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1、2023年高考数学天津卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则（ ）A. 1,3,5B. 1,3C. 1,2,4D. 1,2,4,52. “a2=b2”是“a2+b2=2ab”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件3. 若，则a,b,c的大小关系为（ ）A. cabB. cbaC. abcD. bac4. 函数fx的图象如下图所示，则fx的解析式可能为（ ） A. 5exexx2+2B. C. 5ex+exx2+2D. 5. 已知函数fx的一条对称轴为直线，一个周期为4，则fx的解析式可能为（ ）
2、A. B. C. D. 6. 已知an为等比数列，Sn为数列an的前n项和，an+1=2Sn+2，则a4的值为（ ）A. 3B. 18C. 54D. 1527. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r=0.8245，下列说法正确的是（ ） A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.82458. 在三棱锥PABC中，线段PC上点M满足PM=13PC，线段PB上的点N满足，则三棱锥PAMN和三棱锥PABC的体积之比为（ ）A. 19B. 29C. D. 9.
3、双曲线x2a2y2b2(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P已知PF2=2，直线PF1的斜率为24，则双曲线的方程为（ ）A. x28y24=1B. x24y28=1C. x24y22=1D. x22y24=1二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10. 已知i是虚数单位，化简的结果为_11. 在2x31x6的展开式中，项的系数为_12. 过原点一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切，交曲线y2=2px(p0)于点P，若OP=8，则的值为_13. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白
4、球，其总数之比为5:4:6这三个盒子中黑球占总数的比例分别为现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_14. 在ABC中，A=60，BC=1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设AB=a,AC=b，则可用a,b表示为_；若BF=13BC，则的最大值为_15. 若函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为_三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在ABC中，角所对的边分別是a,b,c已知a=39,b=2,A=120（1）求sinB的值；（2）求c的值；（3）求sinBC17. 三棱台ABCA1
5、B1C1中，若A1A面，M,N分别是BC,BA中点. （1）求证：A1N /平面；（2）求平面与平面ACC1A1所成夹角的余弦值；（3）求点C到平面的距离 18. 设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右顶点分别为A1,A2，右焦点为F，已知（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形面积的二倍，求直线A2P的方程19. 已知an是等差数列，（1）求an的通项公式和（2）已知bn为等比数列，对于任意kN，若，则，（）当k2时，求证：；（）求bn的通项公式及其前n项和20. 已知函数（1）求曲线在处切线的斜率
6、；（2）当x0时，证明：fx1；（3）证明：2023年高考数学天津卷一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合，则（ ）A. 1,3,5B. 1,3C. 1,2,4D. 1,2,4,5【答案】A【解析】由UB=3,5，而，所以UBA=1,3,5.故选：A2. “a2=b2”是“a2+b2=2ab”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分又不必要条件【答案】B【解析】由a2=b2，则a=b，当a=b0时a2+b2=2ab不成立，充分性不成立；由a2+b2=2ab，则(ab)2=0，即a=b，显然a2=b2成立，必要性成立
