《数学第二部分 22题各个击破 二 函数与导数 2.4.1 导数与函数的单调性、极值、最值 文 .ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学第二部分 22题各个击破 二 函数与导数 2.4.1 导数与函数的单调性、极值、最值 文 .ppt（57页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2.42.4 压轴大题压轴大题11函数、导数、方程、不等函数、导数、方程、不等式式-2-3-4-5-6-1.导数的几何意义(1)函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率,即k=f(x0).(2)函数切线问题的求解策略:用好切点“三重性”:切点在函数图象上,满足函数解析式;切点在切线上,满足切线方程;切点处的导数等于切线的斜率.2.函数的导数与单调性的关系函数y=f(x)在(a,b)内可导,(1)若f(x)0在(a,b)内恒成立,则f(x)在(a,b)内单调递增;(2)若f(x)0,右侧f(x)0,则f(x0)为函数f(x)的极大值;若在x0附近左侧f(x)
2、0,则f(x0)为函数f(x)的极小值.(2)设函数y=f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,则f(x)在a,b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得.(3)若函数f(x)在a,b上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值.5.常见恒成立不等式(1)ln xx-1;(2)exx+1.-8-6.构造辅助函数的四种方法(1)移项法:证明不等式f(x)g(x)(f(x)0(f(x)-g(x)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最大值.(2)x1a,b,x2c,d,f(x
3、1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最小值.(3)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最小值g(x)在c,d上的最小值.(4)x1a,b,x2c,d,f(x1)g(x2)f(x)在a,b上的最大值g(x)在c,d上的最大值.-10-(5)x1a,b,当x2c,d时,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域与g(x)在c,d上的值域交集非空.(6)x1a,b,x2c,d,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值域.(7)x2c,d,x1a,b,f(x1)=g(x2)f(x)在a,b上的值域g(x)在c,d上的值
4、域.2 2.4 4.1 1 导数与函数的单调性、极值、最值导数与函数的单调性、极值、最值-12-考向一考向二考向三考向四讨论、判断、证明单调性或求单调区间讨论、判断、证明单调性或求单调区间解题策略一解题策略一分类讨论法分类讨论法例1(2017全国,文21)已知函数f(x)=ex(ex-a)-a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)0,求a的取值范围.难点突破(1)讨论f(x)的单调性求函数的定义域求导函数 判断导函数的符号确定单调区间;(2)讨论a的取值范围求f(x)导函数确定f(x)的单调区间求f(x)取最小值解不等式f(x)max0得a的范围合并a的范围.-13-考向一考向二考
5、向三考向四解(1)函数f(x)的定义域为(-,+),f(x)=2e2x-aex-a2=(2ex+a)(ex-a).若a=0,则f(x)=e2x,在(-,+)单调递增.若a0,则由f(x)=0得x=ln a.当x(-,ln a)时,f(x)0.故f(x)在(-,ln a)单调递减,在(ln a,+)单调递增.-14-考向一考向二考向三考向四解题心得利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号,当f(x)含参数时,需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)若a=0,则f(x)=e2x,所以f(x)0.若a0,则由(1)得,当x=ln a时,f(x)取得最小值,最小值为f(ln a
6、)=-a2ln a.从而当且仅当-a2ln a0,即a1时,f(x)0.-15-考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练1已知函数f(x)=ln x-mx(mR).(1)若m=1,求曲线y=f(x)在点P(1,-1)处的切线方程;(2)讨论函数f(x)在(1,e)上的单调性.所以切线的斜率为0,所以切线方程为y=-1.令h(x)=-mx+1,h(x)是过点(0,1)的一次函数,当m0时,在(1,e)上h(x)0,f(x)0,所以函数f(x)在(1,e)上单调递增.当m0时,h(x)在(1,e)上是减函数,由h(x)的图象可知,-16-考向一考向二考向三考向四所以函数f(x)在(1,e)上单调递
