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1、1.1.3 四种命题间的相互关系 路边苦李路边苦李小故事 古时候有个人叫王戎，古时候有个人叫王戎，7 7岁那年的某一天和小岁那年的某一天和小伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把伙伴在路边玩，看见一棵李子树上的果实多得把树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎树枝都快压断了，小伙伴们都跑去摘，只有王戎站着没动站着没动.他说：他说：“李子是苦的李子是苦的,我不吃我不吃.”小伙小伙伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃伴摘来一尝，李子果然苦的没法吃.小伙伴问王戎小伙伴问王戎:“这就怪了这就怪了!你又没有吃你又没有吃,怎么知道李子是苦的啊怎么知道李子是苦的啊?”王戎说王戎说:“如果李子是甜的如果李子是
2、甜的,树长在路边树长在路边,李子早就没了！李子现在还那么多李子早就没了！李子现在还那么多,所以所以啊啊,肯定李子是苦的，不好吃肯定李子是苦的，不好吃!”下面让我们进入今天的学习下面让我们进入今天的学习1.1.明确四种命题的相互关系明确四种命题的相互关系.（重点）（重点）2.2.能够判断四种命题的真假能够判断四种命题的真假.（难点）（难点）3.3.利用互为逆否命题同真假完成间接证明命题的成立利用互为逆否命题同真假完成间接证明命题的成立.符号符号“”叫做否叫做否定符号定符号“p p”读读作作“非非p p”，表示，表示p p的否定，即不是的否定，即不是p p探究点探究点1 1 四种命题之间的关系四种
3、命题之间的关系四种命题形式四种命题形式:原命题原命题,逆命题逆命题,否命题否命题,逆否命题逆否命题若若 p,p,则则 q q 若若 q q,则则 p p若若p p,则则q q若若q,q,则则p p原命题原命题:逆命题逆命题:否命题否命题:逆否命题逆否命题:提示：提示：四种命题形式四种命题形式:观察与思考观察与思考？你能说出其中任意你能说出其中任意两个命题之间的关两个命题之间的关系吗系吗?1.1.若若f(xf(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(xf(x)是周期函数；是周期函数；2.2.若若f(xf(x)是周期函数，则是周期函数，则f(xf(x)是正弦函数；是正弦函数；3.3.若若f(xf(x)
4、不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(xf(x)不是周期函数；不是周期函数；4.4.若若f(xf(x)不是周期函数，则不是周期函数，则f(xf(x)不是正弦函数不是正弦函数.解答：四种命题之间的关系解答：四种命题之间的关系原命题原命题若若p,p,则则q q逆命题逆命题若若q,q,则则p p否命题否命题若若p,p,则则q q逆否命题逆否命题若若q,q,则则p p互逆互逆互互否否互互否否互逆互逆C C【即时训练即时训练】四种命题的真假四种命题的真假有什么联系？有什么联系？(真真)探究点探究点2 2 四种命题的真假四种命题的真假看下面的例子看下面的例子：（判断真假）：（判断真假）（1 1）原命题：若）
5、原命题：若x=2x=2或或x=3,x=3,则则x x2 2-5x+6=0.-5x+6=0.逆命题：若逆命题：若x x2 2-5x+6=0,-5x+6=0,则则x=2x=2或或x=3.x=3.否命题：若否命题：若x2x2且且x3,x3,则则x x2 2-5x+60.-5x+60.逆否命题：若逆否命题：若x x2 2-5x+60-5x+60，则，则x2x2且且x3.x3.(真真)(真真)(真真)（2 2）原命题：若）原命题：若a b,a b,则则 acac2 2bcbc2 2.逆命题：若逆命题：若acac2 2bcbc2 2,则则ab.ab.否命题：若否命题：若abab,则则acac2 2bcbc
6、2 2.逆否命题：若逆否命题：若acac2 2bcbc2 2,则则abab.（假）（假）（真）（真）（真）（真）（假）（假）原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题真真真真真真真真真真假假假假真真假假真真真真假假假假假假假假假假提示提示提示提示：一般地一般地,四种命题的真假性四种命题的真假性,有且仅有下面有且仅有下面四种情况四种情况:【提升总结提升总结】（1 1）原命题为真，则其逆否命题一定为真）原命题为真，则其逆否命题一定为真.但其逆命题、否命题不一定为真但其逆命题、否命题不一定为真.（2 2）若其逆命题为真，则其否命题一定为真）若其逆命题为真，则其否命题一定为真.但原命题、但原
