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1、1.1.3 四种命题间的相互关系四种命题间的相互关系回顾回顾逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题交换原命题的条件和结论，所得的命题是交换原命题的条件和结论，所得的命题是_.同时否定原命题的条件和结论，所得的命同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是题是_.交换原命题的条件和结论，并且同时否交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是定，所得的命题是_.原命题原命题,逆命题逆命题,否命题否命题,逆否命题逆否命题四种命题形式四种命题形式:原命题原命题:逆命题逆命题:否命题否命题:逆否命题逆否命题:若若 p,p,则则 q q 若若 q q,则则 p p若若p p,则则q q若若q,q,则则
2、p p观察与思考观察与思考？你能说出其中任意你能说出其中任意两个命题之间的关两个命题之间的关系吗系吗?课课 堂堂 小小 结结原命题原命题若若p则则q逆命题逆命题若若q则则p否命题否命题若若 p则则 q逆否命题逆否命题若若 q则则p互为逆否互为逆否 同同真真同同假假互为逆否互为逆否 同同真真同同假假互逆命题互逆命题 真假真假无关无关互逆命题互逆命题 真假真假无关无关互互否否命命题题真真假假无无关关互互否否命命题题真真假假无无关关2）原命题：若）原命题：若a=0,则则ab=0.逆命题：若逆命题：若ab=0,则则a=0.否命题：若否命题：若a 0,则则ab0.逆否命题：若逆否命题：若ab0,则则a0
3、.(真真)(假假)(假假)(真真)(真真)四种命题的真假四种命题的真假看下面的例子：看下面的例子：1）原命题：若）原命题：若x=2或或x=3,则则x2-5x+6=0.逆命题：若逆命题：若x2-5x+6=0,则则x=2或或x=3.否命题：若否命题：若x2且且x3,则则x2-5x+60.逆否命题：若逆否命题：若x2-5x+60，则，则x2且且x3.(真真)(真真)(真真)3）原命题：若）原命题：若xAB，则，则x U A UB.逆命题：逆命题：若x UA UB，则xAB.否命题：否命题：若xAB，则x UA UB.逆否命题：逆否命题：若x UA UB，则xAB.Help假假假假假假假假四种命题的真
4、假四种命题的真假,有且只有下面四种情况有且只有下面四种情况:原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题真真真真真真真真真真假假假假真真假假真真真真假假假假假假假假假假想一想？想一想？（2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真若其逆命题为真，则其否命题一定为真.但其但其原命题、逆否命题不一定为真原命题、逆否命题不一定为真.由以上三例及总结我们能发现什么？由以上三例及总结我们能发现什么？即即 原命题与逆否命题同真假原命题与逆否命题同真假.原命题的逆命题与否命题同真假原命题的逆命题与否命题同真假.（1）原命题为真，则其逆否命题一定为真原命题为真，则其逆否命题一定为真.但其但其逆命题、否逆命题
5、、否命题不一定为真命题不一定为真.(两个命题为互逆命题或互否命题两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系它们的真假性没有关系).几条结论几条结论:1.判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确.1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真.（对）（对）2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.（对）（对）2.四种命题真假的个数可能为（四种命题真假的个数可能为（）个）个.答：答：0、2、4.如：原命题：若如：原命题：若AB=A,则则AB=.逆命题：若逆命题：若AB=，则，则AB=A.否命题：若
6、否命题：若ABA，则，则AB.逆否命题：若逆否命题：若AB，则，则ABA.（假）（假）（假）（假）（假）（假）（假）（假）3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假.（错）（错）4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假.（错）（错）练一练练一练总结总结反证法反证法要要证证明明某某一一结结论论A是是正正确确的的，但但不不直直接接证证明明，而而是是先先去去证证明明A的的反反面面（非非A）是是错错误的，从而断定误的，从而断定A是正确的是正确的.即即反反证证法法就就是是通通过过否否定定命命题题的的结结论论而而导导出出
7、矛矛盾盾来来达达到到肯肯定定命命题题的的结结论论，完完成成命命题题的的论证的一种数学证明方法论证的一种数学证明方法.反证法的步骤反证法的步骤1.假假设设命命题题的的结结论论不不成成立立，即即假假设设结结论论的的反面成立反面成立.2.从从这这个个假假设设出出发发，通通过过推推理理论论证证，得得出出矛盾矛盾.3.由由矛矛盾盾判判定定假假设设不不正正确确，从从而而肯肯定定命命题题的结论正确的结论正确.推理过程中一定要用到才行显而易见的矛盾(如和已知条件矛盾).例例 证明：若证明：若p2q22，则，则pq2.将将“若若p2q22，则，则pq2”看成原命题看成原命题.由于原命题和它的逆否命题具有相同的真
8、由于原命题和它的逆否命题具有相同的真假性，要证原命题为真命题，可以证明它假性，要证原命题为真命题，可以证明它的逆否命题为真命题的逆否命题为真命题.即证明即证明 为真命题为真命题假设原命题结假设原命题结论的反面成立论的反面成立看能否推出原命题看能否推出原命题条件的反面成立条件的反面成立尝试成功尝试成功得证得证例例 证明：若证明：若p2q22，则，则pq2.变式练习变式练习已知已知 ,求证：求证：这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原这说明，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题命题为真命题.证明：假设证明：假设p+qp+q2,2,那么那么q2-p,q2-p,根据幂函数根据幂函数 的单调性
9、，得的单调性，得即即所以所以 因此因此可能出现矛盾的四种情况：可能出现矛盾的四种情况：与题设矛盾；与题设矛盾；与反设矛盾；与反设矛盾；与公理、定理矛盾；与公理、定理矛盾；在证明过程中，推出自相矛盾的结论在证明过程中，推出自相矛盾的结论.这些条件都与已知这些条件都与已知矛盾，矛盾，所以原命题所以原命题成立成立.证明证明:假设假设不大于不大于则则或或因为因为所以所以例例 用反证法证明：用反证法证明：如果如果ab0ab0，那么，那么 .，.，练练 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.已知：如图，在已知：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于交于P，且，且AB、C
10、D不是直径不是直径.求证：弦求证：弦AB、CD不被不被P平分平分.证明：证明：假设弦假设弦AB、CD被被P平分，平分，因为因为P点一定不是圆心点一定不是圆心O，连接，连接OP，根据垂径定理的推论，根据垂径定理的推论，有有OPAB,OPCD即即 过点过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂直，这与垂线性质矛盾，这与垂线性质矛盾，所以弦所以弦AB、CD不被不被P平分平分.证：假设证：假设a不能被不能被2整除，则整除，则a必为奇数，必为奇数，故可令故可令a=2m+1(m为整数为整数),由此得由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,此结果表明此结果表明a2是奇数，是奇数，这与题中的已知条件（这与题中的已知条件（a2能被能被2整除）相矛盾整除）相矛盾,所以所以a能被能被2整除整除.若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.