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1、1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)1.函数的周期性(1)周期函数：对于函数f(x),如果存在一个_常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有_=f(x).这个函数的周期为_.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的_,那么这个最小_就叫做f(x)的最小正周期.非零f(x+T)T正数正数2.正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性函数函数y=sin xy=sin xy=y=coscos x x周期周期2k(kZ2k(kZ且且k0)k0)2k(kZ2k(kZ且且k0)k0)最小正周期最小正周期_奇偶性奇偶性_22奇函数偶函数1.判一判(正确的打“”，错误的打“”)(1
2、)由于 则 是函数y=sin x的一个周期.()(2)因为 所以函数 的周期为4.()(3)函数 是奇函数.()(4)10是函数y=sin x的一个周期.()【解析】(1)错误.因为对于函数y=f(x),使y=f(x+T)=f(x)成立的x必须取定义域内的每一个值才可以,即x具有任意性.(2)错误.因为所以函数的周期为6.(3)正确.由奇偶性定义可知此函数是奇函数.(4)正确.因为y=sin(x10)=sin x，由周期函数的定义可知10为函数y=sin x的一个周期.答案：(1)(2)(3)(4)2.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数 的最小正周期为_.(2)函数 的最小正周期为_
3、.(3)函数 是_函数.(填“奇”或“偶”)【解析】(1)因为所以由周期函数的定义可知，原函数的最小正周期为2.答案：2(2)因为所以由周期函数的定义可知，函数的最小正周期为8.答案：8(3)因为所以此函数为偶函数.答案：偶【要点探究】知识点 1 函数的周期性1.关于函数周期的理解(1)存在一个不等于零的常数T.(2)对于定义域内的每一个值x,都有x+T属于这个定义域.(3)满足f(x+T)=f(x).2.对周期函数的三点说明(1)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,则其周期也不一定唯一.(2)如果T是函数f(x)的一个周期,则nT(nZ且n0)也是f(x)的周期.(3)在周期函数
4、y=f(x)中，若xD，则x+nTD(nZ).从而要求周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界.3.对函数最小正周期的两点说明(1)最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数,这个正数是对x而言的,如y=sin 2x的最小正周期是,因为y=sin(2x+2)=sin 2(x+),即是使函数值重复出现的自变量x加上的最小正数,是对x而言的,而非2x.(2)并不是所有的周期函数都有最小正周期,譬如,常数函数f(x)=c,任一个正实数都是它的周期,因而不存在最小正周期.【微思考】如果2是函数y=f(x)的一个周期,那么所有2k(kZ),也是它的周期吗?提示：不一定.当k=0时,2
5、k不一定是它的周期.【即时练】关于周期函数下列说法正确的是_.周期函数的定义域可以是有限集；周期函数的周期只有唯一一个；周期函数的周期可以有无数多个；周期函数的周期可正可负.【解析】由周期函数的定义可得是错误的，是正确的.答案：知识点 2 正弦、余弦函数的周期性与奇偶性1.对正弦函数、余弦函数周期性的两点说明(1)由正弦函数的图象和周期函数的定义可得：正弦函数是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期为2.(2)余弦函数也是周期函数，2k(kZ且k0)都是它的周期，最小正周期为2.2.正弦函数、余弦函数的奇偶性(1)正弦函数是奇函数,余弦函数是偶函数,反映在图象上,正弦曲线关于原点
6、O对称,余弦曲线关于y轴对称.(2)正弦曲线、余弦曲线既是中心对称图形又是轴对称图形.【微思考】判断函数的奇偶性主要看几个方面？提示：一是看函数的定义域是否关于原点对称；二是看f(x)与f(x)的关系.【即时练】1.下列函数中最小正周期为 的是()A.B.C.D.y=sin 4x【解析】选D.的最小正周期为6，和的最小正周期为4，y=sin 4x的最小正周期为2.试判断函数y=sin(+x)的奇偶性.【解析】令y=f(x)，则f(x)=sin(+x)=-sin x，因为f(x)=sin(x)=(sin x)=-f(x)，f(x)的定义域为R，所以函数y=sin(+x)为奇函数.【题型示范】类型
7、一 三角函数的周期问题及简单应用【典例1】(1)(2014邯郸高一检测)下列函数是以为最小正周期的函数是()A.y=sin x B.y=sin x+2C.y=cos 2x+2 D.y=cos 3x1(2)求下列函数的最小正周期：【解题探究】1.题(1)中怎样求形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的函数的周期?2.题(2)中求y=|sin x|的最小正周期应先对函数作如何处理?【探究提示】1.对形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的函数可通过周期函数定义或公式来求其周期.2.对形如y=|sin x|的函数可去掉绝对值号，通过作出其图象,观察得周期.【自主解答】(1)选C.y=
