《2024年高考数学终极押题密卷3（北京卷）含答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年高考数学终极押题密卷3（北京卷）含答案.doc（53页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2024年高考数学终极押题密卷3（北京卷）一选择题（共10小题）1已知集合Ax|3x1，B0，1，2，3，4，则AB（）A3，4B2，3，4C0，1D0，1，22已知复数，则z的共轭复数（）AB2+iCiDi3在的展开式中，常数项是（）ABCD4设an是等差数列，下列结论中正确的是（）A若a1+a20，则a2+a30B若a1+a30，则a1+a20C若a10，则（a2a1）（a2a3）0D若0a1a2，则5已知数列an为等比数列，其前n项和为Sn，a10，则“公比q0”是“对于任意nN*，Sn0”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件6在平面直角坐标系x
2、Oy中，已知P是圆C：（x3）2+（y4）21上的动点，若A（a，0），B（a，0），a0，则的最小值为（）A12B8C6D47已知函数f（x）2sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则f（）的值是（）AB1C1D8设a20.3，bsin，cln2，则（）AcbaBbcaCabcDbac9已知符号函数，则函数f（x）sgn（2lnx）ln（2x1）的零点个数为（）A1B2C3D410“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱
3、的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（）A一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直B该“十字贯穿体”的表面积是C该“十字贯穿体”的体积是D一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为二填空题（共5小题）11已知二项式关于x展开式中，所有项的系数之和为32，设展开式中x和x2的系数分别为m，n，若m2n，则a ，b 12直线是双曲线的一条渐近线，双曲线的离心率是 13若关于x的方程|2x+4x2|a恰有三个不同实数解，则实数a的值为 14设函数f（x）若f（x）有两个零点，则实数a的一个取值可以是 ；
4、若f（x）是R上的增函数，则实数a的取值范围是 15黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：x0，1时，R（x）若数列，给出下列四个结论：an；an+2an+1；其中所有正确结论的序号是 三解答题（共6小题）16在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知2bsinAa0（）求角B的大小；（）求cosA+cosB+cosC的取值范围17如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAADCD2，BC3，PC2（）求证：CD平面PAD；（）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的大小条件：AB；条件：BC平面PAD注：如果选择的条件
5、不符合要求，第（）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分18每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成0，2，（2，4，（4，6，（6，8，（8，10，（10，12，（12，14，（14，16，（16，18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图（）求a的值；（）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在（12，14，（14，16，（1
6、6，18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在（14，16内的学生人数为X，求X的分布列；（）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“P20（k）”表示这20名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在（10，12（单位：小时）内的概率，其中k0，1，2，20当P20（k）最大时，写出k的值（只需写出结论）19椭圆C：的离心率为，F1，F2是椭圆的左、右焦点，以F1为圆心、为半径的圆与以F2为圆心、为半径的圆的交点在椭圆C上（）求椭圆C的方程和长轴长；（）已知直线ykx2与椭圆C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一