7、；所以a2=b2是a2+b2=2ab的必要不充分条件.故选：B3. 若，则a,b,c的大小关系为（ ）A. cabB. cbaC. abcD. bac【答案】D【解析】由y=1.01x在R上递增，则a=1.010.5c=0.60.5.所以bac.故选：D4. 函数fx的图象如下图所示，则fx的解析式可能为（ ） A. 5exexx2+2B. C. 5ex+exx2+2D. 【答案】D【解析】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且f(2)=f(2)0时5(exex)x2+20、5(ex+ex)x2+20，即A、C中(0,+)上函数值为正，排除；故选：D5. 已知函数fx的一条对称轴为直线，
8、一个周期为4，则fx的解析式可能为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】由函数的解析式考查函数的最小周期性：A选项中T=22=4，B选项中T=22=4，C选项中T=24=8，D选项中T=24=8，排除选项CD，对于A选项，当时，函数值sin22=0，故2,0是函数的一个对称中心，排除选项A，对于B选项，当时，函数值cos22=1，故是函数的一条对称轴，故选：B.6. 已知an为等比数列，Sn为数列an的前n项和，an+1=2Sn+2，则a4的值为（ ）A. 3B. 18C. 54D. 152【答案】C【解析】由题意可得：当n=1时，a2=2a1+2，即a1q=2a1+2， 当n=2时
9、，a3=2a1+a2+2，即a1q2=2a1+a1q+2， 联立可得a1=2,q=3，则a4=a1q3=54.故选：C.7. 调查某种群花萼长度和花瓣长度，所得数据如图所示，其中相关系数r=0.8245，下列说法正确的是（ ） A. 花瓣长度和花萼长度没有相关性B. 花瓣长度和花萼长度呈现负相关C. 花瓣长度和花萼长度呈现正相关D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8245【答案】C【解析】根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，A选项错误散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现正相关性，B选项错误，C选项正确；由于r=0.8245是全部数据的相关系数
10、，取出来一部分数据，相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定是0.8245，D选项错误故选：C8. 在三棱锥PABC中，线段PC上点M满足PM=13PC，线段PB上的点N满足，则三棱锥PAMN和三棱锥PABC的体积之比为（ ）A. 19B. 29C. D. 【答案】B【解析】如图，分别过M,C作MMPA,CCPA,垂足分别M,C.过B作BB平面PAC，垂足为B，连接PB,过N作NNPB,垂足为N. 因为BB平面PAC，BB平面PBB，所以平面PBB平面PAC.又因为平面PBB平面PAC=PB，NNPB，NN平面PBB，所以NN平面PAC，且BB/NN.在中，因为MMPA,CCPA
11、，所以MM/CC，所以PMPC=MMCC=13，在PBB中，因为BB/NN，所以PNPB=NNBB=23，所以VPAMNVPABC=VNPAMVBPAC=13SPAMNN13SPACBB=1312PAMMNN1312PACCBB=29.故选：B9. 双曲线x2a2y2b2(a0,b0)的左、右焦点分别为F1、F2过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P已知PF2=2，直线PF1的斜率为24，则双曲线的方程为（ ）A. x28y24=1B. x24y28=1C. x24y22=1D. x22y24=1【答案】D【解析】如图， 因为F2c,0，不妨设渐近线方程为y=bax，即，所以PF2=bca2+
12、b2=bcc=b，所以b=2.设POF2=,则tan=PF2OP=bOP=ba，所以OP=a，所以OF2=c.因为12ab=12cyP,所以yP=abc，所以tan=yPxP=abcxP=ba，所以xP=a2c，所以Pa2c,abc，因为F1c,0，所以kPF1=abca2c+c=aba2+c2=2aa2+a2+4=aa2+2=24，所以2a2+2=4a，解得a=2，所以双曲线的方程为x22y24=1，故选：D二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分10. 已知i是虚数单位，化简的结果为_【答案】4+i #i+4【解析】由题意可得5
13、+14i2+3i=5+14i23i2+3i23i=52+13i13=4+i.故答案为：4+i.11. 在2x31x6的展开式中，项的系数为_【答案】60【解析】展开式的通项公式Tk+1=C6k2x36k1xk=1k26kC6kx184k，令184k=2可得，k=4，则项的系数为14264C64=415=60.故答案为：60.12. 过原点一条直线与圆C:(x+2)2+y2=3相切，交曲线y2=2px(p0)于点P，若OP=8，则的值为_【答案】6【解析】易知圆x+22+y2=3和曲线y2=2px关于x轴对称，不妨设切线方程为y=kx，k0，所以2k1+k2=3，解得：k=3，由y=3xy2=2
