《大题07 新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义）（精选30题）-【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《大题07 新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义）（精选30题）-【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）含答案.pdf（64页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、黄金冲刺大题 07 新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义）（精选 30 题）黄金冲刺大题 07 新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义）（精选 30 题）1（2024辽宁辽宁二模）二模）已知数列 na的各项是奇数，且na是正整数n的最大奇因数，34212nnSaaaaa=+L.(1)求620,a a的值；(2)求123,S SS的值；(3)求数列 nS的通项公式.2（2024黑龙江双鸭山黑龙江双鸭山模拟预测）模拟预测）已知数列12:,(3)NA a aaN L的各项均为正整数，设集合jiTx xaa=-，1ijN，记T的元素个数为()P T.(1)若数列 A:1，3，5，7，
2、求集合T，并写出()P T的值;(2)若A是递减数列，求证:“()1P TN=-”的充要条件是“A为等差数列”;(3)已知数列2:2,2,2NAL，求证:(1)()2N NP T-=.3（2024广西广西二模）二模）已知函数 lnf xx=，若存在 g xf x恒成立，则称 g x是 f x的一个“下界函数”(1)如果函数 lntg xxx=-为 f x的一个“下界函数”，求实数t的取值范围；(2)设函数 12eexF xf xx=-+，试问函数 F x是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由4（2024湖南长沙湖南长沙模拟预测）模拟预测）设 n 次多项式121210()0nn
3、nnnnP ta tata tataa-=+L，若其满足(cos)cosnPxnx=，则称这些多项式 nP t为切比雪夫多项式.例如：由coscosqq=可得切比雪夫多项式1()P xx=，由2cos22cos1qq=-可得切比雪夫多项式22()21P xx=-.(1)若切比雪夫多项式323()P xaxbxcxd=+，求实数 a，b，c，d 的值；(2)对于正整数3n时，是否有 122nnnPxx PxPx-=-成立？大题07 新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义）（精选30题）-【黄金冲刺】2024年考前15天高考数学极限满分冲刺（新高考通用）(3)已知函数3()861f xxx
4、=-在区间1,1-上有 3 个不同的零点，分别记为123,x xx，证明：1230 xxx+=.5（2024浙江浙江模拟预测）模拟预测）已知实数0q，定义数列 na如下：如果2012222,0,1kkinxxxxx=+L，0,1,2,ik=L，则2012knkaxx qx qx q=+L(1)求7a和8a（用q表示）；(2)令12nnba-=，证明：211nniiba-=；(3)若12q，证明：对于任意正整数n，存在正整数m，使得1nmnaaa+6（2024辽宁辽宁三模）三模）若实数列 na满足*n N，有212nnnaaa+，称数列 na为“T数列”.(1)判断2,lnnnan bn=是否为
5、“T数列”，并说明理由；(2)若数列 na为“T数列”，证明：对于任意正整数,k m n，且kmn，都有nmmkaaaanmmk-(3)已知数列 na为“T数列”，且202410iia=.令12024max,Maa=，其中max,a b表示,a b中的较大者.证明：1,2,3,2024k L，都有20252023kMaM-.7（2024广东梅州广东梅州二模）二模）已知 na是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为nM，即12max,nnMa aa=；前n项的最小值记为nm，即12min,nnma aa=，令nnnpMm=-（1,2,3,n=），并将数列np称为 na的“生成数列”(1
