:xuyu,在D内有一阶连续偏导数，且 xuxyuy 由数学分析的定理，知道dyxudxyu是全微分，命 yxdvdyxudxyu,(3.21)则 Cdyxudxyuyxvyxyx,00,（3.22）,其中00,yx是D内的定点,yx,是D内的动点，C是一个任意常数，积分与路径无关.将（3.22）式分别对yx,求偏导数，得 xuyvyuxv,，这就是 C.-R.条件.由定理 3.15 知ivu 在D内解析.故得 定理 3.19 设yxu,是在单连通区域D内的调和函数,则存在由（3.22）式所确定的函数yxv,使 zfivu是D内的解析函数.注 (1)如单连通区

29、域D包含原点,则（3.22）式中的00,yx显然可取成原点(0,0)；如D非单连通区域，则积分（3.22）可能规定一个多值函数.(2)公式（3.22）不必强记,可以先如下去推（3.21）：由 dyudxuRCdyvdxvyxdvxyyx.,，然后两端积分之.(3)类似地，dyvdxvRCdyudxuyxduxyyx.,然后两 端积分，有 Cdyvdxvyxuyxyxxy,00,思考题 （1）“v是u的共轭调和函数”，其中uv,是否可以交换顺序？（2）如果v是u的共轭调和函数，那么v的共轭调和函数是什么？例 3.15 验证233,xyxyxu是z平面上的调和函数,并求以yxu,为实部的解析函数

30、zf,使合.0if 解 因在z平面上任一点2233yxux,26xuyxuxx6,xuyy6故yxu,在z平面上为调和函数.法一 CyyxCdyyxCdyyxxydxdyyxxydxyxuvyyxxx32022,0,220,0,02233333633622.3,故 33223333f zuivxxyix yyCxiyiCziC 要合.0if必,1C故 izzf3 法二 先由 C.-R 条件中的一个得 2233yxuvxy 故 xyyxv323.再由 C.-R 条件中的另一个得 xyuxxyvyx66 故 0 x即 Cx 因此Cyyxyxv323,(下同法一)例3.16 验证0,xxyarctgyxv在右半z平面内是调和函数,并求以此为虚部的解析函数 zf.解:0122222xyxyxyxyvx,0112222xyxxxyxvy 2222yxxyvxx,02222xyxxyvyy 于是00 xvvyyxx,故在右半z平面内,yxv,是调和函数.图 3.15yx(x,y)(x,0)O 2222,.1ln2xxu x yu dxy CRv dxyxdxyxyyxy 两端对y求导 2222.2.21yxyvRCuyyxyxy 所以 0y,从而 Cy(任意常数),Cyxyxu22ln21,故:221ln02lnarglnyf zxyCiarctgxxzizCzC 它在右半z平面内单值解析.