7、命题、其其逆否命题不一定为真逆否命题不一定为真.由以上三例及总结我们能发现什么？由以上三例及总结我们能发现什么？解解：原命题与原命题与其其逆否命题同真假逆否命题同真假.原命题的逆命题与否命题同真假原命题的逆命题与否命题同真假.(两个命题为互逆命题或互否命题两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系它们的真假性没有关系).).比一比比一比判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确.（1 1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；为真；（对）（对）（2 2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真.（
8、对）（对）（3 3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假.（错）（错）（4 4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假.（错）（错）【即时训练即时训练】例例1 1 设原命题是：当设原命题是：当c0c0时，若时，若ab,ab,则则acacbcbc.写出写出它的逆命题、否命题、逆否命题它的逆命题、否命题、逆否命题.并分别判断它们的并分别判断它们的真假真假.分析：分析：“当当c0c0时时”是大前提，写其他命题时应该是大前提，写其他命题时应该保留保留.原命题的条件是原命题的条件是“abab”，结论是，结论是“acac
9、bcbc”.解析：解析：逆命题：当逆命题：当c0c0时，若时，若acacbcbc,则则ab.ab.否命题：当否命题：当c0c0时，若时，若abab,则则acbcacbc.逆否命题：当逆否命题：当c0c0时，若时，若acbcacbc,则则abab.（真）（真）（真）（真）（真）（真）命题命题“若若a ab,b,则则acacbcbc”(这里这里a,b,ca,b,c都是实数都是实数)与与它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题的个数它的逆命题，否命题、逆否命题中，真命题的个数为（为（）A A4 B4 B3 3C C2 D2 D0 0D D【变式练习变式练习】【提升总结提升总结】因为原命题和它的逆否命题
10、有相同的因为原命题和它的逆否命题有相同的真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难真假性，所以当直接证明某一命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明时，可以通过证明它的逆否命题为真命题，来间接证明原命题为真命题原命题为真命题.例例2 2 证明：若证明：若x x2 2+y+y2 2=0=0，则，则x=y=0.x=y=0.证明：证明：若若x x，y y中至少有一个不为中至少有一个不为0 0，不妨设，不妨设x0 x0，则，则x x2 20 0，所以，所以x x2 2+y+y2 2 0 0，也就是说，也就是说x x2 2+y+y2 2 0.0.因此，原命题的逆否命题为真命题
11、，从而原命题为真因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题命题.在数学的证明中，我们会常常用到一种在数学的证明中，我们会常常用到一种方法方法反证法反证法.反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾反证法就是通过否定命题的结论而导出矛盾来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种来达到肯定命题的结论，完成命题的论证的一种数学证明方法数学证明方法.此处是命题的否定，要区别于否命题此处是命题的否定，要区别于否命题.反证法的一般步骤：反证法的一般步骤：（1 1）假设命题的结论不成立）假设命题的结论不成立 ,即假设结论即假设结论的反面成立的反面成立;（2 2）从这个假设出发）从这个假设出发 ,经过推理
