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1、第二章 平面向量2.1从位移、速度、力到向量1.1.老鼠由老鼠由A A向西北逃窜，猫在向西北逃窜，猫在B B处向东追去处向东追去.猫能否猫能否追到老鼠？追到老鼠？AB不能不能.猫的速度再快也没用猫的速度再快也没用,因为方向错了因为方向错了.速度是既有大小又有方向的量速度是既有大小又有方向的量.北东北京北京广州广州上海上海哈尔滨哈尔滨重庆重庆2.2.民航每天都有从北京飞往重庆、民航每天都有从北京飞往重庆、广州、上海、哈尔滨等地的航班广州、上海、哈尔滨等地的航班.每次飞行都是民航客机的一次位每次飞行都是民航客机的一次位移移.由于飞行的距离和方向由于飞行的距离和方向各不相同各不相同,因此因此,它们是
2、它们是不同的位移不同的位移.位移既有大小又有方向位移既有大小又有方向.3.3.假如学校位于你家东偏北假如学校位于你家东偏北3030方向，距离你家方向，距离你家2 000 m.2 000 m.从家到学校，可能有长短不同的几条路从家到学校，可能有长短不同的几条路.无论走哪条路，你的位移都是向东偏北无论走哪条路，你的位移都是向东偏北3030方向方向移动了移动了2 000 m.2 000 m.家家学校学校北北东东304.4.飞机向东北飞行了飞机向东北飞行了150km,150km,飞行时间为半小时飞行时间为半小时,飞飞行的速度为多少行的速度为多少?大小是大小是300km/h,300km/h,方向是东北方
3、向是东北.东北5.5.某著名运动员投掷标枪时，标枪的初始速度的记某著名运动员投掷标枪时，标枪的初始速度的记录资料是：平均出手角度录资料是：平均出手角度=43.242=43.242，平均出手速，平均出手速度大小为度大小为v=28.35 v=28.35 m/sm/s.6.6.起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力起重机吊装物体时，物体既受到竖直向下的重力作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用作用，同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用.当当拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起拉力的大小超过重力的大小时，物体即被吊起.G GF F思考思考：物理中，既有大小又有方向的量，叫作什物理中，既有大
4、小又有方向的量，叫作什么？在数学中，既有大小又有方向的量又叫作什么？在数学中，既有大小又有方向的量又叫作什么呢么呢?提示：提示：矢量，向量矢量，向量.1.1.理解理解向量、零向量、单位向量、相等向量的定义，向量、零向量、单位向量、相等向量的定义，并能用数学符号表示向量并能用数学符号表示向量.(重点重点)2.2.理解向量的几何表示，并理解向量的几何表示，并会用字母表示向量会用字母表示向量.（重点）（重点）3.3.掌握向量的模、相等向量、平行（共线）向量的掌握向量的模、相等向量、平行（共线）向量的概念，并能在图形中辨认相等向量、平行（共线）概念，并能在图形中辨认相等向量、平行（共线）向量向量.（难
5、点）（难点）既有大小既有大小,又有方向的量统称为向量又有方向的量统称为向量.问题问题1.1.现实生活中有哪些量既有大小又有方向？现实生活中有哪些量既有大小又有方向？提示：提示：力、加速度、动量、电场强度等力、加速度、动量、电场强度等.问题问题2.2.哪些量只有大小没有方向？哪些量只有大小没有方向？提示：提示：距离、身高、质量、时间、面积等距离、身高、质量、时间、面积等.探究点探究点1 1 向量的概念向量的概念 注意：注意：数量与向量的区别数量与向量的区别1.1.数量数量只有大小，是一个数，可以进行代数运算、只有大小，是一个数，可以进行代数运算、能比较大小能比较大小.2.2.向量向量不仅有大小还
6、有方向，具有双重性，不仅有大小还有方向，具有双重性，不能比较大小不能比较大小.有向线段有向线段具有方向和长度的线段具有方向和长度的线段_长度表示向量的大小，长度表示向量的大小，_所指的方向表示向量的方向所指的方向表示向量的方向.探究点探究点2 2 向量的表示方法向量的表示方法1.1.几何表示法：几何表示法：有向线段有向线段如图：以如图：以A A为起点、为起点、B B为终点的有向线段记作为终点的有向线段记作 回顾物理中表示位移、速度、力的回顾物理中表示位移、速度、力的方法，思考向量可以用什么表示？方法，思考向量可以用什么表示？FGA起点起点B终点终点有向线段的有向线段的箭头箭头2.2.字母表示法
7、：字母表示法：用用 等小写字母表示等小写字母表示.提提示示：有有区区别别：矢矢量量一一般般是是指指物物理理中中的的既既有有大大小小又又有有方方向向的的量量，与与起起点点位位置置有有关关.而而在在数数学学中中我我们们研研究究的的是是仅仅由由大大小小和和方方向向确确定定，与与起起点点位位置置无无关关的的向向量量，也也称称为为自自由向量由向量想一想：想一想：矢量和向量都是既有大小又有方向的量，都矢量和向量都是既有大小又有方向的量，都 可以用有向线段表示，是不是就可以说这二者可以用有向线段表示，是不是就可以说这二者 是相同的呢？是相同的呢？探究点探究点3 3 向量的模向量的模问题：问题：长度为长度为0
