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1、 学科网（北京）股份有限公司 高三练习卷（南通四模）高三练习卷（南通四模）数学数学 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的福佑崇文阁专供是符合题目要求的福佑崇文阁专供 1已知集合12,2Mx xNx x=，则MN=（）A 23xx B 23xx D1x x 2 某志愿者小组有 5 人，从中选 3 人到 A、B 两个社区开展活动，其中 1 人到A社区，则不同的选法有（）A12 种 B24 种 C30 种 D60 种 3已知两个非零向量,a b满足|abab
2、+=，则ab在b上的投影向量为（）Ab Bb C12b D12b 4已知球的半径为 1，其内接圆锥的高为32，则该圆锥的侧面积为（）A34 B32 C32 D3 5已知函数()ln(2)f xax=+在区间(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A0a B10a C10a 的左、右焦点分别为12,F F AB为过点1F的弦，M为1AF的中点，11234,AFFB ABMF=，则C的离心率为（）A57 B47 C37 D27 8 一个正八面体的八个面上分别标以数字 1 到 8，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为1x，2x，事件A=“13x=”，事件B=“26x=”，事件C=“1
3、29xx+=”，则（）AABC=BABC+=CA，B互斥 DB，C相互独立 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9已知a，b是两条直线，,是两个平面，下列结论不正确的是（）学科网（北京）股份有限公司 A若,ab，则ab B若,ab，则ab C若,abab，则 D若,abaab，则 10设抛物线2:4C xy=的焦点为F，P是C上的一个动点，则下列结
4、论正确的是（）A点P到F的距离比到x轴的距离大 2 B点P到直线3yx=的最小距离为2 C以PF为直径的圆与x轴相切 D记点P在C的准线上的射影为H，则PFH不可能是正三角形 11设()1212,x xxx是直线ya=与曲线(1 ln)yxx=的两个交点的横坐标，则（）A12ex x C21(0,1),eaaxx D112(0,1),lnaxxxa+三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12复数23i与1 i+分别表示向量OA 与OB，记表示向量AB 的复数为z，则zz=_ 13 某牧场今年初牛的存栏数为1200，预计以后每年存栏数的
5、增长率约为10%，且每年年底卖出100头牛 设牧场从今年起的十年内每年年初的计划存栏数依次为1a，2a，3a，10,a，则3a=_，数列 na的通项公式na=_()*110,nnN 14在梯形ABCD中，ABCD，1DADBDC=，则该梯形周长的最大值为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15（13 分）设0a，函数3()21f xaxx=+（1）当1a=时，求过点(0,1)且与曲线()yf x=相切的直线方程：（2）12,x x是函数()f x的两个极值点，证明：()()12f
6、 xf x+为定值 16（15 分）如图，在四棱台1111ABCDABC D中，1D D 平面ABCD，ADBC，2ADDC=，1BC=，60BCD=，1111ADD D=学科网（北京）股份有限公司 （1）记平面11A ADD与平面11B BCC的交线为l，证明：lBC；（2）求平面11A ADD与平面11A ABB的夹角的余弦值 17（15 分）某高校统计的连续 5 天入校参观的人数（单位：千人）如下：样本号i 1 2 3 4 5 第ix天 1 2 3 4 5 参观人数iy 2.4 2.7 4.1 6.4 7.9 并计算得，5521185.2,55,3,4.7iiiiix yxxy=（1）求
7、y关于x的回归直线方程，并预测第 10 天入校参观的人数；（2）已知该校开放 1 号，2 号门供参观者进出，参观者从这两处门进校的概率相同，且从进校处的门离校的概率为13，从另一处门离校的概率为23假设甲、乙两名参观者进出该校互不影响，已知甲、乙两名参观者从 1 号门离校，求他们从不同门进校的概率 附：回归直线方程ybxa=+，其中()()()121,niiiniixxyybaybxxx=18（17 分）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的左、右焦点分别为12,F F，焦距为 4，C上一点P满足123cos3FF P=，且12PFF的面积为2 2（1）求C的方程；（2）过C的渐近
8、线上一点T作直线l与C相交于点M，N，求|TMTN的最小值 19（17 分）学科网（北京）股份有限公司 设有穷数列 na的项数为(2)m m，若正整数(2)kkm满足：,nknk aa，则称k为数列 na的“min 点”（1）若(1)(23)(15)nnann=，求数列 na的“min 点”；（2）已知有穷等比数列 na的公比为 2，前n项和为nS若数列1nnSS+存在“min 点”，求正数1a的取值范围；（3）若11(2)nnaanm，数列 na的“min 点”的个数为p，证明：1maap 学科网（北京）股份有限公司 高三练习卷（南通四模）高三练习卷（南通四模）数学参考答案及评分建议数学参考
