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1、第第2626讲矩形、菱形与正方形讲矩形、菱形与正方形内容索引基础诊断 梳理自测，理解记忆考点突破 分类讲练，以例求法易错防范 辨析错因，提升考能基础诊断返回 知识梳理1 11.矩形矩形有一个角是直角的平行四边形是矩形.矩形的四个角都是 ，对角线相等且 .矩形的判定方法：(1)有三个角是直角的四边形；(2)是平行四边形且有一个角是直角；(3)对角线相等的平行四边形；(4)对角线相等且互相平分的四边形.直角互相平分2.菱形菱形有一组邻边 的平行四边形叫做菱形.菱形的四条边都相等，对角线互相 ，且每一条对角线平分一组 .菱形的判定方法：(1)四条边都相等；(2)有一组邻边相等的平行四边形；(3)对角
2、线互相垂直的平行四边形；(4)对角线互相垂直平分的四边形.相等垂直平分对角3.正方形正方形有一组邻边 且有一个角是 的平行四边形叫做正方形.正方形的四个角都是直角，四条边都相等，两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.正方形的判定方法：(1)邻边相等的矩形；(2)有一个角是直角的菱形.直角相等4.平行四边形与矩形、菱形、正方形的联系平行四边形与矩形、菱形、正方形的联系(1)平行四边形与矩形的联系：在平行四边形的基础上，增加“一个角是直角”或“对角线相等”的条件可为矩形；若在四边形的基础上，则需有三个角是直角(第四个角必是直角)才可判定为矩形.(2)平行四边形与菱形的联系：在
3、平行四边形的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件可为菱形；若在四边形的基础上，则需有四边相等才可判定为菱形.(3)菱形、矩形与正方形的联系：正方形的判定可简记为：菱形矩形正方形，其证明思路有两个：先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线相等(即矩形)；先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形).1.(2016益阳)下列判断错误的是()A.两组对边分别相等的四边形是平行四边形B.四个内角都相等的四边形是矩形C.四条边都相等的四边形是菱形D.两条对角线垂直且平分的四边形是正方形诊断自测2 212345D解析解析两条对角线互相垂直、平分且相等的四边形
4、才是正方形.2.(2016菏泽)在ABCD中，AB3，BC4，当ABCD的面积最大时，下列结论正确的有()AC5；AC180；ACBD；ACBD.A.B.C.D.1234解析解析根据题意得，当ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，ABCD90，ACBD，B53.(2016无锡)下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是()A.对角线相等 B.对角线互相平分C.对角线互相垂直 D.邻边互相垂直1234C解析解析A.对角线相等是矩形具有的性质，菱形不一定具有；B.对角线互相平分是菱形和矩形共有的性质；C.对角线互相垂直是菱形具有的性质，矩形不一定具有；D.邻边互相垂直是矩形具有的性质，菱形不一
5、定具有.512344.(2015梧州)如图，在菱形ABCD中，B60，AB1，延长AD到点E，使DEAD，延长CD到点F，使DFCD，连接AC、CE、EF、AF，则下列描述正确的是()B51234解析解析DEAD，DFCD，四边形ACEF是平行四边形，四边形ABCD为菱形，B60，AB1，ADC60，ADCD1，ACD是等边三角形，AECF，四边形ACEF是矩形，ACEF1.过点D作DGAF于点G，512345123455.(2016聊城)如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A处，点B落在点B处，若240，则图中1的度数为()AA.115 B.120C.130 D.1
6、40解析解析把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点A落在CD边上的点A处，点B落在点B处，1EFB，BB90，240，CFB50，1EFBCFB180，即1150180，解得：1115.返回考点突破返回例例1(2016福州)如图，矩形ABCD中，AB4，AD3，M是边CD上一点，将ADM沿直线AM对折，得到ANM.(1)当AN平分MAB时，求DM的长；考点一矩形的性质与判定答案解解由折叠性质得：ANMADM，MANDAM，AN平分MAB，MANNAB，DAMMANNAB，四边形ABCD是矩形，DAB90，DAM30，(2)连接BN，当DM1时，求ABN的面积；答案解解延长MN交AB延长线于点Q
7、，如答图1所示，四边形ABCD是矩形，ABDC，DMAMAQ，由折叠性质得：ANMADM，DMAAMQ，ANAD3，MNDM1，MAQAMQ，MQAQ，设NQx，则AQMQ1x，ANM90，ANQ90，在RtANQ中，由勾股定理得：AQ2AN2NQ2，即(x1)232x2，解得：x4，答案NQ4，AQ5，AB4，AQ5，(3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值.答案规律方法解解过点A作AHBF于点H，如答图2所示，四边形ABCD是矩形，ABDC，HBABFC，AHBBCF90，答案规律方法AHAN3，AB4，当点N、H重合(即AHAN)时，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此时
8、点M、F重合，B、N、M三点共线，如答图3所示，由折叠性质得：ADAH，ADBC，AHBC，在ABH和BFC中，规律方法ABHBFC(AAS)，CFBH，本题考查了矩形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识.本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键.规律方法练习1答案(2016十堰)如图，将矩形纸片ABCD(ADAB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结
