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1、20172017中考总复习中考总复习第15讲 二次函数的性质及其图象1.根据具体情境分析和建立两个变量之间的二次函数关系，能用表格、表达式、图象表示变量之间的二次函数关系，并能根据具体问题，选取适当的方法表示变量之间的函数关系.2.能根据二次函数的表达式确定二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标;会作二次函数的图象，并能根据图象对二次函数的性质进行分析，逐步积累研究函数性质的经验.3.理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根，并能利用二次函数的相关知识解决实际问题.考点一、考点一、二次函数的概念和图像二次函数的概念和图像1、二次函数的概念：一般地，如果y=a
2、x2+bx+c（a,b,c是常数，a0），那么y叫做x的二次函数。2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于 对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点3、二次函数图像的画法(五点法)：（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴。（2）求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点：当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A，B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D.将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图象.当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点
3、D，由C，M，D三点可粗略地画出二次函数的草图.如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A，B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图象.如果将抛物线y=x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A.y=x21B.y=x2+1 C.y=(x1)2D.y=(x+1)2解析：解析：解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），所以所得的抛物线的表达式为y=(x1)2考点二、考点二、二次函数的表达式二次函数的表达式二次函数的表达式有三种形式：（1）一般式：y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）（2）顶点式：y=a(x-h)2+k
4、（a,h,k是常数，a0）（3）当抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点时，即对应二次方程ax2+bx+c=0有两个实根x1和x2，根据二次三项式的分解因式 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，二次函数y=ax2+bx+c可转化为两根式y=a(x-x1)(x-x2)。如果没有交点，则不能这样表示。“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（mn）是关于x的方程1(xa)(xb)=0的两根，且ab，则a、b、m、n的大小关系是（）A.mabn B.amnb C.am
5、bn D.manb解析：解析：解：依题意，画出函数y=(xa)(xb)的图象，函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（ab）方程1(xa)(xb)=0转化为(xa)(xb)=1，方程的两根是抛物线y=（xa）（xb）与直线y=1的两个交点由mn，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有ma；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有bn综上所述，可知mabn 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当 时，.如果自变量的取值范围是 ，那么，首先要看 是否在自变量取值范围 内，若在此范围内，
6、则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在 范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当 时，当 时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当 时，当 时，.考点三、考点三、二次函数的最值二次函数的最值考点四、考点四、二次函数的性质二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数y=ax2+bx+c（a,b,c是常数，a0）图象a0a0a0时，抛物线开口向上，a0时，图像与x轴有两个交点；当=0时，图像与x轴有一个交点；当 0时，图像与x轴没有交点；如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为2、函数平移规律（中考试题中，只占3分，但
7、掌握这个知识点，对提高答题速度有很大帮助，可以大大节省做题的时间）左加右减、上加下减（函数值加减上下移、自变量加减左左加右减、上加下减（函数值加减上下移、自变量加减左右移）右移）补充：补充：1、平面内两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）例题例题1已知函数y等于(xm)(xn)（其中mn）的图象如图，则一次函数y=mx+n与反比例函数y=的图象可能是（）考点：考点：二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的分析：分析：根据二次函数图象判断出m1，n=1，然后求出m+n0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即
8、可解答：解答：由图可知，m1，n=1，所以，m+n0，所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），反比例函数 的图象位于第二四象限，观各选项，只有C选项图形符合故答案选C小结：本题考查了二次函数图象、一次函数图象、反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m，n的取值是解题的关键.【例题例题2】已知点A（a2b，24ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A（3，7）B（1，7）C（4，10）D（0，10）考点：二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化应用对称分析：把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理，然后根据非负数的
9、性质列式求出a，b，再求出点A的坐标，然后求出抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可解答：点A（a2b，24ab）在抛物线y=x2+4x+10上，（a2b）2+4（a2b）+10=24ab，a24ab+4b2+4a8ab+10=24ab，（a+2）2+4（b1）2=0，a+2=0，b1=0，解得a=2，b=1.a2b=221=4，24ab=24（2）1=10.点A的坐标为（4，10）.对称轴为直线x=2，点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）故答案选D.小结：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的对称性、坐标与图形的变化对称，把点的坐标代入抛物线的表达式并整理成非负数的形式是解题的
10、关键.(2016深圳市)如图，抛物线y=ax2+2x-3与轴交于A，B两点，且B（1,0）（1）求抛物线的解析式和点A的坐标；（2）如图，点P是直线y=x上的动点，当直线y=x平分APB时，求点P的坐标；（3）如图，已知直线 分别与x轴、y轴交于C，F两点点Q是直线CF下方的抛物线上的一个动点，过点Q作y轴的平行线，交直线CF于点D，点E在线段CD的延长线上，连接QE问以QD为腰的等腰QDE的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由解：（1）把B（1,0）代入y=ax2+2x-3，得a+2-3=0，解得a=1y=x2+2x-3，A(-3,0)（2）若直线y=x平分AP
11、B，则APO=BPO如图，若P点在x轴上方，PA与y轴交于B点.POB=POB=45，APO=BPO，PO=PO，OPBOPB(ASA)BO=BO=1，B(0,1)直线PA:y=3x+1P 若P点在x轴下方时，同理可得BOPBOP，BPO=BPO又BPO在APO的内部，APOBPO，即此时没有满足条件的P点综上所述，点P的坐标为 （3）存在.如图，作QHCF直线CF:C(,0），F（0,）tanOFC=OC/OF=DQy轴，QDH=MFD=OFC tanHDQ=不妨记DQ=1,则DH=t,HQ=tQDE是以DQ为腰的等腰三角形，若DQ=DE，则SDEQ=DEHQ=t2若DQ=QE，则SDEQ=DEHQ=t t=t2 t2 t2，当DQ=QE时，DEQ的面积比DQ=DE时大设Q(x,x2+2x3),则D（x,）当DQ=t=（x2+2x3）=x2 x+当x=时，tmax=3.(SDEQ)max=t2=以QD为腰的等腰三角形QDE的面积最大值为 完成过关测试：第 题.完成课后作业：第 题.