6、)若3nna=，求其生成数列np的前n项和；(2)设数列np的“生成数列”为 nq，求证：nnpq=；(3)若np是等差数列，证明：存在正整数0n，当0nn时，na，1na+，2na+，是等差数列8（2024浙江绍兴浙江绍兴二模）二模）已知*kN，集合0101222,0,kiiikkXx xiii=+L其中01,ki iiN.(1)求2X中最小的元素；(2)设13122aX=+，1bX，且1abX+，求b的值；(3)记12,2k nk nkkYX+-+=，*nN，若集合kY中的元素个数为nb，求1112kmmmb+-=.9（2024山东潍坊山东潍坊二模）二模）数列 na中，从第二项起，每一项与
7、其前一项的差组成的数列1nnaa+-称为 na的一阶差数列，记为 1na，依此类推，1na的一阶差数列称为 na的二阶差数列，记为 2na，如果一个数列 na的 p 阶差数列 pna是等比数列，则称数列 na为 p 阶等比数列*pN(1)已知数列 na满足11a=，121nnaa+=+（）求 11a，12a，13a；（）证明：na是一阶等比数列；(2)已知数列 nb为二阶等比数列，其前 5 项分别为20 37 78 2151,9999，求nb及满足nb为整数的所有 n 值10（2024贵州黔西贵州黔西一模）一模）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可运用到有限维空间并构成了
8、一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数()f x，存在实数0 x，使得00f xx=，我们就称该函数为“不动点”函数，实数0 x为该函数的不动点.(1)求函数()23xf xx=+-的不动点;(2)若函数()lng xxb=-有两个不动点12,x x，且12xx，证明：集合()Ax f xx=中有且仅有一个元素；(2)若 212ln1(1)exf xaxax=+-+-，讨论集合B的子集的个数12（2024山东聊城山东聊城二模）二模）对于函数()f x，若存在实数0 x，使00()1)(f xf xl+=，其中
9、0l，则称()f x为“可移l倒数函数”，0 x为“()f x的可移l倒数点”已知()e,()(0)xg xh xxa a=+(1)设2()()()xg x hxj=，若2为“()h x的可移2-倒数点”，求函数()jx的单调区间；(2)设(),0()1,0()g x xxxh xw=-成立，求实数b的取值范围(3)证明：当1,2pn时，有1111111(1)pppnpnn-我们把平面上到点0P的“t-距离”为r的所有点构成的集合叫做以点0P为圆心，以r为半径的“t-圆”求以原点O为圆心，以12为半径的“t-圆”的面积；(3)证明：对任意点111222333131223,tttP x yPxy
10、P xyPPPPP P+15（2024广东深圳广东深圳二模）二模）无穷数列1a，2a，na，的定义如下：如果 n 是偶数，就对 n 尽可能多次地除以 2，直到得出一个奇数，这个奇数就是na如果 n 是奇数，就对31n+尽可能多次地除以 2，直到得出一个奇数，这个奇数就是na(1)写出这个数列的前 7 项；(2)如果nam=且man=，求 m，n 的值；(3)记 naf n=，*nN，求一个正整数 n，满足 2024fnf nff nfff n个LLL144 4 2444316（2024湖南邵阳湖南邵阳模拟预测）模拟预测）对于定义在D上的函数()f x，若存在距离为d的两条平行直线11:lykx
11、b=+和22:lykxb=+，使得对任意的xD都有12()kxbf xkxb+，则称函数()()f x xD有一个宽度为d的通道，1l与2l分别叫做函数()f x的通道下界与通道上界(1)若e1()e1xxf x-=+，请写出满足题意的一组()f x通道宽度不超过 3 的通道下界与通道上界的直线方程；(2)若()sincosg xxxx=+，证明：()g x存在宽度为 2 的通道；(3)探究2ln3(),1,)xh xxx+=+是否存在宽度为22的通道？并说明理由17（2024福建福州福建福州模拟预测）模拟预测）记集合 000,R,f x x DLl xkxb xxD f xl xxD f x
12、l x=+$=且，集合 000,R,f x x DTl xkxb xxD f xl xxD f xl x=+$=且，若 ,f x x Dl xL，则称直线 yl x=为函数 f x在D上的“最佳上界线”；若 ,f x x Dl xT，则称直线 yl x=为函数 f x在D上的“最佳下界线”(1)已知函数 2f xxx=-+，01lxkx=+若 0,Rf x xlxL，求k的值；(2)已知 e1xg x=+（）证明：直线 yl x=是曲线 yg x=的一条切线的充要条件是直线 yl x=是函数 g x在R上的“最佳下界线”；（）若 ln1h xx=-，直接写出集合 ,1,Rh x xg x xL
