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1、九年级数学九年级数学下下 新课标新课标北北师师第一章第一章 直角三角形的边角关系直角三角形的边角关系5 5 三角函数值三角函数值的应用的应用学学 习习 新新 知知盘点盘点1833年以来重大海难年以来重大海难 2015年6月1日约21时28分,一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”号在长江中游沉没.出事船舶载客458人,其中内宾406人、旅行社随行工作人员5人、船员47人.仅14人生还.历史上的海难事件非常多,最著名的海难事件应属1912年的泰坦尼克号沉没,但实际上,遇难人数远超泰坦尼克号的遇难船只并不罕见.在这一统计所含的75起海难中,遇难人数超过1000人的共有18起.随着时间的推移,因袭击所
2、致的海难逐渐减少.但21世纪以来,海难仍时有发生,如:2014年韩国“岁月号”客轮,2008年菲律宾“群星公主号”客轮,2006年埃及客轮“萨拉姆98号”,2002年的塞内加尔“乔拉号”等船只遇难都造成了巨大的人员伤亡.如图所示,海中有一个小岛A,该岛四周10 nmile内有暗礁.今有货轮由西向东航行,开始在A岛南偏西55的B处,往东行驶20 nmile后到达该岛的南偏西25的C处.之后,货轮继续往东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是怎样想的?与同伴进行交流.利用方向角解决实际问题解:过A作BC的垂线，交BC于点D.在RtABD中,易知tan55=，BD=ADtan55.在
3、RtACD中,易知tan25=，CD=ADtan25.设AD=x，则BD=tan55x，CD=tan25x.BC=BD-CD，tan55x-tan25x=20,解得20.7910,货轮没有触礁的危险.利用仰角和俯角解决实际问题【想一想】如图所示,小明想测量塔CD的高度.他在A处仰望塔顶,测得仰角为30,再往塔的方向前进50 m至B处,测得仰角为60,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计,结果精确到1 m)1.在这个图中,仰角为30、仰角为60分别指哪两个角?2.此题的示意图和“船触礁”问题的示意图一样吗?它们有什么共同点?解:在RtACD中，tan30=，即 .在RtBCD中，tan60=，即
4、BC=.由AB=AC-BC=50，得解得CD43,即塔CD的高度约为43m.利用倾斜角解决实际问题【做一做做一做】某商场准备改善原有楼梯的安全性能,把倾斜角由40减至35,已知原楼梯长为4 m,调整后的楼梯会加长多少?楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.01 m)解:如图所示,在RtABC中,sin40=，AC=4m，AB=4sin40m，原楼梯占地长BC=4cos40m.调整后,在RtADB中,sin35=，则AD=(m)，楼梯占地长DB=m，调整后楼梯加长:AD-AC=-40.48(m).楼梯比原来多占地面:DC=DB-BC=-4cos400.61(m).知识拓展知识拓展 形如“双直角三
5、角形”的图形的解题规律:设C=，ADB=，CD=a.1.非特殊角的组合(和组合):AB=a.2.特殊角的组合(和组合):.(1)30与60组合:AB=.(2)30与45组合:AB=.(3)45与60组合:AB=.检测反馈检测反馈1.渔船在A处看到灯塔C在北偏东60方向上,渔船向正东方向航行了12nmile到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是()A.6nmileB.8nmileC.2nmileD.4nmile解析:由已知得BAC=90-60=30,在直角三角形ABC中,BC=ABtan30=12=4(nmile).故选D.D2.如图所示,为测量某物体AB的高度,在D点
6、测得A点的仰角为30,朝物体AB方向前进20 m,到达点C,再次测得点A的仰角为60,则物体AB的高度为()A.10m B.10mC.20mD.m解析:在直角三角形ADB中,D=30，BD=.在直角三角形ABC中,ACB=60，BC=.CD=20,CD=BD-BC=AB-AB=20,解得AB=10.故选A.A3.长为4m的梯子搭在墙上与地面成45角，作业时调整为60角(如图所示)，则梯子的顶端沿墙面升高了m.解析:由题意知调整前梯高为4sin45=4(m),调整后梯高为4sin60=4(m),梯子升高了2()m.故填2().4.如图所示,在小山的东侧A点有一个热气球,由于受西风的影响,以30m
7、/min的速度沿与地面成75角的方向飞行,25min后到达C处,此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30,则小山东西两侧A,B两点间的距离为m.解析:过点A作ADBC,垂足为D,在RtACD中,ACD=75-30=45,AC=3025=750(m),AD=ACsin45=375(m).在RtABD中,易知B=30,AB=2AD=750(m).故填750.5.小亮一家在一湖泊中游玩,湖泊中有一孤岛,妈妈在孤岛P处观看小亮与爸爸在湖中划船(如下左图所示).小船从P处出发,沿北偏东60方向划行200m到A处,接着向正南方向划行一段时间到B处.在B处小亮观测到妈妈所在的P处在北偏西37的方向上,这时小亮与妈妈相距多远(精确到1m)?(参考数据:sin370.60,cos370.80,tan370.75,1.41,1.73)解:过点P作PCAB于C,如上右图所示,在RtAPC中,AP=200m,ACP=90,PAC=60,PC=200sin60=200=100.在RtPBC中,sin37=,PB=288(m).答:小亮与妈妈相距约288m.