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1、1.4三角函数的图象与性质1.4.1正弦函数、余弦函数的图象正弦函数、余弦函数的图象函数函数y=sin xy=sin xy=y=coscos x x图象象图象画法象画法“五点法五点法”“五点法五点法”关关键五点五点(0(0，0)0)，_，(，0)0)，_ _，(2(2，0)0)(0(0，1)1)，_ _，(，-1)-1)，_ _，(2(2，1)1)1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1)正弦函数y=sin x的定义域为0,2.()(2)利用正弦线能够作出正弦函数的图象.()(3)作正弦函数图象时，角的大小必须用角度制来度量.()(4)函数y=sin x，x2k,2k+2，kZ且k0的图象
2、与函数y=sin x，x0,2的图象形状完全一致.()【解析】(1)错误.正弦函数y=sin x的定义域为R.(2)正确.利用单位圆，把圆分成若干等份，通过平移正弦线而得到正弦函数的图象.(3)错误.角的大小要用弧度制来度量，目的是为了使自变量与函数值都为实数.(4)正确.因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y=sin x，x2k,2k+2，kZ且k0的图象与函数y=sin x，x0,2的图象形状完全一致.答案：(1)(2)(3)(4)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)用“五点法”画出y=2sin x在0,2内的图象时，应取的五个点为_.(2)函数y=sin x，x0,2的图
3、象与直线 的 交点有_个.(3)当x0,2时，sin x0的解集是_.【解析】(1)可结合函数y=sin x的五个关键点寻找，即把相应的五个关键点的纵坐标变为原来的2倍即可,五个点分别为(0，0)，答案：(0,0)，(2)如图所示：由图可知有2个交点.答案：2(3)由正弦函数y=sin x，x0,2的图象可知，sin x0的解集是x|x2.答案：x|x2【要点探究】知 识 点 正弦函数与余弦函数的图象1.函数y=sin x，x0,2与y=sin x，xR的图象的关系(1)函数y=sin x，x0,2的图象是函数y=sin x，xR的图象的一部分.(2)因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函
4、数y=sin x，x2k,2(k+1)，kZ且k0的图象与函数y=sin x，x0,2的图象形状完全一致，因此将y=sin x，x0,2的图象向左、向右平行移动(每次移动2个单位长度)，就可得到函数y=sin x，xR的图象.2.“几何法”和“五点法”画正、余弦函数图象的优缺点(1)“几何法”就是利用单位圆中正弦线和余弦线作出正、余弦函数图象的方法.该方法作图较精确,但较为烦琐.(2)“五点法”是画三角函数图象的基本方法,在要求精度不高的情况下常用此法.【微思考】(1)利用“五点法”作正、余弦函数图象的关键是什么？提示：用“五点法”作图的关键是抓住三角函数的最值点以及与x轴的交点.(2)画正弦
5、曲线时的注意点是什么？提示：为了使自变量与函数值都为实数，角的大小要用弧度制来度量，同时两个坐标轴上所取的单位长度需相同，否则所作曲线的形状将有偏差.【即时练】1.点 在函数y=sin x的图象上,则a的值为()【解析】选A.点在函数y=sin x的图象上,故2.下面的叙述：y=sin x,x0,2的图象关于点P(,0)成中心对称；y=cos x，x0,2的图象关于直线x=成轴对称；正、余弦函数的图象不超过直线y=1和y=1所夹的范围.其中正确的序号为_.【解析】分别画出函数y=sin x,x0,2和y=cos x，x0,2的图象,由图象观察可知均正确.答案：【题型示范】类型一 “五点法”作三
