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1、2.2平面向量的线性运算2.2.1向量加法运算及其几何意义1.向量的加法(1)定义:求_的运算,叫做向量的加法.(2)法则:按照_法则或_法则进行.(3)规定:对于零向量与任意向量a,我们规定a+0=_=a.(4)结论:|a+b|_|a|+|b|.2.向量加法的运算律(1)交换律:a+b=_.(2)结合律:(a+b)+c=_.两个向量和三角形平行四边形0+ab+aa+(b+c)1.判一判(正确的打“”,错误的打“”)(1)两个向量相加,所得结果有可能是一个数量.()(2)两个向量相加就是两个向量的模相加.()(3)向量的加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加.()2.做一做(请把正确的答案写
2、在横线上)(1)矩形ABCD中,=.(2)若a与b同向,则|a+b|=.(3)=.知识点1 向量的加法1.向量的和及其物理背景两向量的和仍是一个向量.向量的加法就是求两个向量和的运算,是物理学中位移、力的合成等在数学运算中的抽象概括.2.三角形法则和平行四边形法则三角形法则三角形法则平行四边形法则平行四边形法则物理模型物理模型位移的合成位移的合成力的合成力的合成使用条件使用条件任意两个非零向量任意两个非零向量任意两个不共线的向量任意两个不共线的向量简记简记首尾相连首尾相连,始终连线始终连线共起点共起点,为邻边为邻边,平行四平行四边形共起点的对角线边形共起点的对角线3.对|a|-|b|a+b|a
3、|+|b|成立的说明(1)当a,b有一个为零向量时,不等式显然成立.(2)当a,b不共线时,作 =a,=b,则a+b=,如图所示,根据三角形边长关系,有|a|-|b|a+b|b|.作 =a,=b,则a+b=,如图所示,此时|a+b|=|a|-|b|.同理可证|a|b|,a+b与a同向,且|a+b|=|a|-|b|;b+a与a同向,且|b+a|=|a|-|b|,故a+b=b+a.2.向量加法的结合律在图(2)中,=a+b,=b+c,所以 =(a+b)+c,=a+(b+c),从而(a+b)+c=a+(b+c).即向量加法满足结合律.3.向量加法运算律的推广向量加法的交换律和结合律对多个向量仍然成立
4、,恰当地使用运算律可以实现简化运算的目的.如在进行多个向量的加法运算时,可以按照任意的次序和任意的组合进行.如(a+b)+(c+d)=(a+d)+(b+c).【微思考】(1)向量加法的交换律中向量b可以是零向量吗?提示:可以.若b=0,则a+0=0+a=a.(2)试举例说明向量加法的运算律是如何简化运算的?提示:用交换律、结合律可以将多个向量相加转化为首尾相接的形式,实现简化运算.如【即时练】1.化简后等于 ()2.在平行四边形ABCD中,=.【解析】1.选B.因为2.答案:【题型示范】类型一 向量的加法及运算律【典例1】(1)设a=b是任一非零向量,则在下列结论中,ab;a+b=a;a+b=
5、b;|a+b|a|+|b|;|a+b|=|a|+|b|.其中正确的序号为.(2)如图,已知向量a,b,c,求作向量a+b或a+b+c.【解题探究】1.题(1)中在判断向量a与向量b的关系时应先对向量a如何处理?2.题(2)中的两向量相加可用哪种方法进行?中的向量a与向量b有何关系?【探究提示】1.先化简向量a,再依据向量平行、向量加法及|a+b|与|a|+|b|的关系解答.2.中的两向量相加可用三角形法则或平行四边形法则进行.中的向量a与向量b是共线向量.【自主解答】(1)因为=0,所以a=0,所以0b,正确;0+b=b,正确;|0+b|=|b|+|0|,正确.答案:(2)方法一:在平面内任意
6、取一点O,作=a,=b,则=a+b(如图1).方法二:在平面内任意取一点O,以OA,OB为邻边作OACB,且=a,=b,连接OC,则=a+b(如图2).在平面内任意取一点O(如图3),作=a,=b,=c,则=a+b+c.【延伸探究】若在题(1)的序号中添加上“|a|0,故正确.答案:【方法技巧】向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义:向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据,实现恰当利用向量加法法则运算的目的.实际上,由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行.(2)应用原则:利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加
7、法的结合律调整向量相加的顺序.【变式训练】1.下列结论正确的是()A.如果非零向量a,b的方向相反或相同,那么a+b的方向必与a,b之一的方向相同B.若 =0,则A,B,C为三角形的三个顶点C.设a0,若a(a+b),则abD.若|a+b|=|a|-|b|,则b=0【解题指南】对于选项B,要考虑三点是否共线,三点共线则构不成三角形.【解析】选C.A错误,因为a+b有可能为0,若a+b为0,则方向是任意的,可以与a,b的方向都不相同;B错误,=0,则A,B,C三点可以共线,无法构成三角形;C正确,a0,当b=0时,显然有ab;当b0时,若a,b不共线,则a+b与a的方向既不相同也不相反,与a(a
