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1、1.2.2三角形中的几何计算1-2341.正弦定理在ABC中,有 .(其中R是ABC外接圆的半径)2.三角形的面积公式 1-2343.余弦定理在ABC中,任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.定理公式:a2=b2+c2-2bccos A,b2=a2+c2-2accos B,c2=a2+b2-2abcos C.1-2344.余弦定理的推论 1-234名师点拨在ABC中,边、角之间的关系有以下常用结论:a+bc,b+ca,c+ab.a-bc,b-ca,a-cbABsin Asin B.a=bA=B.A为锐角cos A0a2b2+c2;A为钝角cos Ab2+c
2、2;A为直角cos A=0a2=b2+c2.sin(A+B)=sin C,cos(A+B)=-cos C.1-234练一练1已知ABC中,a=6,b=4,C=30,则SABC的值为()答案:A1-234探究一探究二探究三探究四探究一三角形面积的计算探究一三角形面积的计算1.求三角形的面积时,应先根据题目给出的已知条件选择最简便、最快捷的计算方法,这样不仅能减少一些不必要的计算,还能使计算结果更加接近真实值.2.事实上,在众多公式中,最常用的公式是 即给出三角形的两边和夹角(其中某边或角需求解)求三角形面积.反过来,给出三角形的面积,利用上述公式也可求得相应的边或角,应熟练应用此公式.3.与三角
3、形面积有关的问题,常结合正弦定理、余弦定理,解题的关键是确定各元素之间的关系,灵活运用公式.探究一探究二探究三探究四典型例题1在ABC中,A,B,C的对边分别是a,b,c,且 ,求:(1)角B的大小;(2)若b=,a+c=4,求ABC的面积.思路分析:先由余弦定理求出B,再利用余弦定理求出ac,最后利用面积公式求出ABC的面积.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四方法总结在解三角形问题中,若题目中涉及面积、两边的平方和或差、两边的和或差时,常结合余弦定理解答.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究二计算线段的长度探究二计算线段的长度三角形中与长
4、度有关问题的求解策略及关键(1)策略:解决三角形中与长度有关的问题,若在一个三角形中,则直接利用正、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦定理求解.(2)关键:解决三角形中与长度有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中哪些元素已知,还需要求出哪些元素,灵活应用正、余弦定理来解决.探究一探究二探究三探究四典型例题2如图,在ABC中,已知点D在边BC上,ADAC,sinBAC=,AB=3,AD=3 ,则BD的长为.思路分析:解答本题只需求出BAD的余弦值即可.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四变式训练2如图,在ABC中
5、,AB=AC=2,BC=2 ,点D在边BC上,ADC=45,则AD的长度等于.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究三三角形中的证明问题探究三三角形中的证明问题1.解决三角形中的证明问题的方法类似于三角恒等式的证明,解题中要注意灵活运用正、余弦定理,将边角关系进行统一,使之转化为三角恒等式的证明,或转化为关于a,b,c的代数恒等式的证明.探究一探究二探究三探究四2.证明中,常用的结论:(2)在三角形中,大边对大角,反之亦然;(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边;(4)三角形内角的诱导公式:探究一探究二探究三探究四典型例题3在ABC中,角A,B,C的对应边分别为a,
6、b,c.思路分析:解答本题可通过正弦定理、余弦定理化边为角或化角为边,即可证明.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四变式训练3在ABC中,已知 .求证:B=C.证明:在ABC中,由正弦定理及已知,得 ,sin Bcos C-cos Bsin C=0,即sin(B-C)=0.-B-C,B-C=0.B=C.探究一探究二探究三探究四探究四三角形中的综合问题探究四三角形中的综合问题三角形中的综合问题常涉及正弦定理和余弦定理、三角函数、向量等知识的综合应用.因此,解题时要注意:(1)合理运用正、余弦定理对边角关系进行转换.(2)合理应用三角恒等变形.(3)注意函数、方
7、程思想的应用.探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四探究一探究二探究三探究四规律总结向量与三角函数、解三角形的结合已成为高考的热点,主要形式是以向量的运算为载体给出题目的条件.解题的关键是把向量问题转化为三角形中的边角关系,然后再利用相关知识进行解决.探究一探究二探究三探究四变式训练4在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足(1)求ABC的面积;(2)若b+c=6,求边a的长.探究一探究二探究三探究四1 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 51 2 3 4 55.如图,在四边形ABCD中,已知ADCD,AD=10,AB=14,BDA=60,BCD=135.求BC的长.1 2 3 4 5解:在ABD中,设BD=x,则BA2=BD2+AD2-2BDADcosBDA,即142=x2+102-210 xcos 60,整理得x2-10 x-96=0,解得x1=16,x2=-6(舍去).在BDC中,由正弦定理,