7、点是否存在实数k，使得PAB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由20设函数f（x）ln（ax+1）x，aR，曲线yf（x）在原点处的切线为x轴（1）求a的值；（2）求方程的解；（3）证明：21设k是正整数，集合A至少有两个元素，且AN*如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有|xy|k，则称A具有性质P（k）（1）试判断集合B1，2，3，4和C1，4，7，10是否具有性质P（2）？并说明理由；（2）若集合Aa1，a2，a121，2，20，求证：A不可能具有性质P（3）；（3）若集合A1，2，2023，且同时具有性质P（4）和P（7），求集合
8、A中元素个数的最大值2024年菁优高考数学终极押题密卷3（北京卷）参考答案与试题解析一选择题（共10小题）1已知集合Ax|3x1，B0，1，2，3，4，则AB（）A3，4B2，3，4C0，1D0，1，2【考点】交集及其运算菁优网版权所有【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算【答案】C【分析】根据交集的定义，即可求解【解答】解：Ax|x2，B0，1，2，3，4，AB0，1故选：C【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题2已知复数，则z的共轭复数（）AB2+iCiDi【考点】共轭复数；虚数单位i、复数菁优网版权所有【专题】计算题【答案】C【分析】将z化为：zi，从而可得z的共轭复数【解答】解
9、：zi，i故选：C【点评】本题考查复数的基本概念，将z化为zi是关键，属于基础题3在的展开式中，常数项是（）ABCD【考点】二项式定理菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；二项式定理；逻辑推理；数学运算【答案】A【分析】直接利用二项式的展开式和组合数求出结果【解答】解：利用二项式的展开式（r0，1，2，3）；当r2时，常数项为故选：A【点评】本题考查的知识要点：二项式的展开式，组合数，主要考查学生的运算能力，属于基础题4设an是等差数列，下列结论中正确的是（）A若a1+a20，则a2+a30B若a1+a30，则a1+a20C若a10，则（a2a1）（a2a3）0D若0a1a2，则【考
10、点】等差数列的通项公式菁优网版权所有【专题】探究型；函数思想；分析法；等差数列与等比数列【答案】D【分析】利用等差数列的通项公式及性质逐一核对四个选项得答案【解答】解：对于A，a1+a20，a2+a3（a1+a2）+2d，d的正负无法判断，a2+a3正负无法判断，故A错误；对于B，a1+a30，（a1+a2）+d0，a1+a2正负无法判断，故B错误；对于C，（a2a1）（a2a3）d20，故C错误；对于D，0a1a2a1+d，d0，则，即，故D正确故选：D【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的性质，是中档题5已知数列an为等比数列，其前n项和为Sn，a10，则“公比q0”是“对于任
11、意nN*，Sn0”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】充分条件与必要条件；等比数列的性质菁优网版权所有【专题】整体思想；综合法；简易逻辑；数学运算【答案】A【分析】根据等比数列的通项公式以及前n项和公式，分别验证充分性以及必要性即可得到结果【解答】解：若a10，且公比q0，则，所以对于任意nN*，Sn0成立，故充分性成立，若a10，且，则，所以由对于任意nN*，Sn0，推不出q0，故必要性不成立；所以“公比q0”是“对于任意nN*，Sn0”的充分不必要条件故选：A【点评】本题主要考查了等比数列的前n项和公式，考查了充分条件和必要条件的定义，属于
12、基础题6在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C：（x3）2+（y4）21上的动点，若A（a，0），B（a，0），a0，则的最小值为（）A12B8C6D4【考点】直线与圆的位置关系菁优网版权所有【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算【答案】B【分析】根据题意得到2|，|min|OC|1，即可得到答案【解答】解：因为2|，|min|OC|114所以的最小值为8故选：B【点评】本题主要考查了向量数量积的性质在最值求解中的应用，还考查了圆的性质的应用，属于基础题7已知函数f（x）2sin（x+）（0，|）的部分图象如图所示，则f（）的值是（）AB1C1D【考点】由yAsin（x+）的部分
13、图象确定其解析式菁优网版权所有【专题】计算题；数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；数学运算【答案】A【分析】根据函数图象求出函数解析式，从而可得函数值【解答】解：由图象可得（），所以T，所以2，由五点作图法可得2+，所以，所以f（x）2sin（2x+），所以f（）2sin（2+）2sin故选：A【点评】本题主要考查由yAsin（x+）的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于基础题8设a20.3，bsin，cln2，则（）AcbaBbcaCabcDbac【考点】对数值大小的比较菁优网版权所有【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【答案】B【分析】根据函数的单调