12、论证经过推理论证,得出矛盾得出矛盾;（3 3）由矛盾判定假设不正确）由矛盾判定假设不正确 ,从而肯定从而肯定 命题的结论正确命题的结论正确.反设反设归谬归谬结论结论求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条求证：若一个三角形的两条边不相等，则这两条边所对的角也不相等边所对的角也不相等.证明：证明：如果一个三角形的两边所对的角相等，如果一个三角形的两边所对的角相等，根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三根据等腰三角形的判定定理，这个三角形是等腰三角形，且这两条边是等腰三角形的两条腰，也就是角形，且这两条边是等腰三角形的两条腰，也就是说两条边相等说两条边相等.这就证明了原命题的逆否命题，表明
13、原命题的这就证明了原命题的逆否命题，表明原命题的逆否命题是真命题，所以原命题也是真命题逆否命题是真命题，所以原命题也是真命题.【变式练习变式练习】1.1.设原命题：若设原命题：若a+b2a+b2，则，则a,ba,b中至少有一中至少有一个不小于个不小于1 1，则原命题与其逆命题的真假情况，则原命题与其逆命题的真假情况是（是（）A A原命题真，逆命题假原命题真，逆命题假B B原命题假，逆命题真原命题假，逆命题真C C原命题与逆命题均为真命题原命题与逆命题均为真命题D D原命题与逆命题均为假命题原命题与逆命题均为假命题A A2.2.命题命题“若若p p不正确，则不正确，则q q不正确不正确”的逆命题
14、的的逆命题的等价命题是（等价命题是（）A A若若q q不正确，则不正确，则p p不正确不正确B B若若q q不正确，则不正确，则p p正确正确C C若若p p正确，则正确，则q q不正确不正确D D若若p p正确，则正确，则q q正确正确 D D3.3.设设A A是原命题，是原命题，B B、C C、D D分别是分别是A A的逆、否、逆的逆、否、逆否命题从否命题从4 4个命题中任取两个命题，则这两个个命题中任取两个命题，则这两个命题是等价命题的概率是（命题是等价命题的概率是（）A A B B C C D D C C4.4.命题命题“若若q1q1，则，则x x2 2+2x+q=0+2x+q=0有实
15、根有实根”的的逆否命题是逆否命题是_ _ _ _ _ _.逆命题是逆命题是_ _ _ _ ，它是它是 命题（命题（“真真 ”或或“假假 ”）.若若x x2 2+2+2x x+q q=0=0 无实根，则无实根，则q q11若若x x2 2+2+2x x+q q=0=0有实根，则有实根，则q q11真真5.5.命题命题“已知已知a a，b b为实数，若为实数，若x x2 2axaxb0b0有非空有非空解集，则解集，则a a2 24b04b0”写出该命题的逆命题，否命写出该命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断真假题，逆否命题，并判断真假 解：解：逆命题逆命题“已知已知a a，b b为实数，若为实数
16、，若a a2 24b04b0，则则x x2 2axaxb0b0有非空解集有非空解集”.否命题否命题“已知已知a a，b b为实数，若为实数，若x x2 2axaxb0b0没有非空解集，则没有非空解集，则a a2 24b4b0 0”.逆否命题逆否命题“已知已知a a，b b为实数，若为实数，若a a2 24b4b0 0，则则x x2 2axaxb0b0没有非空解集没有非空解集”.原命题，逆命题，否命题，逆否命题均为原命题，逆命题，否命题，逆否命题均为真命题真命题原命题原命题若若p则则q逆命题逆命题若若q则则p否命题否命题若若 p则则 q逆否命题逆否命题若若 q则则p互为逆否互为逆否 同同真真同同假假互为逆否互为逆否 同同真真同同假假互逆命题互逆命题 真假真假无关无关互逆命题互逆命题 真假真假无关无关互互否否命命题题真真假假无无关关互互否否命命题题真真假假无无关关四种命题的一般形式：四种命题的一般形式：原命题：若原命题：若p p则则q q逆命题：若逆命题：若q q则则p p否命题：若非否命题：若非p p则非则非q q逆否命题：若非逆否命题：若非q q则非则非p p互逆互逆互逆互逆互互否否互互否否互互为为逆逆否否互互为为逆逆否否一种方法一种方法反证法反证法.青年最主要的任务是学习.朱德