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1、2024年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题z本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.样本数据毡，50,51,53,53,57,60 的下四分位数为（）A.50B.53c.57i(l+i)2.己知 z寸丁i-2i，则主（A.-2+iB.-l+2ic.
2、-2-tD.45D.-l-2i3.过抛物线y2=8x的焦点的直线交抛物线于 A,B 两点，若 AB 中点的横坐标为4，则IABI=c)A.16B.12c.10D.84.直线l:x+y=I，圆cx2+y2-2x-2 y-2=0.则直线l被圆C所截得的弦长为（）A.2B.2-fic.2,hD.M5.（2b-3c)4的展开式中abc2的系数为（A.208B.217c.-2166.己知xO,yO,2x+y=xy，则2x+y的最小值为（）A.8B.4c.s.fi.试卷第1页，共5页D.-218。.4.fi.2024届河南省顶级名届河南省顶级名校高三下三下学期期考前前全真真模拟考试（一）（一）数学含答案含
3、答案7.在A.ABC中，AB=3Ji.,cosLBAC=，AD 1-AC，且AD交BC于点D,AD=3，则3 sinC=C A.I./6c.一一B.JjD.三至8.己知P为椭圆c三L=t（b 0）上一点，F；、F;分别为其左、右焦点，。为坐标.a2 b2/1 3 原点，IPOl=f，且叫川叫4a2，则C的离心率为（A.主B.1 Ji.、-c.，毛D.4 4 2 2二、多选题z本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。9.数列（，）满足：a1=1点，I坷，（n三2），则下列结论中正确的是（A.吨.!_ 0,0
4、 伊？）的部分图象如图所示则（）A./(0)=1B.f(x）在区同（子，于）单调递减c.州）在区同咛的值域为1,FJJD.J(x）在区同（，2）有3个极值点y 2气。I 试卷第2页，共5页11.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1Cp1中，E是棱DD1上的动点（不含端点），过A,B1,E三点的平面将正方体分为两个部分，则下列说法错误的是（）A.正方体被平面AEBI所截得的截面形状为梯形B.存在一点E，使得点A1和点C到平面AEBI的距离相等41 c.若E是DD1的中点，则三棱锥A,-AB1E外接球的表面积是8A,A B D.当正方体被平面AEBI所截得的上部分的几何体的体积为1时，E是D
5、D1的中点3 三、填空题z本题共3小题，每小题5分，共15分。f12.己知马(3,-4），豆(1,2），则马在昌的方向上的投影向量是一一一一13.己知集合A=xi-I x斗，B=xlm-1红三2m-l.若BA，则实数m的取值范围为一一一一14.己知函数f(x）的定义域为R，若J(x-y)=J(x)J(y)+/(l+x)/(1+y），且102/(O);t/(2），贝UZ:J(n）一一四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分 13分）在MBC中，内角A,B,C的对边分别为，b,c,.fiasinB-bcosA=b.(1）求角A的大小：(2）若B
6、D为AC边上的中线，且BD=2，求b+2c的最大值试卷第3页，共5页16.（本小题满分15分）己知函数f(x)=ax+1-xln x的图像在x=1处的切线与直线x-y=O平行(1）求函数f(x）的单调区间：(2）若叫，XiE(0，倒），且X1X2肘，f(x,)f(x2)m(x,2 xi)，求实数m的取值范围17.（本小题满分15分）己知椭圆C：去卡I（川0）的左、右焦点分别为町，凡，两焦点R乓与短轴的一个顶点构成等边三角形点时手）在椭圆C上(1）求椭圆C的标准方程；气；）(2）过点F；且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A,B两点，与直线x=-3交于点D.设AD=Ai AF;,BD=Ai B町，证
7、明：人十名为定值18.（本小题满分17分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB-1 BC,AB=2,BC=2 Ji.,PB=PC币，BP，肌厉的中点分别为D,E,0,AD=.JsDO，点F在AC上，BFl_ AO.(1）证明：EF/1平面ADO:(2）证明：平面ADOi平面lfiF;(3）求二面角P-BC-A的大小c A 试卷第4页，共5页19.（本小题满分 17分）某种植物感染病毒y极易死亡，当地生物研究所为此研发出了一种抗病毒Y的制剂现对20株感染了病毒Y的该植株样本进行喷雾试验测试药效测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果 进行统计，井对植株吸收制剂的量（单位：毫克）进行统计规定植株吸
