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1、多 媒 体 辅 助 教 学 课 件等差数列与等比数等差数列与等比数列列公式小结目的例题2021/8/9 星期一1等差数列与等比数列基本公式等差数列an-an-1=d(常数)an=a1+(n-1)da,A,b等差,则A=等比数列an/an-1=q(常数)an=a1qn-1a,G,b等比,则G2=abSn=na1 (q=1)Sn=2021/8/9 星期一2等差数列an,bn的性质:m+n=k+l,则am+an=ak+al;nk等差,则等差;kan+b等差;k1an+k2bn等差;a1+a2+.+an,an+1+an+2+.+a2n,a2n+1+a2n+2+.+a3n,.等差.an等差Sn=cn2+
2、bn (c0).2021/8/9 星期一3等比数列an,bn的性质:m+n=k+l(m,n,k,lN),则aman=akal;nk等差,则kan等比;k1ank2bn等比;a1+a2+.+an,an+1+an+2+.+a2n,a2n+1+a2n+2+.+a3n,.等比.公比qn;an等比Sn=c(qn-1)(c0)an等比且an0,则lgan等差;等比;2021/8/9 星期一4例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成等差数列,和是12,求此四个数.解法1:如图:a1,a2,a3,a4等比(a2)2=a1a3等差2a3=a2+a4已知:a1+a2+a3=19已知:a2+a3+a
3、4=12a1+a2+a3=19(a2)2=a1a3a2+a3+a4=122a3=a2+a4a1=9a2=6a3=4a4=2a1=25a2=-10a3=4a4=18或2021/8/9 星期一5例1:四个数,前三个成等比数列,它们的和是19;后三个成等差数列,和是12,求此四个数.如图:a1,a2,a3,a4解法2:a-d,a,a+d等差等比a1,a-d,a已知和为12=a-d+a+a+d=12已知三数和为19=或四数为:9,6,4,2或25,-10,4,18.192021/8/9 星期一6 为了便于解方程，应该充分分析条件的特征,尽量减少未知数的个数,用最少的未知数表达出数列的有关项的数量关系，
4、促使复杂的问题转化为较简单的问题，获得最佳的解决方法。归 纳 练习12021/8/9 星期一7练习11.已知等比数列an中,an0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=()(A)5 (B)10 (C)15 (D)202.数列an是等差数列,且S10=100,S100=10,则S110=()(A)88(B)-90 (C)110 (D)-1103.ABC的三内角成等差数列,三边成等比数列,则三内角的公差为 ()(A)0 (B)150 (C)300 (D)450AAA2021/8/9 星期一81.已知等比数列an中,an0,且a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=a2
5、a4=(a3)2a4a6=(a5)2原式=(a3+a5)2=25=a3+a5=5(an0)提示:2021/8/9 星期一92.数列an是等差数列,且S10=100,S100=10,则S110=()(A)88(B)-90 (C)110 (D)-110S10,S20-S10,S30-S20,.,S110-S100成等差数列,公差10d.解:(S20-S10)-S10=10d)S110-S100=S10+(11-1)10d=100+10(-11/5)=78 S110=78+S100=88=10d=-11/5S110-S100=S10+(11-1)10d2021/8/9 星期一103.ABC的三内角成
6、等差数列,三边成等比数列,则三内角的公差为()解:A+B+C=18002B=A+C,b2=ac B=600,A+C=1200由正弦定理得:(sin600)2=sinAsinC故 A=B=C,公差 d=0.2021/8/9 星期一11例2:已知数列an为等差数列,公差d0,an的部分项组成下列数列:恰好为等比数列,其中k10,k2=5,k3=17,求k1+k2+.+kn即得出新数列的公比:q=3 再由可解出kn,进而求出根据数列an是等差数列,通项可写作:an=a1+(n-1)d,可表示出:a1,a5=a1+4d,a17=a1+16d,再根据a1,a5,a17成等比数列,又可得:(a5)2=a1
7、a17,于是可解出d=(1/2)a1.将解出的d代入a1,a5,a17,分析:2021/8/9 星期一12例例2:2:已知数列已知数列aan n 为等差数列等差数列,公差公差d0,ad0,an n 的的部分部分项组成下列数列成下列数列:恰好恰好为等比数列等比数列,其中其中k k1 10,k0,k2 2=5,k=5,k3 3=17,=17,求求k k1 1+k+k2 2+.+k+.+kn n解解:an为等比数列为等比数列,设其首项为设其首项为a1,则则an=a1+(n-1)d故故(a1+4d)2=a1(a1+16d)(a1)2+8a1d+16d2=(a1)2+16a1d2021/8/9 星期一1
