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1、2.22.2 函数的零点与方程专项练函数的零点与方程专项练-2-1.零点的定义:对于函数y=f(x),使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.2.零点存在性定理:如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条连续曲线,且有f(a)f(b)0,那么函数y=f(x)在区间a,b内有零点,即存在c(a,b),使得f(c)=0,此时这个c就是方程f(x)=0的根.3.函数的零点与方程根的关系:函数F(x)=f(x)-g(x)的零点就是方程f(x)=g(x)的根,即函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象交点的横坐标.4.判断函数零点个数的方法:(1)直接求零点;(2)零点存在性定理;(
2、3)数形结合法.-3-5.利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法:(1)利用零点存在性定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两个熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.(4)方程f(x)-m=0有解,m的范围就是函数y=f(x)的值域.-4-一、选择题二、填空题1.由表格中的数据可以判定函数f(x)=ln x-x+2的一个零点所在的区间是(k,k+1)(kZ),则k的值为(C )A.1B.2C.3D.4 解析:当x取值分别是1,2,3,4,5时,f(1)=1,f(2)=0.69,f(3)=0.1,f(4)=-0.61,f(5)=-1.
3、39,f(3)f(4)0,函数的零点在(3,4)区间上,k=3,故选C.-5-一、选择题二、填空题2.(2017辽宁抚顺重点校一模,文5)函数f(x)=-|x|-+3的零点所在区间为(B )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)-6-一、选择题二、填空题3.若关于x的方程4sin2x-msin x+1=0在(0,)内有两个不同的实数根,则实数m的取值范围是(D )A.x|x-4C.x|x5D.x|x54解析:设sin x=t,则0t1,则方程等价于f(t)=4t2-mt+1在(0,1内有惟一解,即 或f(1)=5-m5.-7-一、选择题二、填空题4.(2017湖北武昌1月调研
4、,文6)已知函数f(x)=2ax-a+3,若x0(-1,1),f(x0)=0,则实数a的取值范围是(A )A.(-,-3)(1,+)B.(-,-3)C.(-3,1)D.(1,+)解析:函数f(x)=2ax-a+3,由x0(-1,1),f(x0)=0,可得(-3a+3)(a+3)0,解得a(-,-3)(1,+).5.已知函数f(x)=ex+x,g(x)=ln x+x,h(x)=ln x-1的零点依次为a,b,c,则(A )A.abcB.cbaC.cabD.bac解析:由f(a)=ea+a=0,得a=-ea0;b是函数y=ln x和y=-x图象交点的横坐标,画图(图略)可知0b1;由h(c)=ln
5、 c-1=0知c=e,所以abc.-8-一、选择题二、填空题6.已知函数f(x)=ax+x-b的零点x0(n,n+1)(nZ),其中常数a,b满足0b1a,则n的值为(D )A.2B.1C.-2 D.-1解析:由题意得函数f(x)=ax+x-b为增函数,常数a,b满足0b1a,所以f(-1)=-1-b0,所以函数f(x)=ax+x-b在(-1,0)内有一个零点,故n=-1.-9-一、选择题二、填空题A.4nB.2nC.nD.07.(2017山东潍坊一模,文10)已知函数y=f(x)满足f(2+x)+f(2-10-一、选择题二、填空题解析:由题意,得f(x)的图象关于点(2,0)对称;g(x)的
6、图象也关于点(2,0)对称,即有f(x)与g(x)的交点关于点(2,0)对称,-11-一、选择题二、填空题8.(2017全国,文12)已知函数f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点,则a=(C )解析:f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f(2-x)=(2-x)2-2(2-x)+ae2-x-1+e-(2-x)+1=x2-4x+4-4+2x+a(e1-x+ex-1)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1),f(2-x)=f(x),即直线x=1为f(x)图象的对称轴.f(x)有唯一零点,f(x)的零点只能为1,即f(1)=12-21+a(e1-1+e-1+1)=0
7、,解得a=.-12-一、选择题二、填空题9.设函数f(x)的定义域为R,f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),当x0,1时,f(x)=x3,则函数g(x)=|cos(x)|-f(x)在区间 上的所有零点的和是(B )A.2B.3C.-2D.4解析:因为f(-x)=f(x),f(x)=f(2-x),所以f(-x)=f(2-x),所以f(x)的周期为2.画出y=f(x)和y=|cos(x)|的图象,由图可知,g(x)共有5个零点,其中x1+x2=0,x4=1,x3+x5=2.所以所有零点的和为3.-13-一、选择题二、填空题10.设f(x)是定义在R上的偶函数,对任意xR,都有f(x-2)
8、=f(x+2),且当x-2,0时,f(x)=-1.若在区间(-2,6内关于x的方程f(x)-loga(x+2)=0(a1)至少有2个不同的实数根,至多有3个不同的实数根,则a的取值范围是(D )A.(1,2)B.(2,+)-14-一、选择题二、填空题解析:对任意xR,都有f(x-2)=f(x+2),f(x+4)=f(x+2+2)=f(x+2-2)=f(x),f(x)是定义在R上的周期为4的函数;作函数f(x)与y=loga(x+2)的图象如下,-15-一、选择题二、填空题11.已知函数f(x)=-x2+2ex+m-1,g(x)=x+(x0),若方程g(x)-f(x)=0有两个相异实根,则m的取
9、值范围为(A )A.(-e2+2e+1,+)B.(-,-e2+2e+1)C.(-e2+1,2e)D.(2e-1,e2+1)-16-一、选择题二、填空题解析:若g(x)-f(x)=0有两个相异的实根,即函数y=g(x)与y=f(x)的图 f(x)=-x2+2ex+m-1=-(x-e)2+m-1+e2,其图象的对称轴为x=e,开口向下,最大值为m-1+e2.故当m-1+e22e,即m-e2+2e+1时,y=g(x)与y=f(x)的图象有两个交点,即g(x)-f(x)=0有两个相异实根.m的取值范围是(-e2+2e+1,+).-17-一、选择题二、填空题12.(2017辽宁鞍山一模,文12)已知定义
10、域在R上的函数f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2.当x1时,f(x)=.则关于x的方程f(x)+2a=0没有负实根时实数a的取值范围是(A )-18-一、选择题二、填空题解析:f(x)满足f(x+1)+f(1-x)=2,f(x)的图象关于点(1,1)中心对称,(1,1)中心对称得到,由图可知当x1时f(x)过点(0,1)且f(x)kx,那么k的最大值为2.-23-一、选择题二、填空题解析:对于,f(-x)=e-x-ex=-f(x),故正确;对于,f(x)=ex+e-x0,故f(x)在R递增,故正确;对于,令g(x)=ex-e-x-x2-2x,由g(0)=0,得方程一根x=0,对于,令h(x)=ex-e-x-kx,且h(0)=0,若h(x)0,则h(x)=ex+e-x-k0恒成立,2,故正确.故答案为.