14、px解得：x=0y=0或x=2p3y=23p3，所以OP=2p32+23p32=4p3=8，解得：p=6当k=3时，同理可得故答案为：613. 甲乙丙三个盒子中装有一定数量的黑球和白球，其总数之比为5:4:6这三个盒子中黑球占总数的比例分别为现从三个盒子中各取一个球，取到的三个球都是黑球的概率为_；将三个盒子混合后任取一个球，是白球的概率为_【答案】 . 0.05 . 35#0.6【解析】设甲、乙、丙三个盒子中的球的个数分别为5n,4n,6n，所以总数为15n，所以甲盒中黑球个数为40%5n=2n，白球个数为3n；甲盒中黑球个数为25%4n=n，白球个数为3n；甲盒中黑球个数为50%6n=3n
15、，白球个数为3n；记“从三个盒子中各取一个球，取到的球都是黑球”为事件A，所以，PA=0.40.250.5=0.05；记“将三个盒子混合后取出一个球，是白球”为事件B，黑球总共有2n+n+3n=6n个，白球共有9n个，所以，PB=9n15n=35故答案为：0.05；3514. 在ABC中，A=60，BC=1，点D为AB的中点，点E为CD的中点，若设AB=a,AC=b，则可用a,b表示为_；若BF=13BC，则的最大值为_【答案】 . 14a+12b . 1324【解析】空1：因为E为CD的中点，则ED+EC=0，可得AE+ED=ADAE+EC=AC，两式相加，可得到2AE=AD+AC，即2AE
16、=12a+b，则AE=14a+12b；空2：因为BF=13BC，则2FB+FC=0，可得AF+FC=ACAF+FB=AB，得到AF+FC+2AF+FB=AC+2AB，即3AF=2a+b，即AF=23a+13b.于是AEAF=14a+12b23a+13b=1122a2+5ab+2b2.记AB=x,AC=y，则AEAF=1122a2+5ab+2b2=1122x2+5xycos60+2y2=1122x2+5xy2+2y2，在ABC中，根据余弦定理：BC2=x2+y22xycos60=x2+y2xy=1，于是AEAF=1122xy+5xy2+2=1129xy2+2，由x2+y2xy=1和基本不等式，x
17、2+y2xy=12xyxy=xy，故xy1，当且仅当x=y=1取得等号，则x=y=1时，有最大值1324.故答案为：14a+12b；1324. 15. 若函数有且仅有两个零点，则a的取值范围为_【答案】,00,11,+【解析】（1）当x2ax+10时，a1x2+a2x1=0，即a1x1x+1=0，若a=1时，x=1，此时x2ax+10成立；若a1时，x=1a1或x=1，若方程有一根为x=1，则1+a+10，即a2且a1；若方程有一根为x=1a1，则1a12a1a1+10，解得：a2且a1；若x=1a1=1时，a=0，此时1+a+10成立（2）当x2ax+10时，a+1x2a+2x+1=0，即a
18、+1x1x1=0，若a=1时，x=1，显然x2ax+10不成立；若a1时，x=1或x=1a+1，若方程有一根为x=1，则1a+12；若方程有一根x=1a+1，则1a+12a1a+1+10，解得：a2；若x=1a+1=1时，a=0，显然x2ax+10不成立；综上，当a2时，零点为1a+1，1a1；当2a2时，零点为1,1所以，当函数有两个零点时，a0且a1故答案为：,00,11,+三、解答题：本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16. 在ABC中，角所对的边分別是a,b,c已知a=39,b=2,A=120（1）求sinB的值；（2）求c的值；（3）求sinBC【答案】
19、（1）1313 （2）5 （3）7326【解析】【1】由正弦定理可得，asinA=bsinB，即39sin120=2sinB，解得：sinB=1313；【2】由余弦定理可得，a2=b2+c22bccosA，即39=4+c222c12，解得：c=5或c=7（舍去）【3】由正弦定理可得，asinA=csinC，即39sin120=5sinC，解得：sinC=51326，而A=120，所以B,C都为锐角，因此cosC=12552=33926，cosB=1113=23913，故sinBC=sinBcosCcosBsinC=1313339262391351326=732617. 三棱台ABCA1B1C1
20、中，若A1A面，M,N分别是BC,BA中点. （1）求证：A1N /平面；（2）求平面与平面ACC1A1所成夹角的余弦值；（3）求点C到平面的距离【答案】（1）证明见解析 （2） （3）43【解析】【1】 连接MN,C1A.由M,N分别是BC,BA的中点，根据中位线性质，MN /AC，且MN=AC2=1，由棱台性质，A1C1/AC，于是MN /A1C1，由MN=A1C1=1可知，四边形MNA1C1是平行四边形，则A1N /MC1，又A1N平面，MC1平面，于是A1N /平面.【2】过M作MEAC，垂足为E，过E作EFAC1，垂足为F,连接MF,C1E.由ME面ABC，A1A面ABC，故AA1M