9、答案及评分建议 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的福佑崇文阁专供是符合题目要求的福佑崇文阁专供 1【答案】A 2【答案】C 3【答案】B 4【答案】C 5【答案】B 6【答案】C 7【答案】A 8【答案】D 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部
10、分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9【答案】ACD 10【答案】BC 11【答案】ACD 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分 12【答案】25 13【答案】1242，1200 1.11000n+14【答案】174 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15解：（1）当1a=时，3()21f xxx=+，则导数2()32fxx=设切点为()3000,21x xx+，则()20032fxx=，所以切线方程为()()()32
11、00002132yxxxxx+=又切线过点(0,1)，则()()()320000121320 xxxx+=，整理得，3022x=，解得01x=所以过点(0,1)且与曲线()yf x=相切的直线方程为1yx=（2）证明：依题意，2()32(0)fxaxa=，令()0fx=，得23xa=x 2,3a 23a 22,33aa 23a 2,3a+()fx+0 0+()f x 极大值 极小值 不妨设12xx+=则()()222010101|1TMxxyymyy=+=+，同理，得202|1TNmyy=+所以()20102|1TMTNmyyyy=+()()220012121myyyyy y=+()22222
12、223133(3)3nnmnnmmmmm=+学科网（北京）股份有限公司()22313mm+=212313m=+（当且仅当0m=时，取等号，满足0），综上，|TMTN的最小值为 1（3）法 2：设()00,T xy，则220003xy=，当l垂直x轴时，设l的方程为：()()()0001013,xxxM xyN xy=，则22010101|TMTNyyyyyy=+=因为220122001,30,3xyxy=两式相减，得22011yy=，所以|1TMTN=当l的斜率存在时，设l的方程为：()()()001122,yk xxy M x yN xy=+，由()220033,33xyyk xxx=+消去
13、y并化简，得()()()2222220001 362 3312 330kxkk x xkxkx+=所以()()()22222000201222201221 30,332 330,2 36,1 332 313.1 3kxkx kxkkxxxkkkxx xk =+=+=则()()222010101|1TMxxyykxx=+=+，同理202|1TNkxx=+所以()20102|1TMTNkxx xx=+()()220012121kxxxxx x=+()()()222200220222 3632 31311 31 3kkxkkxkxkk+=+223331kk+=241131k=+学科网（北京）股份有限
14、公司 综上所述，当lx轴时，|TMTN的最小值为 1 19解：（1）因为123451,1,3,5,7aaaaa=，所以数列 na的“min 点”为 3，5（2）依题意，()()111 2211 2nnnaSa=，因为数列1nnSS+存在“min 点”，所以存在(2)n n，使得1111nnSaSa+，所以()()1111112121nnaaaa+，即()111 222221nnnaa，所以21121na 又当2n=时，121n取最大值13，所以2113a，所以1303a 当1303a时，有212111SSSS+，所以数列1nnSS+存在“min 点”，所以1a的取值范围为30,3（3）若1(2
15、)naa n，则数列 na不存在“min 点”，即0p=由10maa得，10maa，所以1maap 若存在na，使得1naa下证数列 na有“min 点”证明：若21aa，则 2 是数列 na的“min 点”；若21aa，因为存在na，使得1naa，所以设数列 na中第 1 个小于1a的项为1na，则()11121niaaain，所以1n是数列 na的第 1 个“min 点”综上，数列 na存在“min 点”不妨设数列 na的“min 点”由小到大依次为123,pn n nn，则1ina+是12111,iiiiinnnnnaaaaa+中第 1个小于ina的项，故1111iiiinnnnaaaa+，因为()11 2nnaanm，所以11nnaa，所以1111iinnaa+，所以11iinnaa+学科网（北京）股份有限公司 所以()()()()112231111pppmnnnnnnnnaaaaaaaaaaaa=+()()()()1122331111ppnnnnnnnnaaaaaaaa+1 1 11+（p个 1）所以1maap综上，1maap，得证