8、+b)不符;D错误,若|a+b|=|a|-|b|,则有可能a,b反向,且|a|b|,b0.2.已知梯形ABCD,ADBC,O为对角线交点,则 =.【解析】答案:【补偿训练】如图,在平行四边形ABCD中,(1)=;(2)=;(3)=;【解析】(1)(2)(3)答案:(1)(2)(3)类型二 向量加法的实际应用【典例2】(1)若a表示向东走8 km,b表示向北走8 km,则|a+b|=km,a+b的方向是.(2)一航船以5 km/h的速度向垂直于对岸方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30角,求水流速度和船实际航行的速度.【解题探究】1.题(1)中的长度及方向可借助什么来求?2.题(2)中求水流
9、速度及船实际航行的速度可用向量加法的什么法则?【探究提示】1.借助直角三角形求解.2.用加法的平行四边形法则.【自主解答】(1)设=a,=b,则 =a+b.又因为|=8,|=8,所以|=|a+b|=8 .又因为AOC=45,所以a+b的方向是北偏东45.答案:8北偏东45(2)如图所示,表示水流速度,表示船垂直于对岸的方向行驶的速度,表示船实际航行的速度,AOC=30,|=5.因为四边形OACB为矩形,所以故水流的速度为5 km/h,船实际航行的速度为10 km/h.【方法技巧】应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤(1)表示:用向量表示有关量,将所要解答的问题转化为向量问题.(2)运算:
10、应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则,将相关向量进行运算,解答向量问题.(3)还原:根据向量的运算结果,结合向量共线、相等等概念回答原问题.【变式训练】作用在同一物体上的两个力,|F1|=60 N,|F2|=80 N,当它们的夹角为90时,则这两个力的合力为N.【解题指南】求这两个力的合力就是求向量F1+F2.因为以F1和F2为邻边作的平行四边形是矩形,由此可利用勾股定理求矩形的对角线的长,即合力的大小.【解析】如图所示,表示力F1,表示力F2,以OA,OB为邻边作OACB,则是F1和F2的合力.在OAC中,|=60,|=|=80且OAAC,则|=100(N),即合力的大小为100 N.答
11、案:100【补偿训练】1.一艘船从A点出发以v1的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为v2,船实际航行的速度的大小为4 km/h,方向与水流间的夹角是60,求v1和v2的大小.【解析】由题意,得|v1|=4sin 60=2 (km/h),|v2|=4cos 60=2(km/h).2.如图所示,在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线和反向延长线上取点F,E,使BE=DF.求证:四边形AECF是平行四边形.【证明】因为四边形ABCD是平行四边形,所以因为BE=DF,且与的方向相同,所以所以即AE与FC平行且相等,所以四边形AECF是平行四边形.【易错误区】未能理解向量的加法而致误【典例】
12、小船以10 k m/h的静水速度按垂直于对岸的方向行驶,同时河水的流速为10 km/h,则小船实际航行速度的大小为km/h.【解析】如图,设船在静水中的速度为|v1|=10 km/h,河水的流速为|v2|=10 km/h,小船实际航行速度为v0,则由|v1|2+|v2|2=|v0|2,得(10 )2+102=|v0|2,所以|v0|=20 km/h,即小船实际航行速度的大小为20 km/h.答案:20【常见误区】错解解错因剖析因剖析10 +10误将船的将船的实际速度看成静水速加河水的流速速度看成静水速加河水的流速没有得出阴影没有得出阴影处关系式而致关系式而致误【防范措施】1.深入理解向量的和向
13、量的和一般不能直接用模作和,要注意向量的方向的合成,如本例中用两个速度不能直接作和.2.理解三种速度间的关系船在静水中的航行速度,水流的速度,船实际的航行速度三者间当航行方向与水流方向不共线时不能直接求实际航行速度,如本例中两个方向垂直,利用勾股定理求速度的大小.【类题试解】一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船的实际航程为km.【解析】由题意,如图,表示水流速度,表示船在静水中的速度,则 表示船的实际速度.则|=2,|=4,AOB=120,则CBO=60,又因为AOC=BCO=90,所以|=2 ,所以船的实际航行速度为2 km/h,则实际航程为2 3=6 (km).答案:6