8、sin x及y=sin x+2的最小正周期为2，y=cos 2x+2的最小正周期为，y=cos 3x1的最小正周期为所以选C.(2)方法一：所以最小正周期为.方法二：作图如下：观察图象可知最小正周期为.【延伸探究】将本例(2)中的y=|sin x|改为y=sin|x|，是否还是周期函数？【解析】作出函数y=sin|x|的图象，如图所示：由图象知，此函数不是周期函数.【方法技巧】求三角函数周期的方法(1)定义法，即利用周期函数的定义求解.(2)公式法，对形如y=Asin(x+)或y=Acos(x+)(A,是常数，A0,0)的函数，(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期.【变式训练】(2014陕
9、西高考)函数f(x)=的最小正周期是()A.B.C.2 D.4【解题指南】直接利用余弦函数的周期公式求出它的最小正周期即可.【解析】选B.故B正确.【补偿训练】1.(2014烟台高一检测)若f(x)是以 为周期的函数，则 =_.【解析】答案：-12.已知f(n)=(nN*)，则f(1)+f(2)+f(3)+f(100)=_.【解析】f(1)=f(2)=f(4)=cos=1，故f(1)+f(2)+f(3)+f(8)=0，所以f(n)=(nN*)的周期为8，所以f(1)+f(2)+f(3)+f(100)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1.答案：1类型二 三角函数奇偶性的判定【典例2】(1
10、)下列函数中为偶函数的是()A.y=sin|x|B.y=sin 2xC.y=sin x Dy=sin x+1(2)(2014沧州高一检测)函数y=4sin(2x+)的图象关于()A.x轴对称 B.原点对称C.y轴对称 D.直线 对称(3)判断函数 的奇偶性.【解题探究】1.题(1)中的函数应满足什么条件才为偶函数？2.题(2)中在判断选项前需对函数式进行怎样的处理？3.题(3)中如何对函数式进行化简？【探究提示】1.函数y=f(x)，对于关于原点对称的定义域中的任意x，使得f(x)=f(x).2.利用诱导公式先对函数式化简，然后再判断.3.可利用诱导公式将化简为【自主解答】(1)选A.y=si
11、n|x|的定义域为R，且sin|-x|=sin|x|，所以为偶函数.(2)选B.因为y=4sin(2x+)=4sin 2x，所以y=4sin(2x+)为奇函数，故图象关于原点对称.(3)因为函数的定义域为R，所以所以函数为偶函数【方法技巧】判断函数奇偶性应把握好的两个关键点关键点一是看函数的定义域是否关于原点对称；关键点二是看f(x)与f(x)的关系.对于三角函数奇偶性的判断,有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.【变式训练】(2014开封高一检测)判断f(x)=lg(sin x+的奇偶性.【解题指南】运用函数奇偶性的定义，结合对数的运算性质化简并判断.【解析】函数的定义域为R，因为f(x
12、)=所以函数为奇函数【补偿训练】函数f(x)=xsin(-x)的奇偶性为()A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数【解析】选B.函数f(x)=xsin(-x)的定义域为R，因为f(x)=xsin(-x)=xsin x,所以f(-x)=(-x)sin(-x)=xsin x=f(x),所以函数f(x)=xsin(-x)是偶函数.类型三 三角函数的奇偶性与周期的综合应用【典例3】(1)f(x)是以2为周期的奇函数，若 则 的值为()A.1 B.1 C.D.(2)(2014大同高一检测)若f(x)为奇函数，当x0时，f(x)=x2sin x，求当x0时的解析式，求x0的解析式
13、时如何利用已知的解析式？【探究提示】1.2.设x0,故可利用x0时的解析式.【自主解答】(1)选B.因为f(x)是以2为周期的奇函数，所以所以(2)当x0，f(x)=(x)2sin(x)=x2+sin x，因为f(x)为奇函数，所以f(x)=f(x)=x2sin x，即当x0时，f(x)=x2sin x.【方法技巧】三角函数周期性与奇偶性的解题策略(1)探求三角函数的周期，常用方法是公式法，即将函数化为y=Asin(x+)或y=Acos(x+)的形式，再利用公式求解.(2)判断函数y=Asin(x+)或y=Acos(x+)是否具备奇偶性，关键是看它能否通过诱导公式转化为y=Asin x(A0)
14、或y=Acos x(A0)其中的一个.【变式训练】(2014宿州高一检测)定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是，且当x 时，f(x)=sin x,求 的值.【解析】因为f(x)的最小正周期为且为偶函数，所以【补偿训练】已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),求f(6)的值.【解析】由f(x+2)=-f(x)，可知f(x)的周期为4，所以f(6)=f(2),又f(2)=f(0+2)=-f(0)=0,所以f(6)=0.【易错误区】判断函数奇偶性时忽略函数的定义域致误【典例】函数 的奇偶性为()A.奇函数 B既是奇函数也是偶函数C.偶函数 D.
15、非奇非偶函数.【解析】选D.由题意知,当1sin x0,即sin x1时，所以函数的定义域为由于定义域不关于原点对称,所以该函数是非奇非偶函数.【常见误区】错解解错因剖析因剖析选A化化简之后由于只考之后由于只考虑阴影阴影处sin x的形式而忽略了定的形式而忽略了定义域以及域以及绝对值号从而号从而误判判为奇函数奇函数选C由于只由于只强调阴影阴影处的的变形，重点考形，重点考虑了了绝对值符号符号而忽而忽视了函数的定了函数的定义域，从而域，从而导致判断失致判断失误【防范措施】准确判断函数的奇偶性此类问题一般是按函数奇偶性定义加以判断,判断奇偶性要本着定义域优先的原则，同时若要化简,应注意化简前后的等价性,如本例,若化为y=|sin x|,则易出现判断该函数为偶函数的错误.【类题试解】函数 在定义域内是()A.奇函数 B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数【解析】选C.由lgcos x0得cos x1,又cos x1,所以cos x=1,即x=2k,kZ,从而函数定义域为x|x=2k,kZ,定义域关于原点对称,此时所以该函数既是奇函数又是偶函数.