8、收在6毫克及以上为“足量P，否则为“不足量该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表己知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共l株编号2 3 4 5 6 7 8 9 10 吸收量（毫克）6 8 3 8 9 5 6 6 2 7 编号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 吸收量（毫克）7 5 10 6 7 8 8 4 6 9(1）补全列联表中的空缺部分，依据0.01的独立性检验，能否认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？吸收足量吸收不足量植株存活植株死亡合计合计(2）现假设该植物感染病毒Y后的存活日数为随机变量X(X可取任意正整数研究人员
9、统计大量数据后发现：对于任意的k旷，存活日数为（k+1）的样本在存活日数超过k的样本里的数量占比与存活日数为1 的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1,这种现象被称为叽何分布的无记忆性”试推导 P(X=k)(kN）的表达式，并求该植物感染病毒Y后存活日数的期望 E(X）的值附：nb+c+d：当n足够大时，n0.9n坦0 I 0.010 I 0.005 I 0.001 xa I 6.635 I 7.879 I 10.828 X2 n(ad-bc)2 ，其中（b)(c+d）（c)(b+d)试卷第5页，共5页一、选择题：11 12 13 14 Is 16 11 Is 19 110 111 I
10、 I A I B I B I D I c I A I B I c I AC I AD I BCD I 11.如图，在棱长为l的 正方体 ABCD-A1 B1 Cp1中，E是棱DDI上的动点（不含端点，过A，鸟，E三点的平面将正方体分为两个部分，则下列说法正确的是（Ai A Di Ci 但lE”c B A.正方体被平面AEBI所截得的截面形状为梯形飞j8.存在一点 E，使得点A和点Cf!J平面AEBI的距离相等41 c.若E是DDI的中点，则三棱锥Ai-ABiE外接球的表面积是1产D.当正方体被平面A叫所截得的上部分的几何体的体 积为j肘，E是DDI的中点【答案】BCD【详解】选项A：设过A，鸟
11、，E三点的平面与C1Di交点为F，连接EF,FB1,因为平面ABB1A1I I平面DCCIDI，且平面AEB1n平面ABBA=AB,平面AEBIn平面DCCP1=EF，所以EF/ABI,由正方体性质可知，ADI/BiCi,AD乓cl，所以四边形 AB1CP为平行四边形，所以DCI/ABI，所以EFI/DC1,IEFI到DC1I，即IEFI*IABI I 所以正方体被平面AEBI所截得的截面形状为梯形，故A正确A,A D,F t，仁校”卜，；）CB选项B：由点A，和点B到平面AEB，的距离相等，若点A和点C到平面AEB，的距离相等，必有 BC!I平面AEB,又由BCIIAD，可得ADI 平面AE
12、B，与ADn 平面AEB,=A 矛盾，故B错误：41 选项C：三棱锥A,-AB,E 外接球的表面积是一万，故C错误：16 _l 1 _l 1 1（1）1 选项D：因为VE-A呐3x2xlxlxl-6几咐Hq=3G一三一丁（d 斗，正方体被平面AEB，所截得的上部分的几何体的体积为：I I 6+6（2）3二21=0,民一1解得立二一，故D错误：2 故选：BCD.二、填空题12、（一1，一2)13、oo,114、一l14.己知函数f(x）的定义域为R，若f(x y)=f(x)f(y)+f(l+x)f(l+y），且f(O)*/(2），则立f(n）一一【答案】【详解】令x=y=O，得J(o)=/(o)
13、J2+/(1厅，再令x=y=I，得f(0)=!(1)J+/(2月2所以J(o)J2=/(2日2，因为（0)*f(2），所以f(0)=-f(2),令x=l,y=O，得（1)=f(1)/(0)+/(2)/(1)。所以（0)=/(0）了，即（0)=0或1若（0)=0，则代入f(0)=/(1)J2+/(2日2中，（2)=0,由J(O)*/(2），所以f(0)*0，即f(0)=1，且（2)一1 令x=O，得f(-y)=J(O)J(.y)+f(1)/(l+y),由（0)=1,/(1)=0，所以f(-y)=f(y)所以f(x）为偶函数：所以！（一l)=/(1)=0,/(-2)=/(2）一1 令x=1，得f(
14、I-y)=/(1)/(y)+f(2)/(1+y),所以f(l-y)=-f(l+y），即J(y)+/(2-y)=0,因为J(-y)=f(y)=-!(y+2），所以J(y+4)=J(y),所以J(x）为周期函数，周期为4,所以（1)=0,/(2)=1,/(3)=/(-l)=/(1)=0,/(4)=/(0)=1,/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,所以Lf(n)=2s1(1)+1(2)+J(3)+J(4)J+1(1)+1(2)=-1故答案为：I.三、解答题：15、（本小题满分13分）在MBC中，内角A，C的对边分别为叭，cJ3sinB-bcosA=b.(1）求角A的大小：(2）若BD为AC边