14、性可比较得结果【解答】解：，而e，则，即，所以bca故选：B【点评】本题主要考查利用单调性比较两个数的大小，属于中档题9已知符号函数，则函数f（x）sgn（2lnx）ln（2x1）的零点个数为（）A1B2C3D4【考点】函数的零点与方程根的关系菁优网版权所有【专题】新定义；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算【答案】C【分析】先分段写出ysgn（2lnx）的解析式，然后分类求方程sgn（2lnx）ln（2x1）的根即可【解答】解：令f（x）0，则sgn（2lnx）ln（2x1），ysgn（2lnx），当x1时，若ln（2x1）1，得x，符合；当x1时，若ln（2x1）0，得x1，符合；
15、当0x1时，若ln（2x1）1，得x+，符合；故函数f（x）sgn（2lnx）ln（2x1）的零点个数为3故选：C【点评】本题属于新概念题，考查了函数的零点、对数函数的性质，属于基础题10“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）若某“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，则下列说法正确的是（）A一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直B该“十字贯穿体”的表面积是C该“十字贯穿体”的体积
16、是D一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线长为【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；直观想象；数学运算【答案】C【分析】A项，验证是否满足勾股定理；B项，该“十字贯穿体”由4个正方形和16个与梯形BDOG全等的梯形组成，由此即可得；C项，两个正四棱柱的重叠部分为多面体CDGOST，可以分成8个全等的三棱锥CGOI，由此计算可得；D项，平面展开图即可求最短路线长【解答】解：依题意，不妨设该几何体中心对称，对于A：在梯形BDOG中，BG2，则，所以OC2+OD2DC2，
17、即一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线不互相垂直，A错误；对于B：该“十字贯穿体”由4个正方形和16个与梯形BDOG全等的梯形组成，故表面积，B错误；对于C：两个正四棱柱的重叠部分为多面体CDGOST，取CS的中点I，则多面体CDGOST可以分成8个全等的三棱锥CGOI，则SGOI，且CI平面GOI，CI，则VCGOI，则该“十字贯穿体”的体积为V28VCGOI24对于D：将面ACO，面ECON，面NFDO绕着面与面之间的交线旋转到与面DOGB共面，如图：则，所以NOG2DOG为钝角，连接AB，则线段AB的长为一只蚂蚁从该“十字贯穿体”的顶点A出发，沿表面到达顶点B的最短路线
18、长，根据对称性可得ABNO，因为，所以，又，所以，所以，又所以，则，D错误故选：C【点评】本题考查多面体的综合计算，属于难题二填空题（共5小题）11已知二项式关于x展开式中，所有项的系数之和为32，设展开式中x和x2的系数分别为m，n，若m2n，则a4，b2【考点】二项式定理菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数据分析【答案】见试题解答内容【分析】由题意利用二项式系数的性质，求得所有项的系数之和为（ab）532 ，再根据通项公式求得 a2b ，由求得a、b的值【解答】解：已知二项式关于x展开式中，所有项的系数之和为（ab）532 ，设展开式中的通项公式为Tr+1（b）ra5r，
19、令1，求得r1，可得x的系数为m5ba4令2，求得r3，可得x2的系数为n10b3a2，若m2n，则5ba420b3a2，即 a2b 则由求得 a4，b2，故答案为：4；2【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题12直线是双曲线的一条渐近线，双曲线的离心率是2【考点】双曲线的性质菁优网版权所有【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【答案】见试题解答内容【分析】根据题意，由双曲线的标准方程可得其渐近线方程，结合题意可得，即ba，由双曲线的性质可得c2a，进而由双曲线的离心率公式计算可得答案【解答】解：根据题意，双曲线的方程为
20、，则其渐近线方程为yx，又由直线是双曲线的一条渐近线，则有，即ba，则c2a，则双曲线的离心率e2；故答案为：2【点评】本题考查双曲线的标准方程以及几何性质，关键是掌握双曲线的离心率的计算公式13若关于x的方程|2x+4x2|a恰有三个不同实数解，则实数a的值为5【考点】函数的零点与方程根的关系菁优网版权所有【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用【答案】见试题解答内容【分析】问题等价于函数y|2x+4x2|的图象和ya恰有三个不同公共点，数形结合可得【解答】解：问题等价于函数y|2x+4x2|的图象和ya恰有三个不同公共点，y|2x+4x2|的图象可由y2x+4x2（x1）2+5的图象