13、T+中元素的个数（无需证明）18（2024辽宁辽宁二模）二模）如果数列 ,nnxy，其中ny Z，对任意正整数n都有12nnxy-，则称数列ny为数列 nx的“接近数列”已知数列 nb为数列 na的“接近数列”(1)若*223nann=+N，求123,b b b的值；(2)若数列 na是等差数列，且公差为d d Z，求证：数列 nb是等差数列；(3)若数列 na满足1231100a=，且19571020nnaa+=-+，记数列 nnab的前n项和分别为,nnS T，试判断是否存在正整数n，使得nnST，若对*221,nnnaad+-=N，则称数列 na为D数列(1)证明：D数列是递增数列，但不
14、是等比数列；(2)设1nnnbaa+=-，若 na为D数列，证明：43ndbn21（2023山西山西模拟预测）模拟预测）对于数列 na，若存在0M，使得对任意*nN，总有11nkkkaaM+=-，证明：nnxy是有界变差数列22（2024江西九江江西九江二模）二模）定义两个n维向量,1,2,iiii naxxx=ur，,1,2,jjjj naxxx=uu r的数量积,1,1,2,2,Nijijiji nj na ax xx xx xi j+=+ur uu r，2iiia aa=ur urur，记,i kx为iaur的第 k 个分量（kn且+Nk）.如三维向量12,1,5a=ur，其中1aur的
15、第 2 分量1,21a=.若由n维向量组成的集合 A 满足以下三个条件：集合中含有 n 个 n 维向量作为元素；集合中每个元素的所有分量取 0 或 1；集合中任意两个元素iaur，jauu r，满足22ijaaT=uruu r（T 为常数）且1ija a=ur uu r.则称 A 为 T 的完美 n 维向量集.(1)求 2 的完美 3 维向量集；(2)判断是否存在完美 4 维向量集，并说明理由；(3)若存在 A 为 T 的完美 n 维向量集，求证：A 的所有元素的第 k 分量和kST=.23（2024浙江台州浙江台州二模）二模）设 A，B 是两个非空集合，如果对于集合 A 中的任意一个元素 x
16、，按照某种确定的对应关系f，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 和它对应，并且不同的 x 对应不同的 y；同时 B 中的每一个元素 y，都有一个 A 中的元素 x 与它对应，则称f：AB为从集合 A 到集合 B 的一一对应，并称集合 A与 B 等势，记作AB=.若集合 A 与 B 之间不存在一一对应关系，则称 A 与 B 不等势，记作AB.例如：对于集合*NA=，*2NBn n=，存在一一对应关系2,yx xA yB=，因此AB=.(1)已知集合22,1Cx y xy=+=，22,|143xyDx y=+=，试判断CD=是否成立?请说明理由；(2)证明：0,1,=-+；*NNx x.24（2
17、024浙江嘉兴浙江嘉兴二模）二模）已知集合1212 0,imamiiAaaaa=NL，定义：当mt=时，把集合A中所有的数从小到大排列成数列()nb t，数列()nb t的前n项和为()nS t.例如：2t=时，010212031234(2)223,(2)225,(2)226,(2)229,bbbb=+=+=+=+=L，41234(2)(2)(2)(2)(2)23Sbbbb=+=.(1)写出56(2),(2)bb，并求10(2)S；(2)判断 88 是否为数列(3)nb中的项.若是，求出是第几项；若不是，请说明理由；(3)若 2024 是数列()nb t中的某一项 00nb t，求00,t n
18、及 00nS t的值.25（2024广西广西二模）二模）设xR，用 x表示不超过 x 的最大整数，则 yx=称为取整函数，取整函数是德国数学家高斯最先使用，也称高斯函数该函数具有以下性质：yx=的定义域为 R，值域为 Z；任意实数都能表示成整数部分和纯小数部分之和，即 01xxxx=+-26（2024河北石家庄河北石家庄二模）二模）设集合M是一个非空数集，对任意,x yM，定义(,)|x yxyr=-，称r为集合M的一个度量，称集合M为一个对于度量r而言的度量空间，该度量空间记为(,)Mr.定义 1：若:fMM是度量空间(,)Mr上的一个函数，且存在(0,1)a，使得对任意,x yM，均有：(