6、角函数图象【典例1】(1)(2014嘉兴高一检测)函数y=1cos x,x0,2的大致图象为()(2)(2014上饶高一检测)用“五点法”画出y=sin x+2,x0,2的简图.【解题探究】1.题(1)中若在0,2找特殊值验证，x最好取哪个值？2.题(2)中x应取哪五个值？【探究提示】1.当x=时，此时y=2，即函数图象过点(，2).2.x应取的五个值为【自主解答】(1)选D.由特殊点验证，因为y=1cos x,x0,2过点(,2)，所以选D.(2)列表：描点：在坐标系内描出点x02y=sin x+223212作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来(实线)【方法技巧】用“五点法”作图的步骤作
7、形如y=asin x+b(或y=acos x+b)，x 0,2的图象时，可由“五点法”作出，其步骤如下：(1)列表.取(2)描点.(3)连线.用平滑的曲线将各点连接成图.【变式训练】(2014泉州高一检测)用“五点法”画出 x0,2的简图.【解析】由诱导公式得方法一：(1)列表：(2)描点：在坐标系内描出点x02y=-sin x0-1010(3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来(实线).方法二：由y=sin x的图象与y=sin x的图象关于x轴对称，也可以画出.图象如方法一所示.【误区警示】此题利用诱导公式化简时易发生=sin x的符号错误.【补偿训练】用“五点法”作出y=1+cos
8、 x(0 x2)的简图.【解析】(1)列表：(2)描点.在直角坐标系中描出五点(0,2)，(，0)，(2，2).x021+cos x21012(3)作图.将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来，就得到y=1+cos x(0 x2)的图象如图：类型二 正弦、余弦函数图象的应用【典例2】(1)(2014怀化高一检测)函数y=cos x，x0,2的图象与函数y=1的图象的交点个数是()A.1 B.2 C.3 D.4(2)(2014武汉高一检测)求 的定义域.【解题探究】1.题(1)中判断函数y=cos x，x0,2的图象与函数y=1的图象的交点个数可以用什么方法？2.题(2)中要使函数有意义，2sin
9、x1应满足什么条件？【探究提示】1.可以用数形结合的方法，画出函数y=cos x，x0,2的图象，以及y=1，观察交点个数即可.2.2sin x-1满足大于等于零即可.【自主解答】(1)选B.画出y=cos x,x0,2及y=1的图象：由图象知，共有2个交点.(2)方法一：由2sin x10，得sin x 画出y=sin x的图象，可知sin x 的解集方法二：由2sin x-10,得用三角函数线表示，如图：则解集是【方法技巧】1.用三角函数的图象解sin xa(或cos xa)的方法(1)作出直线y=a，作出y=sin x(或y=cos x)的图象.(2)确定sin x=a(或cos x=a
10、)的x值.(3)确定sin xa(或cos xa)的解集.2.利用三角函数线解sin xa(或cos xa)的方法(1)找出使sin x=a(或cos x=a)的两个x值的终边所在的位置.(2)根据变化趋势，确定不等式的解集.【变式训练】若sin x=2m+1且xR,则m的取值范围是_.【解析】由正弦函数图象得-1sin x1,所以-12m+11，所以m-1,0.答案：-1,0【补偿训练】当x0,2时，cos x0的解集是_.【解析】由y=cos x(0 x2)的图象知，cos x0的解集是答案：【易错误区】作图象时忽视函数的定义域致误【典例】(2014信阳高一检测)函数 的图象应为()【解析
11、】选B.由tan x0，得xk，kZ，又因为所以此时有其图象如图所示：【常见误区】错解解错因剖析因剖析选A若在若在处没有考没有考虑到到该函数的定函数的定义域，域，导致致处把不把不符合要求的点都画出的符合要求的点都画出的错误.而而错选A选C在解答在解答过程中，混淆了程中，混淆了y=sin x与与y=cos x的的图象的区象的区别，造成，造成选C的的错误【防范措施】1.明确函数的定义域在作函数图象时，如果需要先对函数式化简，应特别注意函数的定义域，使化简前后等价，不能使定义域变小或扩大.如本例对的化简，要关注tan x0,即xk，kZ,另外关注tan x有意义，即2.准确画图象画出的函数图象应注意与定义域对应，不在定义域内的点应用空心圈画出.如本例中不符合条件的点用空心圈标出.【类题试解】函数ycos x|cos x|,x0,2的大致图象为()【解析】选D.ycos x|cos x|故选D.