21、x轴上方的不动，x轴下方的对称上去，如图数形结合可得a5故答案为：5【点评】本题考查根的存在性和个数的判断，转化为函数图象的交点并准确作图是解决问题的关键，属中档题14设函数f（x）若f（x）有两个零点，则实数a的一个取值可以是 1（答案不唯一）；若f（x）是R上的增函数，则实数a的取值范围是 0，12，+）【考点】分段函数的应用菁优网版权所有【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；导数的综合应用；直观想象；数学运算【答案】1（答案不唯一）；0，12，+）【分析】由题意可得f（x）x3+3ax（x1）必有两个零点，利用导求解即可第一空答案；利用导数判断出函数在（，1和（1，+）上均单调递增
22、，再由1+3a3+a2求解即可得第二空答案【解答】解：因为当x1时，f（x）3x+a23，此时函数没有零点，要使函数有两个零点，则f（x）x3+3ax（x1）必有两个零点，又因为f（x）3x2+3a，所以当a1时，则f（x）3x23，令f（x）0，则 x1或1，故f（x）在（，1）单调递增，在（1，1）单调递减，f（2）8+620；f（1）1+320，故f（x）在（2，1）内有一个零点，在（1，1）内也有一个零点，故有2个零点，则a1满足条件；根据题意可得，当x1时，f（x）3x2+3a0，所以ax2，又因为x1，所以x20，故a0；当x1时，f（x）30，即x1时，f（x）单调递增恒成立，要
23、使f（x）在R上为增函数，故在x1时，f（1）1+3a3+a2，解得a2或a1，故a的取值范围为0，12，+）故答案为：1（答案不唯一）；0，12，+）【点评】本题考查了函数的零点、导数的综合运用，属于中档题15黎曼函数在高等数学中有着广泛应用，其一种定义为：x0，1时，R（x）若数列，给出下列四个结论：an；an+2an+1；其中所有正确结论的序号是 【考点】数列与函数的综合菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算【答案】【分析】由黎曼函数的定义和数列的裂项相消求和、函数g（x）exx1的性质，可得结论【解答】解：对于，nN+，n1时，故
24、错误；对于，an+1，an+1an+2，故正确；对于，aiai+1a1a2+a2a3+a3a4+.+anan+1+.+，故正确；对于，aia1+a2+a3+.+an+.+（n2），构造函数g（x）exx1（x0），则g（x）ex10，g（x）单调递增，g（x）g（0）0，即当x0时exx+1，可得+1，+1，则.，+.+ln（），当n1时，故正确故选：【点评】本题考查函数与数列的综合，以及数列的裂项相消求和、累乘法，考查转化思想和运算能力，属于中档题三解答题（共6小题）16在锐角ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知2bsinAa0（）求角B的大小；（）求cosA+cosB+cos
25、C的取值范围【考点】正弦定理；两角和与差的三角函数菁优网版权所有【专题】综合题；函数思想；转化法；解三角形；数学运算【答案】见试题解答内容【分析】（）根据正弦定理可得sinB，结合角的范围，即可求出，（）根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出【解答】解：（）2bsinAa，2sinBsinAsinA，sinA0，sinB，ABC为锐角三角形，B，（）ABC为锐角三角形，B，CA，cosA+cosB+cosCcosA+cos（A）+coscosAcosA+sinA+cosA+sinA+sin（A+）+，ABC为锐角三角形，0A，0C，解得A，A+，sin（A+）1，+sin（A+
26、）+，cosA+cosB+cosC的取值范围为（，【点评】本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题17如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，PAADCD2，BC3，PC2（）求证：CD平面PAD；（）再从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求平面PBC与平面PAD所成锐二面角的大小条件：AB；条件：BC平面PAD注：如果选择的条件不符合要求，第（）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直菁优网版权所有【专题】数形结合；向量法；综合法；立体几何；逻辑推理；数学运
27、算【答案】（）证明过程见解答；（）【分析】（）连接AC，由题目条件可推得ADC为等腰直角三角形，且，即CDAD，再PACD，由线面垂直的判定定理即可证明；（）选条件或选条件均可证明BCCD，建立以A为原点的空间直角坐标系，求出平面PBC与平面PAD的法向量，由二面角求解即可【解答】解：（）如图，连接AC，因PA平面ABCD，AC，CD平面ABCD，则PAAC，PACD又，PA2，则，因为ADDC2，所以ADC为等腰直角三角形，其中，所以CDAD，又因为PACD，AD，PA平面PAD，ADPAA，所以CD平面PAD；（）若选条件，由余弦定理可得：，结合ACB为三角形内角，得，又，则，即BCCD若
28、选条件，因BC平面PAD，BC平面ABCD，平面ABCD平面PADAD，则BCAD，又，则，即BCCD故建立以A为坐标原点，如图所示空间直角坐标系（x轴所在直线与DC平行），又PAADCD2，BC3，则A（0，0，0），B（2，1，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），所以，由题知，平面PAD法向量为，设平面PBC法向量为（x，y，z），则，令x1，则y0，z1，所以（1，0，1），设面PBC与平面PAD所成锐二面角为，所以，所以【点评】本题考查线面平行证明和二面角的求法，还考查空间想象能力和运算求解能力，属于中档题18每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日