7、增;()当0 1,即m1时,x(1,e),h(x)0,f(x)0,函数f(x)在(1,e)上单调递减.-17-考向一考向二考向三考向四解题策略二解题策略二构造函数法构造函数法例2已知函数f(x)=(k为常数,e是自然对数的底数),曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线与x轴平行.(1)求k的值;(2)求f(x)的单调区间.-18-考向一考向二考向三考向四即h(x)在(0,+)上是减函数.由h(1)=0知,当0 x0,从而f(x)0;当x1时,h(x)0,从而f(x)0知,f(x)与1-x+ex-1同号.令g(x)=1-x+ex-1,则g(x)=-1+ex-1.所以,当x(-,1)时,g(x
8、)0,g(x)在区间(1,+)上单调递增.故g(1)=1是g(x)在区间(-,+)上的最小值,从而g(x)0,x(-,+).综上可知,f(x)0,x(-,+).故f(x)的单调递增区间为(-,+).-21-考向一考向二考向三考向四求函数的极值、最值求函数的极值、最值解题策略一解题策略一利用单调性求利用单调性求(1)若a=2,F(x)=f(x)-g(x),求F(x)的单调区间;(2)若函数g(x)=ax+b是函数f(x)=ln x-图象的切线,求a+b的最小值.难点突破(1)求出F(x)的导数,解关于导函数的不等式,即得函数的单调区间;-22-考向一考向二考向三考向四令F(x)0,解得0 x1,
9、令F(x)1,故F(x)在(0,1)递增,在(1,+)递减.-23-考向一考向二考向三考向四当t(0,1)时,(t)0,(t)在(1,+)上单调递增.即有t=1时,(t)取得极小值,也为最小值.则a+b=(t)(1)=-1,故a+b的最小值为-1.-24-考向一考向二考向三考向四解题心得1.求最值的常用方法是由导数确定单调性,由单调性确定极值,比较极值与定义域的端点值确定最值;2.对kf(x)恒成立,求参数k的最值问题,若求不出f(x)的极值点,可先求极值点所在区间,再由极值点范围求极值的范围,由此得出参数的最值.-25-考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练3(2017北京,文20)已知函
10、数f(x)=excos x-x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程;解(1)因为f(x)=excos x-x,所以f(x)=ex(cos x-sin x)-1,f(0)=0.又因为f(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y=1.-26-考向一考向二考向三考向四(2)设h(x)=ex(cos x-sin x)-1,则h(x)=ex(cos x-sin x-sin x-cos x)=-2exsin x.-27-考向一考向二考向三考向四解题策略二解题策略二构造函数法构造函数法例4已知函数f(x)满足f(x)=f(1)ex-1-f(0)x+x2.(1)求f
11、(x)的解析式及单调区间;(2)若f(x)x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.=ex-(a+1)x-b0h(x)=ex-(a+1)h(x)min=(a+1)-(a+1)ln(a+1)-b0(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1)(a+10),令F(x)=x2-x2ln x(x0),-28-考向一考向二考向三考向四解(1)由已知得f(x)=f(1)ex-1-f(0)+x.所以f(1)=f(1)-f(0)+1,即f(0)=1.又f(0)=f(1)e-1,所以f(1)=e.由于f(x)=ex-1+x,故当x(-,0)时,f(x)0.从而,f(x)在(-,0)单调递减,在(0,+)单调
12、递增.-29-考向一考向二考向三考向四(2)由已知条件得ex-(a+1)xb.可得ex-(a+1)x0,设g(x)=ex-(a+1)x,则g(x)=ex-(a+1).当x(-,ln(a+1)时,g(x)0.从而g(x)在(-,ln(a+1)单调递减,在(ln(a+1),+)单调递增.故g(x)有最小值g(ln(a+1)=a+1-(a+1)ln(a+1).ba+1-(a+1)ln(a+1).-30-考向一考向二考向三考向四因此(a+1)b(a+1)2-(a+1)2ln(a+1).设h(a)=(a+1)2-(a+1)2ln(a+1),则h(a)=(a+1)(1-2ln(a+1).-31-考向一考向