9、论；解解证明：四边形ABCD是矩形，ADBC，GFEFEC，图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，GEFFEC，GFEFEG，GFGE，图形翻折后EC与GE完全重合，ECGE，GFEC，四边形CEGF为菱形.答案(2)若AB3，BC9，求线段CE的取值范围.答案解解如答图1，当F与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得，CDDG，CDEGDE45，ECD90，DEC45CDE，CECDDG，DGCE，四边形CEGD是正方形，CECDAB3；如答图2，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得，AECE，B90，AE2AB2BE2，即CE232(9CE)2，解得：CE5，线段CE的取值范围为3
10、CE5.菱形的性质与判定考点二例例2(2016沈阳)如图，ABCABD，点E在边AB上，CEBD，连接DE.求证：(1)CEBCBE；答案证明证明ABCABD，ABCABD，CEBD，CEBDBE，CEBCBE.(2)四边形BCED是菱形.答案规律方法证明证明ABCABD，BCBD，CEBCBE，CECB，CEBD，CEBD，四边形BCED是平行四边形，BCBD，四边形BCED是菱形.规律方法本题考查全等三角形的性质、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型.(2016苏州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、B
11、D相交于点O，过点D作对角线BD的垂线交BA的延长线于点E.(1)证明：四边形ACDE是平行四边形；练习2答案解解证明：四边形ABCD是菱形，ABCD，ACBD，AECD，AOB90，DEBD，即EDB90，AOBEDB，DEAC，四边形ACDE是平行四边形.(2)若AC8，BD6，求ADE的周长.答案解解四边形ABCD是菱形，AC8，BD6，AO4，DO3，ADCD5，四边形ACDE是平行四边形，AECD5，DEAC8，ADE的周长ADAEDE55818.考点三正方形的性质与判定A.2 B.3 C.4 D.5B答案分析规律方法分析分析四边形ABCD是正方形，GADADO45，故正确.由折叠的
12、性质可得：AEEF，EFDEAD90，AEEFBE，分析规律方法AOB90，AGFGOG，AGD与OGD同高，SAGDSOGD，故错误.EFDAOF90，EFAC，FEGAGE，AGEFGE，FEGFGE，EFGF，AEEF，AEGF，四边形AEFG是菱形，故正确.四边形AEFG是菱形，OGFOAB45，分析规律方法四边形AEFG是菱形，BAO45，GOF90，OGF是等腰直角三角形，AEGF2，分析规律方法综上可知，其中正确结论的序号是：.规律方法本题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识.本题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前
13、后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用.规律方法练习3答案(2016临沂)如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且CEBF.连接DE，过点E作EGDE，使EGDE，连接FG，FC.(1)请 判 断：FG与 CE的 数 量 关 系 是 _，位 置 关 系 是_；解解FGCE；FGCE.FGCEFGCE答案(2)如图2，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请作出判断并给予证明；解解FGCE，FGCE.理由如下：过点G作GHCB的延长线于点H，EGDE，GEHDEC90，GEHEGH90，DECEGH，在HGE和CED中，GHE
14、ECD，EGHDEC，EGDE，HGECED(AAS)，GHCE，HECD，CEBF，GHBF，答案GHBF，四边形GHBF是矩形，FGBH，FGCH，FGCE，四边形ABCD是正方形，CDBC，HEBC，HEEBBCEB，BHCE，FGCE.答案(3)如图3，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其它条件不变，(1)中结论是否仍然成立？请直接写出你的判断.解解四边形ABCD是正方形，BCCD，FBCECD90，在CBF与DCE中，BFCE，FBCECD，BCDC，CBFDCE(SAS)，BCFCDE，CFDE，EGDE，CFEG，DEEG，DECCEG90，CDEDEC90，CDECEG
15、，BCFCEG，CFEG，四边形CEGF是平行四边形，FGCE，FGCE.返回易错防范返回易错警示系列 26不认真画图导致错误试试题题在ABC的两边AB、AC上向形外作正方形ABEF、ACGH，过点A作BC的垂线分别交BC于点D，交FH于M，求证：FMMH.错误答案展示错误答案展示证明：如图，四边形ABEF与四边形ACGH都是正方形，AFAB，AHAC.又FAHBAC，AFHABC，52，3190，3290，12，15，14，45，AMFM.同理，AMMH，即FMMH.正确解答分析与反思剖析正确解答分析与反思剖剖析析上述解法错在将BAC画成了直角(题中没有这个条件)，从而导致FAH、BAC和1、4分别成为对顶角，不认真画图，匆匆忙忙进行推理，就很容易犯错误.正确解答正确解答证明：分别过F、H画FKMD，HLMD，垂足为K、L.四边形ACGH是正方形，ACAH，CAH90，1290，ADBC，2390，13.又HLAADC90，AHLCAD，HLAD.同理可得，AFKBAD，分析与反思FKAD，FKHL.又FMKHML，FKMHLM90，FMKHML，FMMH.分分析析与与反反思思证明一个几何命题时，一般要先根据题意画出图形，但画图时应严格根据题设条件，不能将一般的图形画成一个特殊图形，否则在证明时就容易受所画图形干扰而导致错误.返回