19、),()(,)f xf yx yrar，则称f是度量空间(,)Mr上的一个“压缩函数”.定义 2：记无穷数列012,a a a L为 0nna+=，若 0nna+=是度量空间(,)Mr上的数列，且对任意正实数0e，都存在一个正整数N，使得对任意正整数,m nN，均有,mnaare，则称 0nna+=是度量空间(,)Mr上的一个“基本数列”.(1)设1()sin2f xx=+，证明：f是度量空间1,2,2r上的一个“压缩函数”；(2)已知:fRR是度量空间(,)rR上的一个压缩函数，且0a R，定义1nnaf a+=，0,1,2,n=L，证明：0nna+=为度量空间(,)rR上的一个“基本数列”
20、.27（2024湖北湖北模拟预测）模拟预测）欧拉函数在密码学中有重要的应用设 n 为正整数，集合1,2,1nXn=-，欧拉函数)(nj的值等于集合nX中与 n 互质的正整数的个数；记(,)M x y表示 x 除以 y 的余数（x 和 y 均为正整数），(1)求(6)j和(15)j；(2)现有三个素数 p，q，()e pqe，试写出所有项数不超过2m的S数列，使得21,1,2,2,2m-L成为数列中的连续项；当1500m 时，试求这些S数列的前 2024 项和2024S.30（2024江苏南京江苏南京二模）二模）已知数列 na的前 n 项和为nS若对每一个*nN，有且仅有一个*mN，使得1mnm
21、SaS+，则称 na为“X 数列”.记1nmnbSa+=-，*nN，称数列 nb为 na的“余项数列”.(1)若 na的前四项依次为 0，1，1-，1，试判断 na是否为“X 数列”，并说明理由；(2)若2nnS=，证明 na为“X 数列”，并求它的“余项数列”的通项公式；(3)已知正项数列 na为“X 数列”，且 na的“余项数列”为等差数列，证明：2112nnSa-+黄金冲刺大题 07 新定义综合黄金冲刺大题 07 新定义综合（数列新定义、函数新定义、集合新定义）（精选 30 题）（数列新定义、函数新定义、集合新定义）（精选 30 题）1（2024辽宁辽宁二模）二模）已知数列 na的各项是
22、奇数，且na是正整数n的最大奇因数，34212nnSaaaaa=+L.(1)求620,a a的值；(2)求123,S SS的值；(3)求数列 nS的通项公式.【答案】(1)63a=，205a=(2)12S=，26S=，322S=(3)423nnS+=【分析】（1）根据所给定义直接计算可得；（2）根据所给定义列出1,2,3,8iia=L，即可得解；（3）当n为奇数时2121nkaak-=-N*k，即可求出13521naaaa-+L，当n为偶数时2nkkaaa=N*k，从而得到246812nnaaaaaS-+=L，即可推导出114nnnSS-=2n，再利用累加法计算可得.【详解】（1）因为61 2
23、3=，所以63a=，又201 4 5=，所以205a=；（2）依题意可得121aa=，33a=，41a=，55a=，63a=，77a=，81a=，所以1122Saa=+=，234121 1 3 16aSaaa=+=+=，3123567481 1 3 1 537 122Saaaaaaaa=+=+=.（3）因为na是正整数n的最大奇因数，当n为奇数，即21nk=-N*k时2121nkaak-=-，所以11135211211 3521242nnnnnaaaa-+-+=+-=LL，当n为偶数，即2nk=N*k时2nkkaaa=，所以当2n 时124681 22 23 24 222 2nnaaaaaaa
24、aaa-+=+LL1123412nnaaaaaS-=+=L，所以34212nnSaaaaa=+L 1352468212nnaaaaaaaaa-=+LL114nnS-=+，所以114nnnSS-=2n 且12S=，所以 11221321nnnnnSSSSSSSSSS-=-+-+-+-+L12244442nn-=+L14 1 44221 43nn-+=+=-，当1n=时12S=也满足423nnS+=，所以数列 nS的通项公式为423nnS+=.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解定义，第三问关键是推导出114nnnSS-=2n 且12S=，最后利用累加法求出nS.2（2024黑龙江双鸭山黑龙江双鸭山