29、”，又称“世界图书和版权日”为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间（单位：小时），并将样本数据分成0，2，（2，4，（4，6，（6，8，（8，10，（10，12，（12，14，（14，16，（16，18九组，绘制成如图所示的频率分布直方图（）求a的值；（）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在（12，14，（14，16，（16，18三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人，记日平均阅读时间在（14，16内的学生人数为X，求X
30、的分布列；（）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“P20（k）”表示这20名学生中恰有k名学生日平均阅读时间在（10，12（单位：小时）内的概率，其中k0，1，2，20当P20（k）最大时，写出k的值（只需写出结论）【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图菁优网版权所有【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑推理；数学运算【答案】见试题解答内容【分析】（）由频率分布直方图列出方程，能求出a的值（）由频率分布直方图求出这500名学生中日平均阅读时间在（12，14，（14，16，（16，18三组内的学生人数分别为50人，40
31、人，10人，采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅读时间在（14，16内的学生中抽取4人，现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列（）当P20（k）最大时，k4【解答】解：（）由频率分布直方图得：2（0.02+0.03+0.05+0.05+0.15+a+0.05+0.04+0.01）1，解得a0.10（）由频率分布直方图得：这500名学生中日平均阅读时间在（12，14，（14，16，（16，18三组内的学生人数分别为：5000.1050人，5000.0840人，5000.0210人，若采用分层抽样的方法抽取了10人，则从日平均阅
32、读时间在（14，16内的学生中抽取：4人，现从这10人中随机抽取3人，则X的可能取值为0，1，2，3，P（X0），P（X1），P（X2），P（X3），X的分布列为： X 0 1 2 3 P （）当P20（k）最大时，k4【点评】本题考查频率、离散型随机变量的分布列、实数值的运算，考查频率分布直方图、超几何分布、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19椭圆C：的离心率为，F1，F2是椭圆的左、右焦点，以F1为圆心、为半径的圆与以F2为圆心、为半径的圆的交点在椭圆C上（）求椭圆C的方程和长轴长；（）已知直线ykx2与椭圆C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点是否存在实数k，使得PAB是
33、以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，说明理由【考点】直线与圆锥曲线的综合；椭圆的标准方程；椭圆的性质菁优网版权所有【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算【答案】见试题解答内容【分析】（）根据椭圆的离心率有，根据椭圆的定义有2a4，即可求出椭圆方程与长轴长；（）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，设AB中点G（x0，y0），即可表示出G的坐标，假设存在k和点P（m，0），使得PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则PGAB，故kPGkAB1，求出m用k表示，再利用列方程，将m代入即可求出k的
34、值，从而求出P的坐标；【解答】解：（）由题意，解得a2，c，所以b2a2c2431，所以椭圆C的方程为，长轴长为2a4（）联立，消去y整理得：（4k2+1）x216kx+120由256k24（4k2+1）120，解得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则设AB中点G（x0，y0），则，故假设存在k和点P（m，0），使得PAB是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则PGAB，故kPGkAB1，所以，解得，故又因为，所以所以（x1m，y1）（x2m，y2）0，即（x1m）（x2m）+y1y20整理得，所以，将代入得，即，所以，所以k41，即k1，当k1时，P点坐标为；当k1时，P点坐标为，此时，P
