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1、第第2929讲锐角三角函数与解直角三角形讲锐角三角函数与解直角三角形内容索引基础诊断 梳理自测，理解记忆考点突破 分类讲练，以例求法易错防范 辨析错因，提升考能基础诊断返回 知识梳理1 11.锐角三角函数的意义锐角三角函数的意义RtABC中，设C90，为RtABC的一个锐角，则：的正弦：sin ；的余弦：cos ；的正切：tan .2.特殊角特殊角30、45、60的三角函数值的三角函数值可用以下口诀记忆：三十四五六十度，三角函数记心间；分母弦二切是三，分子要把根号添；一二三来三二一，切值三九二十七；正弦正切递增值，余弦递减恰相逆.3.锐角三角函数的性质锐角三角函数的性质(1)同角三角函数之间的
2、关系：sin2cos2 ；tan .(2)互余两角的三角函数关系式(为锐角)：sin(90)；cos(90).(3)锐角三角函数的增减性(090)：sin，tan的值都随增大而 ；cos的值都随增大而 .cossin增大减小14.解直角三角形的概念及边角之间的关系解直角三角形的概念及边角之间的关系 由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程叫做 解直角三角形.直角三角形中的边角关系：在RtABC中，C90，A、B、C所对的边分别为a、b、c，则：边与边的关系：；角与角的关系：；AB90a2b2c25.直角三角形在现实生活中的应用直角三角形在现实生活中的应用直角三角形的边角关系在现
3、实生活中有着广泛的应用，它经常涉 及测量、工程、航海、航空等，其中包括了一些概念，一定要根据题意明白其中的含义才能正确解题.(1)铅垂线：重力线方向的直线.(2)水平线：与铅垂线垂直的直线，一般情况下，地平面上的两点 确定的直线我们认为是水平线.(3)仰角：向上看时，视线与水平线的夹角.(4)俯角：向下看时，视线与水平线的夹角.(5)坡角：坡面与水平面的夹角.(6)坡度：坡面的铅直高度与水平宽度的比叫做坡度(或坡比)，一般情况 下，我们用h表示坡的铅直高度，用l表示坡的水平宽度，用i表示坡度，即itan，显然，坡度越大，坡角就越大，坡面也就越陡.(7)方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成
4、的小于90的锐角 叫做方向角.1.(2016天津)sin60的值等于()诊断自测2 212345C2.(2016广东)如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(4,3)，那 么cos的值是()D12345解析解析过点A作ABx轴于点B，则AB3，OB4，由勾股定理得，OA5，则cos .123453.(2016荆州)如图，在44的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格 点，ABC的顶点都在格点上，则图中ABC的余弦值是()D解析解析由图可知，AC2224220，BC212225，AB2324225，AC2BC2AB2，ABC是直角三角形，且ACB90，4.(2014随州)如图，要测量B点到河岸AD
5、的距离，在A点测得BAD 30，在C点测得BCD60，又测得AC100米，则B点到河岸 AD的距离为()B12345解析解析如答图，过点B作BMAD于点M，BAD30，BCD60，ABC30，ACBC100，BMAD，BMC90，A12345返回5.(2016长沙)如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部 B处的仰角为30，看这栋楼底部C处的俯角为60，热气球A处与 楼的水平距离为120m，则这栋楼的高度为()解析解析过点A作ADBC于点D，则BAD30，CAD60，AD120m，在RtABD中，BDADtan30 考点突破返回例例1(2016福州)如图，6个形状、大小完全相同的菱形