15、上的中线，且BD=2，求b+2c的最大值【答案】Cl)A=f:C 2)b+2c的最大值为80【详解】令x=y=O，得f(0)=/(0)2+/(1厅，再令x=y=1，得（0)=/(l)J+/(2矿，(1）在MBC中，内角A，C的对边分别为，b,c,-fiasinB bcosA=b,由正弦定理，J3asinBbcosA=b可变为J3sin A sin B-sin B cos A=sin B.化简为2si；）=1，又叩吨，）所川？；,-,.(b/?(2）因为BD=2，所以在MED中，由余弦足理可得I-I+c2-2 -c cos A=4 2)(b+2c/(b+2c飞可化简为（b+2c)2一16=6bc
16、，因为b2c斗一一，所以（b+2c)2一16:;31一一 2)解得b+2c三8，所以b+2c的最大值为8.16、（本小题满分15分）己知函数f(x)=ax+1-x lnx的图像在x=1处的切线与直线x-y=O平行(1）求函数f(x）的单调区间：飞，(2）若;fx1,X2（O,+oo），且X1 Xi时，f(X1)f(Xi)m(X12 xi)，求实数m的取值范围时】（J)f(x）在（0恤，在（e+oo【详解】Cl)f(x)x+1-x lnx的导数为f(x)=a-I-In x可得f(x）的图象在A(l,J(l）处的切线斜率为1,由切线与直线x-y=O平行，可得一1=1，即2,f(x)=2x+l-xl
17、nx,f(x)=l-lnx,，由J(x)0，可得Oxe，由f（x)e，则f(x）在（0,e）递增，在（e,+oo）递i咸(2）因为x,码，若l;fxl,X2（0,+oo），由f(x1)-f(x2)mx-mx;,即有f(x1)-mx;f(x2)-mx；恒成立，设g(x)=f(x)mx2,所以g(x)=f(x)-mx2在（0,+oo）为增函数，ep有g（x)=l-lnx-2mx三O对x 0恒成立，”一Ilnx lnx-2可得2m三tExO恒成立，由h(x)二7的导数为h（x）丁当h（x)=0，可得x=e2,h(x）在（o,e2）递减，在（e2,叩）递增，即有h（柑X耐取得极小值，且为最小值去可得2
18、m75.解得m三则实数m的取值范围是（去17、（本小题满分15分）己知椭圆C：兰斗I（叫0）的左、右焦点分别为罚，凡，两0 焦点R乓与短轴的一个顶点构成等边三角形点P(.Ji.子）在椭圆C上(l）求椭圆C的标准方程：(2）过点F；且斜率不为0的直线l与椭圆C交于A,B 两点，与直线x=-3交于点 D.设AD=AiA町，BD=lei BF;，证明：A,+A.i为定值2y3 2x一4析解1川见E明答问WE呵2 6.；一一丁I。4b(_ 2【详解】（I）由题意得：作2c解得r:。.,I b、3a-=o-+c、椭圆C的标准方程是王L=l.4 3(2）由（l）知F;(-1,0），由条件可知l的斜率存在且
19、不为0,设l的方程为x=my一l，则m刊，令 x=-3 可得DI-3，主I m I 时程；x：12=0，得（旷4)y2-6川0,.110,们（X1,Y1),B(X2,Y2 3m一吨23m2+4 一一2 由AD=Ai A乓可得（3-x1，一y1）I（一l-x1，一Yi),m 则有l_Y,=-,1,y，解得l主同JJ.lci=l主m.YiYi r L 2r Y1月I2,6m 3m2+4、:.A,也2一一一1-2一一一一I=2+（，一一一一）m._ Yi Yi)m._ Y1Y2)m、王m+4-9 寸（子）？故人叫定值？18、（本小题满分15分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB-1 BC,AB=2,B
20、C=2,.fi.,PB=PC=-/6，时，AP,BC的中点分别为D,E,0,AD=J5DO，点F在AC上，BFl_AO.c A(1）证明：EFI平面ADO:(2）证明：平面ADO i平面BEF;(3）求二面角P-BC-A的大小i【详解】（1）连接 DE,OF，设AF=t.则BF面AF川函tsc,AD画isc,BF l_AO，则BF.Ac5=Cl-t）函tBCJC函！配）（t-1）函2+!tBc2=4(t-1)+4t=O,2 2解得t=l，则F-:fa AC的中点，由D,E,O,F分别为P川，BC,AC的中点，于是DEI IAB,DE=J_AB,OF I I AB,OF=J_AB，即DE/OF,
21、DE=OF，则四边形ODEF为2 平行四边形，EFI/DO,EF=DO，又EFa.平面ADO,DO C平面ADO，所以EF/1平面ADO(2）由Cl）可知EF/IOD，贝tlAO=-/6,DO 亚，得AD=J5DO亟，因此2、15ODl+AOl=ADl则ODl_AO，有EFl_AO，又AO l_ BF,BFnEF=F,BF,EF c平面BEF，则有AOi平面BEF，又AOC平面ADO，所以平面ADOi平面BEF.C3)tiPAB中，可以解得PA=Jf4，记二面角P-BC-A的平面角为。因为AP=AB+BO+O P,所以万（石历OPJ石2历2+&2+2石历200.&+2石3因为AB=2,BO=.