25、模拟预测）模拟预测）已知数列12:,(3)NA a aaN L的各项均为正整数，设集合jiTx xaa=-，1ijN，记T的元素个数为()P T.(1)若数列 A:1，3，5，7，求集合T，并写出()P T的值;(2)若A是递减数列，求证:“()1P TN=-”的充要条件是“A为等差数列”;(3)已知数列2:2,2,2NAL，求证:(1)()2N NP T-=.【答案】(1)2,4,6,()3TP T=.(2)证明见解析；(3)证明见解析【分析】（1）根据题意，结合集合的新定义，即可求解；（2）若A为等差数列，且A是递减数列，得到0d，则12112222121iijiji-=-，推得2221j
26、i-为奇数，矛盾，进而得证.【详解】（1）解：由题意，数列:1,3,5,7A，可得3 12,5 14,7 16,532,734-=-=-=-=-=752-=，所以集合2,4,6T=，所以()3P T=.（2）证明：充分性：若A为等差数列，且A是递减数列，则A的公差为(0)d d，当1ijN-L，所以2131411,Naa aa aaaaT-L，且互不相等，所以2131411,NTaa aa aaaa=-L，又因为324221NNaaaaaaaa-L，所以232421,NNaa aaaa aaT-L且互不相等，所以322142312,Naaaa aaaaaa-=-=-L11Naa-=-，所以21
27、321NNaaaaaa-=-=-L，所以A为等差数列，必要性成立.所以若A是递减数列，“()1P TN=-”的充要条件是“A为等差数列”.（3）证明：由题意集合|,1jiTx xaaijN=-，故111222221221ijiiji-=-，若12ii，不妨设12ii，则12112222121iijiji-=-，而1122,jiji，故1211221iiji-为偶数，2221ji-为奇数，矛盾，故12ii=，故12jj=，故由2:2,2,2NAL得到的jiaa-彼此相异，所以(1)()2N NP T-=.3（2024广西广西二模）二模）已知函数 lnf xx=，若存在 g xf x恒成立，则称
28、g x是 f x的一个“下界函数”(1)如果函数 lntg xxx=-为 f x的一个“下界函数”，求实数t的取值范围；(2)设函数 12eexF xf xx=-+，试问函数 F x是否存在零点？若存在，求出零点个数；若不存在，请说明理由【答案】(1)2(,)e-(2)函数 F(x)是否存在零点，理由见解答【分析】（1）把恒成立问题转换为求2 lnxx的最小值问题，利用导数求出最小值即可；（2）把函数整理成 111121 1lneeeeeeexxxxF xxxxxx=-+-+=-，要判断是否有零点，只需看()F x的正负问题，令1()eexxG x=-，利用导数分析()G x即可.【详解】（1
29、）由()()g xf x恒成立，可得lnlntxxx-恒成立，所以2 lntxx恒成立,令()2 lnh xxx=，所以()2 1lnh xx=+（），当1(0,)ex时,()0h x，()h x在1()e+，单调递增；所以()h x的最小值为12()eeh=-，所以2et -，实数 t 的取值范围2(,e-；（2）由（1）可知22 lnexx -，所以22lnexx-，所以1lnexx-，又 12eexF xf xx=-+，所以121121 1()ln()eeeeeeexxxxF xxxxxx=-+-+=-，令1()eexxG x=-，所以1()exxG x-=，当(0,1)x时,()0，(
30、)G x在1,+单调递增；所以()(1)0G xG=，所以121121 1()ln()0eeeeeeexxxxF xxxxxx=-+-+=-，又中取等号的条件不同，所以()0F x 所以函数没有零点.4（2024湖南长沙湖南长沙模拟预测）模拟预测）设 n 次多项式121210()0nnnnnnP ta tata tataa-=+L，若其满足(cos)cosnPxnx=，则称这些多项式 nP t为切比雪夫多项式.例如：由coscosqq=可得切比雪夫多项式1()P xx=，由2cos22cos1qq=-可得切比雪夫多项式22()21P xx=-.(1)若切比雪夫多项式323()P xaxbxcx
31、d=+，求实数 a，b，c，d 的值；(2)对于正整数3n时，是否有 122nnnPxx PxPx-=-成立？(3)已知函数3()861f xxx=-在区间1,1-上有 3 个不同的零点，分别记为123,x xx，证明：1230 xxx+=.【答案】(1)4,0,3abdc=-(2)112nnnPxx PxPx+-=-成立(3)证明见解析【分析】（1）利用3coscos3cos 2Pqqqq=+展开计算，根据切比雪夫多项式可求得,a b d c；（2）要证原等式成立，只需证明cos1cos12coscosnnnqqqq+-=成立即可，利用两角和与差的余弦公式可证结论成立；（3）由已知可得方程3