8、3例例2:2:已知数列已知数列aan n 为等差数列等差数列,公差公差d0,ad0,an n 的部的部分分项组成下列数列成下列数列:恰好恰好为等比数列等比数列,其中其中k k1 10,k0,k2 2=5,k=5,k3 3=17,=17,求求k k1 1+k+k2 2+.+k+.+kn n故故又又q=3,d=(1/2)a12021/8/9 星期一14归归 纳纳1.本本题是一个是一个综合型的等差、等比合型的等差、等比数列数列问题，在解，在解题过程中，分清那程中，分清那一步是用等差数列条件，那一步是一步是用等差数列条件，那一步是用等比数列条件是正确解用等比数列条件是正确解题的前提。的前提。2。仔。仔
9、细观察，找到两个数列序号察，找到两个数列序号间的的联系，是使系，是使问题得解的关得解的关键。练习练习22021/8/9 星期一15练习21.如果a,b,c成等差数列,而 a.c.b三数成等比数列,则a:b:c=_2.若数列1,2cos,22cos2,23cos3,.,前100项之和为0,则的值为 _ 1:1:1或4:1:(-2)2k(2/3)(kZ)2021/8/9 星期一161.如果a,b,c成等差数列,而 a.c.b三数成等比数列,则a:b:c=_a,b,c等差2b=a+cb=(a+c)/2a.c.b等比c2=ab代 入,得:c2=a(a+c)/2解得:a=c或 a=-2c1:1:1或4:
10、1:(-2)解:2021/8/9 星期一172.若数列1,2cos,22cos2,23cos3,.,前100项之和为0,则的值为 _解:经观察知,该数列是等比数列,首项为1,公比为2cos,它的前100项和:Cos=-1/2=2k(2/3),kZ.2021/8/9 星期一18例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p (2)证明an成等差数列分析:本题已知Sn,需求p及an,所以必须根据公式 求出 a1,an.因为条件中有a1a2,又可推测知:本题需同时求a1,a2,才可利用a1a2排除增根.故第一问的解答从计算a 1,a2开始:2021
11、/8/9 星期一19例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p (2)证明an成等差数列（1）令n=1，s1=pa1，因为S1=a1，故a1=pa1，a1=0或p=1若p=1，则由n=2时，S2=2a2，即a2+a2=2a2所以a1=a2，这与a1a2矛盾故p1所以a1=0，则由n=2，得a2=2pa2因为a10，a20，p=1/2解:2021/8/9 星期一20例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p (2)证明an成等差数列(2)根据已求得的p=1/2Sn=(1/2)nan,由
12、等差数列定义,满足an-an-1=d(常数)的数列是等差数列所以第一步求通项,第二步“作差”.证明:n2时,an=Sn-Sn-1=(1/2)nan-(1/2)(n-1)an-1解得:(2-n)an=(1-n)an-12021/8/9 星期一21例3.已知数列an中,a1a2,若存在常数p,使得对任意自然数n均有Sn=pnan成立.(1)求p (2)证明an成等差数列 由(1)可得a1=0a2-a1=a2练习32021/8/9 星期一22练习31.数列 则 是该数列的第_项.2.数列an对任意自然数n都满足 且a3=2,a7=4,则a15=_11162021/8/9 星期一23教学目的1。系统掌
13、握等差、等比数列定义与性质，灵活应用等差、等比数列的定义与性质。2。通过对问题的讨论，提高分析解决问题的能力。2021/8/9 星期一24小 结对等差等比综合问题1。要正确分清题目究竟是等差还是等比，不能混淆。2。掌握设元的技巧；3。要掌握分析数列问题的基本思想方法：抓两头，凑中间。2021/8/9 星期一25习题分析:6.三数成等比数列,若将第三数减去32,则成等差数列,若再将等差数列的第二个数减去4,又成等比数列,原来三个是:_.2021/8/9 星期一26习题分析:7.数列an各项均为正数,前n项和为An,数列bn的前n项和为Bn,且满足Bn=-n(n-1),bn=log2an,求An.2021/8/9 星期一27习题分析:8.已知等差数列an的首项a1=1,前n项和为145,求a2+a4+a8+.+2021/8/9 星期一28习题分析:9.设Sn是等差数列an的前n项和,已知(1/3)S3与(1/4)S4的等比中项为(1/5)S5,而(1/3)S3与(1/4)S5的等差中项为1,求等差数列an的通项.2021/8/9 星期一292021/8/9 星期一30