22、J2,P0=2,PA=Jf4M2=22+./22+22+222CO巾B),所以二面角P-BC-A的大小为子解得叫k19.（本小题满分 17分）某种植物感染病毒Y极易死亡，当地生物研究所为此研发出了一种抗病毒Y的制剂现对20株感染了病毒Y的该植株样本进行喷雾试验测试药效测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计，并对植株吸收制剂的量（单位：毫克）进行统计规定植株吸收在6毫克及以上为“足量”，否则为“不是量”现对该20株植株样本进行统计，其中“植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表己知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株编号2 3 4 5 6 7 8 9 10 吸收量（毫克）
23、6 8 3 8 9 5 6 6 2 7 编号11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 吸收量（毫克）7 5 10 6 7 8 8 4 6 9(1）补全列联表中的空缺部分，依据0.01的独立性检验，能否认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？吸收足量吸收不足量合计植株存活植株死亡合计20(2）现假设该植物感染病毒Y后的存活日数为随机变量X(X 可取任意正整数）研究人员统计大量数据后发现：对于任意的kE町，存活日数为（k+1）的样本在存活日数超过k的样本里的数量占比与存活日数为l的样本在全体样本中的数量占比相同，均等于0.1，这种现象被称为叽何分布的无记忆性”试推导P(X=k)
24、(k阿）的表达式，并求该植物感染病毒Y后存活日数的期望E(X）的值2 n（d-bc)2 附：x=，其中nb+c+d：当n足够大时，nx0.9n:0.（b)(c+d）（c)(b+d)0.010 0.005 0.001 x 6.635 7.879 10.828【详解】CI）填写列联表如下：吸收足量吸收不足量合计植株存活12 13 植株死亡3 4 7 合计15 5 20 零假设为Ho：“植株的存活”与“制剂吸收足量”无关联2 20（124 31)2 根据列联表中的数据，经计算得到：y=;:;5.934 k)=0.1.fv-YP(X=k+l)又P(X=k+ll X k)，故P(X=k+l)=O.IP(
25、Xk).P(Xk)把k换成k一l，则P(X=k)=0.1P(X k-1).两式相减，得P(X=k)-P(X=k+l)=O.IP(X=k),P(X=k+I)即0.9(k主2).P(X=k)又P(X=2)=O.IP(X I)=O.lx(I-P(X=I)=0.9P(X=I),P(X=k+l)=0.9对任意kN都成立，P(X=k)从而 P(X=k）是首项为0.1，公比为0.9的等比数列，因此P(X=k)=0.10.9k I,由定义可知E(X)=P(X=I)+2P(X=2)+3P(X=3）kP(X=k），而三iP(X=i)=0.l三i0.9川，下面先求三i0.9i-l.I:ixo.91=lx0.9+2x0.91+(k-1）0_9k-i+k x 0.9卜I o.9Li0.1-1=10.91+2O铲+(k一1）O俨kxO.岁，作羞得Ol汇i0岁I=1+0.91+0.92+0.9卜I_k0.9k l（1-0.伊）=-k0.9k=I O一（k+IO）0.9k,1-0.9 所以立iP(XOl汇i0.9-I=10-k0妒10O妒，当k足够大时，k0.9k坦0,100.9k,:,Q，故2；（X们10，可认为E(X)=IO.