32、1432xx-=在区间1,1-上有 3 个不同的实根，令cos,0,xq q=，结合（1）可是1cos32q=，可得12357cos,cos,cos999xxx=，计算可得结论.【详解】（1）依题意，223coscos3cos 2cos2 cossin2 sin2cos1 cos2sincosPqqqqqqqqqqqq=+=-=-3232coscos2 1 coscos4cos3cosqqqqqq=-=-，因此 3343P xxx=-，即32343axbxcxdxx+=-，则4,0,3abdc=-，（2）112nnnPxx PxPx+-=-成立.这个性质是容易证明的，只需考虑和差化积式cos1
33、cos12coscosnnnqqqq+-=.首先有如下两个式子：1coscoscoscossinsinnPnnnqqqqqqq+=+=-，1coscoscoscossinsinnPnnnqqqqqqq-=-=+，两式相加得，11coscos2coscos2coscosnnnPPnPqqqqqq-+=，将cosq替换为x，所以 112nnnPxx PxPx+-=-.所以对于正整数3n 时，有 122nnnPxx PxPx-=-成立.（3）函数 3861f xxx=-在区间1,1-上有 3 个不同的零点123,x xx，即方程31432xx-=在区间1,1-上有 3 个不同的实根，令cos,0,x
34、q q=，由 1知1cos32q=，而30,3q，则33q=或533q=或733q=，于是12357cos,cos,cos999xxx=，则1235742coscoscoscoscoscos999999xxx+=+=-+，而4233coscoscoscos2coscoscos999999399+=+-=，所以1230 xxx+=.5（2024浙江浙江模拟预测）模拟预测）已知实数0q，定义数列 na如下：如果2012222,0,1kkinxxxxx=+L，0,1,2,ik=L，则2012knkaxx qx qx q=+L(1)求7a和8a（用q表示）；(2)令12nnba-=，证明：211nni
35、iba-=；(3)若12q，证明：对于任意正整数n，存在正整数m，使得1nmnaaa+【答案】(1)23781,aqqaq=+=(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）观察题目条件等式中的系数可得答案；（2）112nnnbaq-=，分别计算1niib=和2 1na-可证明结论；（3）先根据112nnaq-=无上界说明存在正整数m，使得nmaa，分1m-是偶数和1m-是奇数分别说明.【详解】（1）因为27122=+，所以271aqq=+；因为382=，所以38aq=；（2）由数列 na定义得：112nnnbaq-=；所以2111nniibqqq-=+L而21211222nn-=+L，所以1
36、21211nnniiaqqqb-=+=L；（3）当12q设m是满足mnaa的最小正整数下面证明1mnaa+若1m-是偶数，设2121222,0,1,1,2,kkimxxxxik-=+=LL，则2121222kkmxxx=+L，于是212111kmkmax qx qx qa-=+=+L因为1nmaa-，所以111mmnaaa-=+若1m-是奇数，设2221122222llklkmxx+-=+LL，则 1222111 1111llllmmaaqqqqqqqqqqq+-=-+=-+-+LLL所以111mmnaaa-+综上所述，对于任意正整数n，存在正整数m，使得1nmnaaa+6（2024辽宁辽宁三
37、模）三模）若实数列 na满足*n N，有212nnnaaa+，称数列 na为“T数列”.(1)判断2,lnnnan bn=是否为“T数列”，并说明理由；(2)若数列 na为“T数列”，证明：对于任意正整数,k m n，且kmn，所以数列 na是“T数列”，因为22212lnln(2)2ln(1)ln2ln210nnnbbbnnnnnnn+-=+-+=+-+，所以数列 nb不是“T数列”；（2）令1nnncaa+=-，因为数列 na为“T数列”，所以212nnnaaa+从而211nnnnaaaa+-，所以1nncc+因为1kmn，所以 1121nnnnmmnmaaaaaaaanmnm-+-+-+