21、E，又MEAC，平面ACC1A1，则ME平面ACC1A1.由AC1平面ACC1A1，故MEAC1，又EFAC1，MEEF=E，ME,EF平面MEF，于是AC1平面MEF，由MF平面MEF，故AC1MF.于是平面与平面ACC1A1所成角即MFE.又ME=AB2=1，cosCAC1=15，则sinCAC1=25，故EF=1sinCAC1=25，在RtMEF中，MEF=90，则MF=1+45=35，于是cosMFE=EFMF=23 【3】方法一：几何法 过C1作，垂足为P，作C1QAM，垂足为Q，连接，过P作PRC1Q，垂足为.由题干数据可得，C1A=C1C=5，C1M=C1P2+PM2=5，根据勾
22、股定理，C1Q=5222=322，由C1P平面AMC，AM平面AMC，则，又C1QAM，C1QC1P=C1，C1Q,C1P平面C1PQ，于是AM平面C1PQ.又PR平面C1PQ，则PRAM，又PRC1Q，C1QAM=Q，C1Q,AM平面，故PR平面在RtC1PQ中，PR=PC1PQQC1=222322=23，又CA=2PA，故点C到平面的距离是P到平面的距离的两倍，即点C到平面的距离是43.方法二：等体积法 辅助线同方法一.设点C到平面的距离为.VC1AMC=13C1PSAMC=1321222=23，VCC1MA=13SAMC1=13122322=2.由VC1AMC=VCC1MA2=23，即=
23、43.18. 设椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)的左右顶点分别为A1,A2，右焦点为F，已知（1）求椭圆方程及其离心率；（2）已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合），直线A2P交y轴于点Q，若三角形A1PQ的面积是三角形面积的二倍，求直线A2P的方程【答案】（1）椭圆的方程为，离心率为e=12. （2）y=62x2.【解析】【1】如图， 由题意得a+c=3ac=1，解得a=2,c=1，所以b=2212=3，所以椭圆的方程为，离心率为e=ca=12.【2】由题意得，直线A2P斜率存在，由椭圆的方程为可得A22,0，设直线A2P的方程为y=kx2，联立方程组x24+y23=1y=kx2，消去y
24、整理得：3+4k2x216k2x+16k212=0，由韦达定理得xA2xP=16k2123+4k2，所以xP=8k263+4k2，所以P8k263+4k2,12k3+4k2，Q0,2k.所以SA2QA1=124yQ,SA2PF=121yP,SA1A2P=124yP，所以SA2QA1=SA1PQ+SA1A2P=2SA2PF+SA1A2P，所以2yQ=3yP，即22k=312k3+4k2，解得k=62，所以直线A2P的方程为y=62x2.19. 已知an是等差数列，（1）求an的通项公式和（2）已知bn为等比数列，对于任意kN，若，则，（）当k2时，求证：；（）求bn的通项公式及其前n项和【答案】
25、（1）an=2n+1，i=2n12n1ai=34n1； （2）()证明见解析；()bn=2n，前n项和为2n+12.【解析】【1】由题意可得a2+a5=2a1+5d=16a5a3=2d=4，解得a1=3d=2，则数列an的通项公式为an=a1+n1d=2n+1，求和得i=2n12n1ai=i=2n12n12i+1=2i=2n12n1i+2n12n1+1=22n1+2n1+1+2n1+2+2n1+2n1=22n1+2n12n12+2n1=34n1.【2】()由题意可知，当时，bkan，取n=2k1，则bka2k1=22k1+1=2k+1，即bk2k+1，当2k2n2k11时，anbk，取n=2k
26、11，此时an=a2k11=22k11+1=2k1，据此可得2k1bk，综上可得：.()由()可知：，2k+11bk+12k+1+1则数列bn的公比q满足2k+112k+1=232k+1q=bk+1bk2k+1+12k1=2+32k1，当kN,k+时，232k+12,2+32k12，所以q=2，所以2k1b12k12k+1，即2k12k1=212k1b10时，证明：fx1；（3）证明：【答案】（1）13ln34 （2）证明见解析 （3）证明见解析【解析】【1】f(x)=ln(x+1)x+ln(x+1)2，则f(x)=1x(x+1)+12(x+1)ln(x+1)x2，所以f(2)=13ln34，
27、故处的切线斜率为13ln34；【2】要证x0时，即证lnx+12xx+2，令且x0，则g(x)=1x+14(x+2)2=x2(x+1)(x+2)20，所以g(x)在(0,+)上递增，则g(x)g(0)=0，即lnx+12xx+2.所以x0时fx1.【3】设，nN，则，由（2）知：x=1n(0,1，则f(1n)=(n+12)ln(1+1n)1，所以(n+1)(n)56，令(x)=lnx(x+5)(x1)4x+2且x0，则(x)=(x1)2(1x)x(2x+1)2，当0x0，(x)递增，当x1时(x)0，(x)递减，所以(x)(1)=0，故在x0,+上lnx(x+5)(x1)4x+2恒成立，则，所以(2)(3)112(112)，(3)(4)112(1213)，(n1)(n)112(1n21n1)，累加得：(2)(n)34ln2，所以(2)=232ln256，则(n)112(11n1)2+32ln2n3，所以(1)(n)32ln21+112(11n1)32ln21+11256n3；综上，56(n)1，即.