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1、2.2.1 双曲线及其标准双曲线及其标准方程方程 1.1.椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的2.引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的复习复习|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|0)如图如图(A)，|MF1|-|MF2|=常数常数如图如图(B)，上面上面 两条合起来叫做双曲线两条合起来叫做双曲线由由可得：可得：|MF1|-|MF2|=常数常数 （差的绝对值）差的绝对值）|MF2|-
2、|MF1|=常数常数双曲线在生活中双曲线在生活中 .两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点;|F1F2|=2c 焦距焦距.（1）2a0；双曲线定义双曲线定义思考：思考：（1）若）若2a=|F1F2|,则轨迹是？则轨迹是？（2）若）若2a|F1F2|,则轨迹是？则轨迹是？说明说明（3）若）若2a=0,则轨迹是？则轨迹是？|MF1|-|MF2|=2a(1)两条射线两条射线(2)不表示任何轨迹不表示任何轨迹(3)(3)(3)(3)线段线段线段线段F F F F1 1 1 1F F F F2 2 2 2的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线的垂直平分线如何建立适当的直角坐标系？如何建立适当的
3、直角坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴所在的直线作为坐标轴.).)探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxy方案一方案一Oxy(对称、对称、“简洁简洁”)Oxy方案二方案二F2F1MxOy求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程双曲线的标准方程1.1.建系建系.以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系2.2.设点设点设设M（x,y
4、）,则则F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1|-|MF2|=2a4.4.化简化简此即为此即为焦点在焦点在x轴上的轴上的双曲线双曲线的标准的标准方程方程F2F1MxOyOMF2F1xy若建系时若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴上呢?看看 前的系数，哪一个为正，前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上则在哪一个轴上2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系别与联系?1、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？、如何判断双曲线的焦点在哪个轴上？问题问题双曲线定义双曲线定义双曲线定义双曲线定义双曲线图象双曲线图象双曲线图象双曲线图象标准方程标准方程
5、标准方程标准方程焦点焦点焦点焦点a a.b b.c c 的关系的关系的关系的关系|MF1|-|MF2|=2a（2a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系双曲线与椭圆之间的区别与联系|MF1|MF2|=2a|MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）1.过双曲线过双曲线 的焦点且垂直的焦点且垂直x轴的弦的长度轴的弦的长度 为为 .2.y2-2x2=1的焦点为的焦点为 、焦距是、焦距是 .练习巩固练习巩固:3.方程方程(2+)x2+(1+)
6、y2=1表示双曲线的充要条表示双曲线的充要条件件 是是 .-2 680|AB|680m,所以爆炸点的所以爆炸点的轨迹是以轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的一支上处的一支上.例例3 3.(.(课本第课本第5454页例页例)已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m,在在A A地听到炮弹爆地听到炮弹爆炸声比在炸声比在B B地晚地晚2 2s,且声速为且声速为340340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹求炮弹爆炸点的轨迹方程方程.如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xO Oy,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为(x,y)，则则即即 2a=680，a=
7、340 xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为答答:再增设一个观测点再增设一个观测点C，利用，利用B、C（或（或A、C）两处）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置准确位置.这是双曲线的一个重要应用这是双曲线的一个重要应用.例例2 2:如果方程如果方程 表示双曲表示双曲线，求线，求m的取值范围的取值范围.解解:方程方程 可以表示哪些曲线？可以表示哪些曲线？_.思考：思考：例例2【名名师师点点评评】双双曲曲线线的的
8、定定义义是是解解决决与与双双曲曲线线有有关关的的问问题题的的主主要要依依据据，在在应应用用时时，一一是是注注意意条条件件|PF1|PF2|2a(02a|F1F2|)的的使使用用，二二是是注注意意与与三三角角形形知知识识相相结结合合，经经常常利利用用正正、余余弦弦定定理理，同同时时要要注注意意整整体体运运算算思思想想的的应应用用跟踪训练跟踪训练方法感悟方法感悟1对双曲线定义的理解对双曲线定义的理解双双曲曲线线定定义义中中|PF1|PF2|2a(2a|F1F2|)，不不要要漏漏了了绝绝对对值符号，当值符号，当2a|F1F2|时表示两条射线时表示两条射线解解题题时时，也也要要注注意意“绝绝对对值值”
9、这这一一个个条条件件，若若去去掉掉定定义义中中的的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支2双曲线方程的求法双曲线方程的求法求求双双曲曲线线的的标标准准方方程程包包括括“定定位位”和和“定定量量”“定定位位”是是指指除除了了中中心心在在原原点点之之外外，判判断断焦焦点点在在哪哪个个坐坐标标轴轴上上，以以便便使使方方程程的的右右边边为为1时时，确确定定方方程程的的左左边边哪哪一一项项为为正正，哪哪一一项项为为负负，“定定量量”是是指指确确定定a2，b2的的值值，即即根根据据条条件件列列出出关关于于a2和和b2的的方方程程组组，解解得得a2和和b2的的具具体体数数值值后后，再再
10、按按位位置置特特征征写写出出标标准方程准方程精彩推荐典例展示精彩推荐典例展示易错警示易错警示 双曲线定义运用中的误区双曲线定义运用中的误区例例【常常见见错错误误】(1)利利用用双双曲曲线线定定义义|PF1|PF2|8求求|PF2|时时，易忽略绝对值号，而错选易忽略绝对值号，而错选A.(2)根根据据双双曲曲线线的的定定义义可可得得到到答答案案C，但但由由于于双双曲曲线线上上的的点点到到双双曲曲线线焦焦点点的的最最小小距距离离是是ca642，而而|PF2|12，不不合合题题意意，所所以以应应该该舍舍去去，造造成成错错误误的的原原因因是是忽忽略略双双曲曲线线的的相关性质，没有检验相关性质，没有检验|
11、PF1|PF2|10|F1F2|造成的造成的【解析解析】双曲线的实轴长为双曲线的实轴长为8，由双曲线的定义得，由双曲线的定义得|PF1|PF2|8，所以所以|9|PF2|8，所以所以|PF2|1或或17.因为因为|F1F2|12，当，当|PF2|1时，时，|PF1|PF2|10|F1F2|，不符合公理不符合公理“两点之间线段最短两点之间线段最短”，应舍去，应舍去所以所以|PF2|17.【答案答案】B【失失误误防防范范】运运用用双双曲曲线线的的定定义义解解决决相相关关问问题题时时，(1)不不能能忽忽略略“绝绝对对值值”号号，以以免免造造成成漏漏解解，(2)求求出出解解后后，要要注注意意检检验验根根的合理性，以免出现增根的合理性，以免出现增根跟踪训练跟踪训练