38、-=-L12()nnmmmcccnm ccnmnm-+-=-L，1121mmmmkkmkaaaaaaaamkmk-+-+-+-=-L1211()mmkmmcccmk ccmkmk-+-=-L因为1mmcc-，所以nmmkaaaanmmk-.（3）当1k=或 2024 时，kkkaaa-，从而20252023kkkMMaaaM-，当2,3,2023kL时，因为12024k，由第(2)问的结论得2024120241kkaaaakk-，可推得120242024120232023kkkaaa-+，从而1202412024202412024120241202320232023202320232023kk
39、kkkkkaaaaaMMM-+=对于1ik ，由第(2)问的结论得11kiiaaaakii-，从而1111(1)(),1111ikkikiaaaiaki aikkk-+=-+-=-也成立，从而11111111111(2)(1)(1)(2)(1)()112222kkkikkkiiikkk kkkaiaki aaaaakk-=-+-=+=+-对于2024ki ，所以要么11nnnMaM+=，要么11nnnmam+=时，有nnMm=，于是当0nn时，0nnnnnpMmaa=-=-，故当0nn时，0nnnapa=+，因此存在正整数0n，当0nn时，12nnnaaa+,，是等差数列综上，命题得证【点睛】
40、方法点睛：常见的数列求和的方法有公式法即等差等比数列求和公式，分组求和类似于nnncab=+，其中 na和 nb分别为特殊数列，裂项相消法类似于11nan n=+，错位相减法类似于nnncab=，其中 na为等差数列，nb为等比数列等.8（2024浙江绍兴浙江绍兴二模）二模）已知*kN，集合0101222,0,kiiikkXx xiii=+L其中01,ki iiN.(1)求2X中最小的元素；(2)设13122aX=+，1bX，且1abX+，求b的值；(3)记12,2k nk nkkYX+-+=，*nN，若集合kY中的元素个数为nb，求1112kmmmb+-=.【答案】(1)7(2)24b=或
41、10(3)2k【分析】（1）根据集合新定义，确定2X中最小的元素即可；（2）根据集合1X中的元素可得132210a=+=，设22jib=+，0,ij i j N，分别讨论当3j 时，当4j=时，当5j 时，b的取值情况，即可得结论；（3）设kxY，则01222kiiix=+，其中1kikn=+-，01101kiiikn-+-，所以1Cknk nb+-=，根据组合数的运算性质确定1kS+与kS的关系，即可求得1112kmmmb+-=的值.【详解】（1）2X中的最小元素为0122227+=.（2）由题得132210a=+=，设22jib=+，0,ij i j N.当3j 时，322212b=+=或
42、312210b=+=或30229b=+=或21226b=+=或20225b=+=或10223b=+=.经检验，当10b=时，422022ab+=+，符合题意，所以10b=.当4j=时，432224b=+=或422220b=+=或412218b=+=或402217b=+=.经检验，当24b=时，513422ab+=+，符合题意，所以24b=.当5j 时，不符合题意.因此，24b=或 10.（3）设kxY，则01222kiiix=+，其中1kikn=+-，01101kiiikn-+-，所以1Cknk nb+-=，设1112kmkmmbS+-=，则1222111CCCC222kkkkkkkkkkS+
43、=+.因为1111CCCkkknnn+-=+，所以1111111232122211111CCCCC2222kkkkkkkkkkkkkS+=+11111122222121211111CCCCCCCCC2222kkkkkkkkkkkkkkkkkkkk+=+12221211111CCCCC2222kkkkkkkkkkkk+=+111112221211111CCCC2222kkkkkkkkkk+1122211111CC222kkkkkkkkSS+=+-+.因为 1212221!22!21!21!11CC02!1!21!1!1!kkkkkkkkkkkkkk+-+-=-=+，所以1112kkkSSS+=+
44、，所以12kkSS+=，又因为11211C22S=+=，所以2kkS=.【点睛】方法点睛：解决以集合为背景的新定义问题，注意两点：（1）根据集合定义式，确定集合中元素的特点，结合指数运算确定指数的取值情况从而得集合kX中的元素性质；（2）确定集合kY中的元素个数为nb时，结合组合数的运算性质确定1112kmkmmbS+-=与1kS+的关系.9（2024山东潍坊山东潍坊二模）二模）数列 na中，从第二项起，每一项与其前一项的差组成的数列1nnaa+-称为 na的一阶差数列，记为 1na，依此类推，1na的一阶差数列称为 na的二阶差数列，记为 2na，如果一个数列 na的 p 阶差数列 pna是