13、二考向三考向四解题心得本例在(2)中,通过作差将条件进行转化,通过构造函数求函数的最小值得出关于a,b的不等式,通过乘(a+1)得(a+1)b的关系式,再通过第二次构造函数求函数最大值得出结果.-32-考向一考向二考向三考向四对点训练对点训练4(2017河北邯郸二模,理21)已知函数f(x)=ax-ln x,F(x)=ex+ax,其中x0,a0.(1)若f(x)和F(x)在区间(0,ln 3)上具有相同的单调性,求实数a的取值范围;-33-考向一考向二考向三考向四a0,f(x)0在(0,+)上恒成立,即f(x)在(0,+)上单调递减,当-1a0,即F(x)在(0,+)上单调递增,不合题意.当a
14、0,得xln(-a),由F(x)0,得0 xe2时,p(x)0,当0 xe2,p(x)0,因=8a0,f(x)没有极值点,函数单调,易求最值;当=8a0,因f(x)有两个极值点,所以第二层次讨论以这两个极值点与所给闭区间的关系进行分类.-37-考向一考向二考向三考向四解(1)f(x)的定义域为R,且f(x)=2x2-4x+2-a.即6x+3y-5=0.(2)方程f(x)=0的判别式为=8a.当a0时,f(x)0,所以f(x)在区间2,3上单调递增,当x变化时,f(x)和f(x)的变化情况如下:-38-考向一考向二考向三考向四当0a2时,x22,此时f(x)在区间2,3上单调递增,所以f(x)在
15、区间2,3上的最小值是f(2)=-2a;最大值是f(3)=7-3a.当2a8时,x12x23,此时f(x)在区间2,x2)上单调递减,在区间(x2,3上单调递增,所以f(x)在区间2,3上的最小值是-39-考向一考向二考向三考向四解题心得依据题意,对参数分类,分类后相当于增加了一个已知条件,在增加条件的情况下,对参数的各个范围逐个验证是否适合题意,最后适合题意的范围即为所求范围,这个范围的最大值也就求出.当a8时,x120,可知(t)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+)上单调递增,(t)(1)=1,(x1+x2)2+(x1+x2)1,-43-考向一考向二考向三考向四证明函数有最值并求最
16、值范围证明函数有最值并求最值范围解题策略解题策略零点分布法零点分布法例6(2017湖南邵阳一模,文21)已知函数f(x)=xln x-x2,直线l:y=(k-2)x-k+1,且kZ.(1)若x0e,e2,使得f(x0)0成立,求实数a的取值范围;(2)设a=0,当x1时,函数f(x)的图象恒在直线l的上方,求k的最大值.解,可用求导的方法判断h(x)的单调性,再根据零点存在性定理求h(x)的极值点x0的范围,进而求出最值h(x0)的范围,从而求出k的最大整数值即可.-44-考向一考向二考向三考向四令g(x)0,解得0 xe,令g(x)e,g(x)在x(0,e)上递增,在xe,e2上递减,-45
17、-考向一考向二考向三考向四(2)由题意可知xln xx(k-2)-k+1在x(1,+)上恒成立,(x)在x(1,+)上递增,又(3)=1-ln 30,存在唯一实数x0(3,4),使得(x0)=0,即x0-ln x0-2=0,ln x0=x0-2.h(x)在x(1,x0)上递减,在x(x0,+)上递增,-46-考向一考向二考向三考向四k0).(1)若f(x)是(0,+)的单调递增函数,求实数a的取值范围;(2)当a 时,求证:函数f(x)有最小值,并求函数f(x)最小值的取值范围.-48-考向一考向二考向三考向四解(1)由题意,得f(x)=ex+(x-2)ex+2ax+4a,函数f(x)在区间(
18、0,+)上单调递增,f(x)0在(0,+)上恒成立.ex+(x-2)ex+2ax+4a0,即g(x)在(0,+)上递减,-49-考向一考向二考向三考向四(2)f(x)=ex+(x-2)ex+2ax+4a,f(x)=xex+2a0,y=f(x)在(0,+)上单调递增,又f(0)=4a-10,存在t(0,1)使f(t)=0,x(0,t)时,f(x)0,当x=t时,f(x)min=f(t)=(t-2)et+a(t+2)2,由f(t)=0,即et(t-1)+2a(t+2)=0,-50-考向一考向二考向三考向四f(t)在(0,1)上递减,f(1)f(t)f(0),-ef(t)1或a-1时,令g(x)=0
19、,设x2-2ax+1=0的两根为x1和x2,因为x1为函数g(x)的极大值点,-53-考向一考向二考向三考向四所以0 x10,所以a0,0 x1h(1)=0,原题得证.解题心得将已知条件进行转换或将要解决的问题进行等价转换是解决函数问题的常用方法,通过转换变陌生问题为熟悉问题,从而得到解决.-55-考向一考向二考向三考向四(1)解当a=1,f(x)=e2x-4ex-2x,f(x)=2e2x-4ex-2,对点训练对点训练7(2017河北武邑中学一模,文21)设函数f(x)=e2x-4aex-2ax,g(x)=x2+5a2,aR.(1)若a=1,求f(x)的递增区间;(2)若f(x)在R上单调递增,求a的取值范围;-56-考向一考向二考向三考向四(2)解f(x)在R上单调递增,f(x)=2e2x-4aex-2a0在R上恒成立,a0.-57-考向一考向二考向三考向四(3)证明F(x)=e2x-4aex-2ax+x2+5a2=5a2-(4ex+2x)a+x2+e2x 设h(x)=ex-2x,则h(x)=ex-2,令h(x)0,得x0,得xln 2,则h(x)在(ln 2,+)单调递增;h(x)min=h(ln 2)=2-ln 20,