8、 0的向量是什么样的向量？长度为的向量是什么样的向量？长度为1 1的向量呢？的向量呢？向量向量 (或或 )的大小，即长度（也称模）的大小，即长度（也称模）.注注:零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的零向量，单位向量都是只限制大小，不确定方向的.提示：提示：零向量：长度为零的向量，记为零向量：长度为零的向量，记为 ；方向任意；方向任意.单位向量：长度为单位单位向量：长度为单位1 1的向量的向量.0r记作：记作：或（或（|).|).思考：思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？它们终点的轨迹是什么图形？提示：提示：如图
9、如图,轨迹是以轨迹是以O为圆心为圆心,半径为半径为1 1的圆的圆(单位圆单位圆).).o ox xy y探究点探究点4 4 向量平行与相等向量向量平行与相等向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线合，则称这两个向量平行或共线.1.1.向量平行向量平行 如：如：记作：记作：规定：规定：零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行.即对于任意向量即对于任意向量 ，都有都有长度相等长度相等且且方向相同方向相同的向量，叫作的向量，叫作相等向量相等向量.规定规定:零向量与零向量相等零向量与零向量相等.2.2.相等向量相等向量想一
10、想：想一想：1.1.相等向量一定平行吗相等向量一定平行吗?2.2.平行的向量一定是相等向量吗平行的向量一定是相等向量吗?是是不是不是若向量若向量 与与 相等，记作：相等，记作：ab思考思考1 1 共线向量和相等向量有什么关系？共线向量和相等向量有什么关系？提示提示:共线向量不一定是相等向量；相等向量一定共线向量不一定是相等向量；相等向量一定 是共线向量是共线向量.思考思考2 2 若两个向量在同一直线上，则这两个向量若两个向量在同一直线上，则这两个向量 有什么关系？有什么关系？提示提示:平行平行.（2 2）在以在以A，B，C，D，E，F为起点或终点的向量中，与为起点或终点的向量中，与向量向量 共
11、线的向量有：共线的向量有：例例.如图，如图，D,E,FD,E,F依次是等边三角形依次是等边三角形ABCABC的边的边AB,BC,ACAB,BC,AC的中的中点，在以点，在以A,B,C,D,E,FA,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中，为起点或终点的向量中，（1 1）找出与向量）找出与向量 相等的向量相等的向量.（2 2）找出与向量）找出与向量 共线的向量共线的向量.A AB BC CD DE EF F解：解：由三角形中位线定理不难得到：由三角形中位线定理不难得到：（1 1）在以在以A，B，C，D，E，F为起点为起点或终点的向量中，与向量或终点的向量中，与向量 相等的向量有：相等的向量有：1
12、111个个变式练习变式练习 如图，设如图，设O是正六边形是正六边形ABCDEFABCDEF的中心，的中心，（1 1）写出图中与向量）写出图中与向量 相等的向量相等的向量.（3 3）是是否否存存在在与与向向量量 长长度度相相等等，方方向向相相反反的的向向量？量？存在，为存在，为（4 4）与向量）与向量 长度相等且共线的向量有哪些？长度相等且共线的向量有哪些？（2 2）与与向向量量 长长度度相相等等的的向向量量有有多多少少 个？个？1.1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.向量向量 与与 是共线向量，则是共线向量，则A A,B B,C C,D D
13、 四点四点必在一直线上；必在一直线上；单位向量都相等；单位向量都相等；任一向量与它的相反向量任一向量与它的相反向量(长度相同长度相同,方向相反的向方向相反的向量量)不相等；不相等；共线的向量，若起点不同，则终点一定不同共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.()()()()2.2.设设O O是正方形是正方形ABCDABCD的中心，向量的中心，向量 是是 ()A.A.平行向量平行向量 B.B.有相同终点的向量有相同终点的向量 C.C.相等向量相等向量 D.D.模相等的向量模相等的向量D D3 332 22 23.3.右图中的向量是什么关系右图中的向量是什么关系?说明：说明：任意两个非零相等向量可
14、用任意两个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关向线段的起点无关.解析：解析：相等的有相等的有7 7个个.长度相等且共线长度相等且共线的有的有1515个个.B BA A4.4.在在4 45 5的方格纸中有一个向量的方格纸中有一个向量 ，以图中的格点为起，以图中的格点为起点和终点作向量，其中与点和终点作向量，其中与 相等的向量有多少个？与相等的向量有多少个？与 长度相等且共线的向量有多少个长度相等且共线的向量有多少个?（除外）除外）单位向量单位向量 概念概念表示方法表示方法关系关系 平行向量平行向量相等向量相等向量向量向量零向量零向量当你还不能对自己说今天学到了什么东西时，你就不要去睡觉.利希顿堡