6、组成网格，菱 形的顶点称为格点.已知菱形的一个角(O)为60，A，B，C都在格 点上，则tanABC的值是.考点一锐角三角函数答案分析分析分析如答图，连接EA，EC，设菱形的边长为a，由题意得，AEF30，BEF60，规律方法本题考查菱形的性质、三角函数、特殊三角形边角关系等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.规律方法练习1答案分析特殊角的三角函数值考点二例例2(2016大庆)一艘轮船在小岛A的北偏东60方向距小岛80海里的 B处，沿正西方向航行3小时后到达小岛的北偏西45的C处，则该 船行驶的速度为海里/小时.答案分析规律方法分析分析如答图所示，设该船行驶的
7、速度为x海里/时，3小时后到达小岛的北偏西45的C处，由题意得：AB80，BC3x，在RtABQ中，BAQ60，B30，答案分析规律方法规律方法本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题、构造直角三角形，熟记特殊角30、45角的三角函数值，通过解直角三角形得出方程是解决问题的关键.规律方法(2016潍坊)关于x的一元二次方程x2 xsin0有两个相等的实数 根，则锐角等于()A.15 B.30 C.45 D.60练习2答案分析B考点三解直角三角形的几何应用答案分析36分析分析分析AFE和ADE关于AE对称，AFED90，AFAD，EFDE.在RtCEF中，tanEFC ，可设CE3x，CF4x
8、，那么EF5x，DEEF5x，DCDECE5x3x8x，ABDC8x.EFCAFB90，BAFAFB90，EFCBAF.BCBFCF10 x，AD10 x.在RtADE中，由勾股定理得，AD2DE2AE2，即(10 x)2(5x)2(5 )2，解得x1，AB8x8，AD10 x10，矩形ABCD的周长8210236.折叠矩形，可以得到“轴对称”的图形，对于线段相等、对应角相等、对应的三角形全等；由锐角的正切值可以转化为相应直角三角形的直角边之比；在直角三角形中，利用勾股定理可以列出方程解决问题.规律方法(2016苏州)如图，长4m的楼梯AB的倾斜角ABD为60，为了改善楼梯的安全性能，准备重新
9、建造楼梯，使其倾 斜角ACD为45，则调整后的楼梯AC的长为()练习3答案分析B例例4(2016广州)如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人 机A上看目标B，D的俯角分别为30，60，此时无人机的飞行高度 AC为60m，随后无人机从A处继续飞行30 m到达A处.(1)求A，B之间的距离；解直角三角形的实际应用考点四答案解解由题意得：ABD30，ADC60，在RtABC中，AC60m，答：答：A，B之间的距离为120m.(2)求从无人机A上看目标D的俯角的正切值.答案规律方法规律方法本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问
10、题转化为数学问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形.注意方程思想与数形结合思想的应用.规律方法(2016常德)南海是我国的南大门，如图所示，某天我国 一艘海监执法船在南海海域正在进行常态化巡航，在 A处测得北偏东30方向上，距离为20海里的B处有一 艘不明身份的船只正在向正东方向航行，便迅速沿 北偏东75的方向前往监视巡查，经过一段时间后，在C处成功拦截不 明船只，问我国海监执法船在前往监视巡查的过程中行驶了多少海里？(最后结果保留整数)(参考数据：cos750.2588，sin750.9659，tan753.732，1.732，1.414)练习4答案返回答：答：我国海监执法船在
11、前往监视巡查的过程中行驶了67海里.易错防范返回试题试题如图，AD是BC边上的高，ADDCBD123，求BAC的 度数.易错警示系列 29添加辅助线，构造解直角三角形模型错误答案展示错误答案展示不能添加辅助线将斜三角形的问题转化为解直角三角 形的数学模型，从而无从下手.正确解答剖析剖析剖析延长BA，过C作CEAB，只要求BAC的外角即可.分析与反思正确解答正确解答解：过C作CEBA，交BA的延长线于点E.正确解答分析与反思返回分析与反思分析与反思如果题目中的条件比较分散，所给的图形不够完整，我们 可以通过作垂线、作平行线等添辅助线的方法，将斜三角形的问题转 化为解直角三角形的数学模型(化斜为直的思想)，把分散的条件集中起 来，构造直角三角形、相似三角形，以达到解题目的.