45、等比数列，则称数列 na为 p 阶等比数列*pN(1)已知数列 na满足11a=，121nnaa+=+（）求 11a，12a，13a；（）证明：na是一阶等比数列；(2)已知数列 nb为二阶等比数列，其前 5 项分别为20 37 78 2151,9999，求nb及满足nb为整数的所有 n 值【答案】(1)（）112a=，124a=，138a=；（）证明见解析(2)当91,Nnkk=+时，nb为整数.【分析】（1）（）根据 1na的定义，结合通项公式求解即可；（）根据递推公式构造112nnnnaaaa+-=-即可证明；（2）由题意 nb的二阶等差数列(2)nb为等比数列，设公比为q，可得(2)1
46、243nnb-=，结合 11119b=进而可得124127nnbn-=-+，从而分析nb为整数当且仅当14127n-为整数，再根据二项展开式，结合整除的性质分析即可.【详解】（1）（）由11a=，121nnaa+=+易得2343,7,15aaa=，由一阶等差数列的定义得：21112aaa=-=，31224aaa=-=，41338aaa=-=.（）因为121nnaa+=+，所以当2n 时有121nnaa-=，所以1122nnnnaaaa+-=-，即112nnnnaaaa+-=-，即 1112,2nnaan-=，又因为11a=，故 1na是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，即 na是一阶等比数
47、列.（2）由题意 nb的二阶等差数列(2)nb为等比数列，设公比为q，则(2)123b=，4q=，所以(2)1243nnb-=.由题意 11119b=，所以 1111211111111124199nnkkkkknnbbbbb-+=-=-+=+，所以 11111111214127nnkkkkknnbbbnbb-+=+-+=-+，即124127nnbn-=-+.所以nb为整数当且仅当14127n-为整数.由已知1n=时符合题意，2,3,4,5n=时不合题意，当6n 时，1112233111111411 31C3C3C3C3nnnnnnnn-=+-=+L，所以原题等价于12113C9C27nn-+为
48、整数，因为121131113413C9C27182 9nnnnnn-+=，显然311n-含质因子 3，所以n1-必为 9 的倍数，设19,Nnkk-=，则91nk=+，将91nk=+代入式，当k为奇数时，311n-为偶数，式为 2 的倍数；当k为偶数时，n为奇数，n1-为偶数，式为 2 的倍数，又因为 2 与 9 互质，所以为整数.综上，当91,Nnkk=+时，nb为整数.【点睛】方法点睛：（1）新定义的题型需要根据定义列出递推公式，结合等比等差的性质求解；（2）考虑整除时，可考虑根据二项展开式进行讨论分析.10（2024贵州黔西贵州黔西一模）一模）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不
49、动点定理，它可运用到有限维空间并构成了一般不动点定理的基石，得名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔(L.E.J.Brouwer).简单地讲就是:对于满足一定条件的连续函数()f x，存在实数0 x，使得00f xx=，我们就称该函数为“不动点”函数，实数0 x为该函数的不动点.(1)求函数()23xf xx=+-的不动点;(2)若函数()lng xxb=-有两个不动点12,x x，且12xx，若212xx-，求实数b的取值范围.【答案】(1)2log 3(2)2222ln1e1e1b-【分析】（1）根据不动点定义求解即可；（2）根据题意问题转化为方程lnbxx=-有两个不等的实数根12,x x，令 l
50、nxxxj=-，利用导数判断单调性极值，可得1b，当1,x+时，0 xj，所以函数 xj在0,1上单调递增，在1,+上单调递减，11xjj=-，且0 x 时，xj-，x +时，xj-，作出 xj的大致图象如下：所以1b -，且21xx-的值随着b的值减小而增大，当212xx-=时，有1122lnlnbxxbxx=-=-，两式相减得2211ln2xxxx=-=，解得221exx=，即221exx=，代入212xx-=，解得122e1x=-，所以此时2222lne1e1b=-，所以满足题意的实数b的取值范围为2222ln1e1e1b-，证明：集合()Ax f xx=中有且仅有一个元素；(2)若 2