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1、1.2 1.2 怎样判定三角形相似怎样判定三角形相似第第5 5课时课时1.1.能应用相似三角形的有关知识解决一些实际问题能应用相似三角形的有关知识解决一些实际问题.2.2.进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问进一步了解数学建模的思想，培养分析问题、解决问题的能力题的能力.基本图形归纳基本图形归纳平行型平行型A A型图型图X X型图型图斜截型斜截型解决实际应用问题的关键是根据题意画出图形，或在图中解决实际应用问题的关键是根据题意画出图形，或在图中找出基本图形，便于解题找出基本图形，便于解题.眼睛在生活中具有非常重要的作用，有它可以欣赏美丽的眼睛在生活中具有非常重要的作用，有它可以欣赏美
2、丽的大好河山，有它可以辨别是非黑白，有它可以传达你对同大好河山，有它可以辨别是非黑白，有它可以传达你对同学们的友爱，学们的友爱，但是你有没有想过人眼的视线在相似，但是你有没有想过人眼的视线在相似三角形中还有非常重要的作用三角形中还有非常重要的作用.例例1 1 据史料记载，古希腊数学家、据史料记载，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔两个相似三角形，来测量金字塔的高度的高度.如图，如果木杆如图，如果木杆EFEF长长2m2m，
3、它的影长它的影长FDFD为为3m3m，测得，测得OAOA为为201m201m，求金字塔的高度，求金字塔的高度BO.BO.如何测出如何测出OAOA的的长？长？【例题例题】因此金字塔的高为因此金字塔的高为134m.134m.解析：解析：太阳光是平行光线，太阳光是平行光线，因此因此BAO=EDFBAO=EDF，又又 AOB=DFE=90AOB=DFE=90，ABODEFABODEF例例2 2 如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一如图为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点个目标点P P，在近岸取点，在近岸取点Q Q和和S S，使点，使点P P，Q Q，S S共线且直线共线且直线PSP
4、S与河垂直，接着在过点与河垂直，接着在过点S S且与且与PSPS垂直的直线垂直的直线a上选择适当上选择适当的点的点T T，连接，连接PTPT，与过点，与过点Q Q且垂且垂直直PSPS的直线的直线b b交于点交于点R R，如果测得，如果测得QS=45mQS=45m，ST=90mST=90m，QR=60m.QR=60m.求河的宽度求河的宽度PQ.PQ.PQRSTba解析：解析：PQR=PST=90PQR=PST=90，P=P,P=P,PQRPST.PQRPST.PQPQ90=(PQ+45)90=(PQ+45)6060，解得解得PQ=90.PQ=90.因此河宽大约为因此河宽大约为90m.90m.如图
5、，测得如图，测得BD=120mBD=120m，DC=60mDC=60m，EC=50mEC=50m，求河宽，求河宽AB.AB.解析：解析：B=C=90B=C=90，ADB=EDCADB=EDC，ABDECDABDECD，AB=50AB=501201206060 =100 =100（m m）ABDCE【跟踪训练跟踪训练】例例3 3 如图左、右并排的两棵大树的高如图左、右并排的两棵大树的高分别是分别是AB=8mAB=8m和和CD=12mCD=12m，两树根部的距，两树根部的距离离BD=5mBD=5m，一个身高，一个身高1.6m1.6m的人沿着正对的人沿着正对这两棵树的一条水平直路这两棵树的一条水平直
6、路l从左向右前进，从左向右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点就不能看到右边较高的树的顶端点C C？设观察者眼睛的位置（视点）设观察者眼睛的位置（视点）为为F F，CFKCFK和和AFHAFH分别是分别是观察点观察点C C、A A时的仰角，区域时的仰角，区域和区域和区域都在观察者看不到都在观察者看不到的区域（盲区）之内的区域（盲区）之内.【例题例题】解析：解析：假设观察者从左向右走到点假设观察者从左向右走到点E E时，他的眼睛的位置时，他的眼睛的位置点点F F与两棵树的顶端点与两棵树的顶端点A A、C C恰在一条直线上恰在
7、一条直线上.ABABl，CDCDl ，ABCDABCD，AFHCFKAFHCFK，FHFK=AHFHFK=AHCKCK，即即解得解得FH=8.FH=8.当他与左边较低的树的距离小当他与左边较低的树的距离小于于8m8m时，就不能看到右边较高时，就不能看到右边较高的树的顶端点的树的顶端点C.C.为了测量一池塘的宽为了测量一池塘的宽AB,AB,在岸边找到了一点在岸边找到了一点C,C,使使ACACABAB，在在ACAC上找到一点上找到一点D D，在，在BCBC上找到一点上找到一点E,E,使使DEDEACAC，测出，测出AD=35mAD=35m，DC=35mDC=35m，DE=30m,DE=30m,那么