35、AB是以P为直角顶点的等腰直角三角形【点评】本题考查了椭圆的方程及性质，考查了直线与椭圆的综合，考查了方程思想及数学运算能力，属于中档题20设函数f（x）ln（ax+1）x，aR，曲线yf（x）在原点处的切线为x轴（1）求a的值；（2）求方程的解；（3）证明：【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程菁优网版权所有【专题】对应思想；综合法；导数的综合应用；数学运算【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据题意可知f（x）在x0处的导数值为0，解方程即可；（2）构造函数，利用导数证明其单调性，再通过观察法得x0是g（x）的零点，从而得解；（3）要证，即证，然后利用（2）中结论即
36、可证明【解答】解：（1）因为f（x）ln（ax+1）x（x1），所以f（x）1，因为曲线yf（x）在原点处的切线为x轴，所以f（0）a10，即a1；（2）由题，方程可化为，令，则，所以g（x）在（1，+）上单调递增，又g（0）0，所以g（x）在（1，+）上有唯一零点x0，即方程有唯一解x0；证明：（3）要证，即证，即证，由（2）易得，所以得证【点评】本题考查了导数的综合应用，属于中档题21设k是正整数，集合A至少有两个元素，且AN*如果对于A中的任意两个不同的元素x，y，都有|xy|k，则称A具有性质P（k）（1）试判断集合B1，2，3，4和C1，4，7，10是否具有性质P（2）？并说明理由；
37、（2）若集合Aa1，a2，a121，2，20，求证：A不可能具有性质P（3）；（3）若集合A1，2，2023，且同时具有性质P（4）和P（7），求集合A中元素个数的最大值【考点】元素与集合关系的判断；集合中元素个数的最值菁优网版权所有【专题】计算题；集合思想；定义法；集合；数学运算【答案】见试题解答内容【分析】（1）根据定义判断B，C是否具有性质P（2）即可；（2）将1，2，20分为11个子集，结合抽屉原理证明结论；（3）先证明连续11个自然数中至多有5个元素属于A，由此可得集合A中元素个数不超过920个，再举例说明存在含有920个元素的满足要求的集合A【解答】解：（1）因为B1，2，3，4，
38、又1N*，2N*，3N*，4N*，但|42|2，所以集合B不具有性质P（2），因为C1，4，7，10，又1N*，4N*，7N*，10N*，但|41|3，|71|6，|101|9，|74|3，|104|6，|107|3，所以集合C具有性质P（2），（2）证明：将集合1，2，20中的元素分为如下11个集合，1，4，2，5，3，6，7，10，8，119，12，13，16，14，17，15，18，19，20，所以从集合1，2，20中取12个元素，则前9个集合至少要选10个元素，所以必有2个元素取自前9个集合中的同一集合，即存在两个元素其差为3，所以A不可能具有性质P（3）；（3）先说明连续11项中集合
39、A中最多选取5项，以1，2，3，11为例构造抽屉1，8，2，9，3，10，4，11，5，6，75，6，7同时选，因为具有性质P（4）和P（7），所以选5则不选1，9；选6则不选2，10；选7则不选3，11；则只剩4，8故1，2，3，11中属于集合A的元素个数不超过5个5，6，7选2个，若只选5，6，则1，2，9，10，7不可选，又4，11只能选一个元素，3，8可以选，故1，2，3，11中属于集合A的元素个数不超过5个若选5，7，则只能从2，4，8，10中选，但4，8不能同时选，故1，2，3，11中属于集合A的元素个数不超过5个若选6，7，则2，3，10，11，5不可选，又1，8只能选一个元素，
40、4，9可以选，故1，2，3，11中属于集合A的元素个数不超过5个5，6，7中只选1个，又四个集合1，8，2，9，3，10，4，11每个集合至多选1个元素，故1，2，3，11中属于集合A的元素个数不超过5个由上述可知，连续11项自然数中属于集合A的元素至多只有5个，如取1，4，6，7，9因为202318311+10，则把每11个连续自然数分组，前183组每组至多选取5项；从2014开始，最后10个数至多选取5项，故集合A的元素最多有1845920个给出如下选取方法：从1，2，3，11中选取1，4，6，7，9；然后在这5个数的基础上每次累加11，构造183次此时集合A的元素为：1，4，6，7，9；
41、12，15，17，18，20；23，26，28，29，31；2014，2017，2019，2020，2022，共920个元素经检验可得该集合符合要求，故集合A的元素最多有920个【点评】本题考查集合新定义，考查学生计算能力，属于难题考点卡片1元素与集合关系的判断【知识点的认识】1、元素与集合的关系： 一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母 A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：aA或aA2、集合中元素的特征：（1）确定性：作为一个集合中的元素，必须是确定的即一个集合一旦确定，某一个元素属于还是不属于这集合是确定的要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一，这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合（2）互异性：集合中的元素必须是互异的对于一个给定的集合，他的任何两个元素都是不同的这个特性通常被用来判断集合的表示是否