8、你能算出池塘的宽那么你能算出池塘的宽ABAB吗吗?ABCDE【跟踪训练跟踪训练】解析：解析：因为因为 ACBACBDCE,DCE,所以所以ABCDEC ABCDEC，答：池塘的宽答：池塘的宽ABAB为为60 m60 m CABCABCDE=90CDE=90,A AB BC CD DE E，利用相似三角形测量瓶子的内径利用相似三角形测量瓶子的内径学具准备：等长的两根小木棒，橡皮筋，玻璃瓶，刻度尺学具准备：等长的两根小木棒，橡皮筋，玻璃瓶，刻度尺过程：两人合作先把两根小木棒用橡皮筋捆好，然后将等过程：两人合作先把两根小木棒用橡皮筋捆好，然后将等长的两根小木棒的一端放进瓶子里，使两根小木棒抵住瓶长的
9、两根小木棒的一端放进瓶子里，使两根小木棒抵住瓶底并紧靠瓶子的边缘，再用刻度尺测出小木棒另两端的距底并紧靠瓶子的边缘，再用刻度尺测出小木棒另两端的距离构造相似并计算瓶子内径离构造相似并计算瓶子内径【解析解析】设点设点O O将两根小木棒都分成了将两根小木棒都分成了两段，比值为两段，比值为 如果我们测出线段如果我们测出线段ABAB的长度为的长度为m m，根据，根据AOBDOCAOBDOC，我，我们就可以求出内径们就可以求出内径CDCD的长度了，即的长度了，即CD=CD=mnmn【规律方法规律方法】相似三角形的性质是我们常常用来证明线段相似三角形的性质是我们常常用来证明线段等积式的重要方法，也是我们用
10、来求线段的长度与角度相等积式的重要方法，也是我们用来求线段的长度与角度相等的重要方法等的重要方法如图，已知如图，已知ACBACB的边的边ABAB、ACAC上的两点上的两点D D、E E，且，且ADE=CADE=C，求证：求证：ADADAB=AEAB=AEACAC【证明证明】ADE=CADE=C，A=AA=A，ADEADEACBACB（如果一个三角形的两个角（如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似），两个三角形相似），ADADAC=AEAC=AEABAB，即即ADADAB=AEAB=AEACAC1.1.（乐山（乐山中考）某
11、校数学兴趣小组为测量学校旗杆中考）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆ACAC的高度，在点的高度，在点F F处竖立一根长为处竖立一根长为1.5m1.5m的标杆的标杆DFDF，如图所，如图所示，量出示，量出DFDF的影子的影子EFEF的长度为的长度为1m1m，再量出旗杆，再量出旗杆ACAC的影子的影子BCBC的长度为的长度为6m6m，那么旗杆，那么旗杆ACAC的高度为（的高度为（）A.6m B.7m C.8.5m D.9mA.6m B.7m C.8.5m D.9mD D2.2.某校宣传栏后面某校宣传栏后面2m2m处种了一排树，每隔处种了一排树，每隔2m2m一棵，共种一棵，共种了了6 6棵，小勇站在距宣
12、传栏中间位置的垂直距离棵，小勇站在距宣传栏中间位置的垂直距离3m3m处，正处，正好看到两端的树，其余的好看到两端的树，其余的4 4棵均被挡住，那么宣传栏的棵均被挡住，那么宣传栏的长为长为_m(_m(不计宣传栏的厚不计宣传栏的厚).).6 63.3.（内江（内江中考）如图，为了测量某中考）如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为棵树的高度，小明用长为2m2m的竹竿做的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点顶端的影子恰好落在地面的同一点.此此时，竹竿与这一点距离相距时，竹竿与这一点距离相距6m6m，与树，与树相距相距15m15m，则树的高
13、度为，则树的高度为_m._m.4.4.（德州（德州中考）如图，小明在中考）如图，小明在A A时测时测得某树的影长为得某树的影长为2m2m，B B时又测得该树的时又测得该树的影长为影长为8m8m，若两次日照的光线互相垂，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为直，则树的高度为_m._m.A时B时7 74 45.5.（衡阳（衡阳中考）如图，已知零件的外径为中考）如图，已知零件的外径为25mm25mm，现用，现用一个交叉卡钳（两条尺长一个交叉卡钳（两条尺长ACAC和和BDBD相等，相等，OC=ODOC=OD）量零件）量零件的内孔直径的内孔直径ABAB若若OCOA=12OCOA=12，量得，量得CDCD
14、10mm10mm，则零，则零件的厚度件的厚度x=x=mmmm2.52.5A AB BAAB32cm32cm20cm20cm6.6.如图：与小孔如图：与小孔O O相距相距32cm32cm处有一支长处有一支长30cm30cm燃烧的蜡烛燃烧的蜡烛ABAB，经小孔，在与小孔相距经小孔，在与小孔相距20cm20cm的屏幕上成像，求像的屏幕上成像，求像ABAB的的长度长度.O O【解析解析】根据题意根据题意,得得:ABOABOABOABO过点过点O O作作ABAB、ABAB的垂线，垂的垂线，垂足分别为、足分别为、，则由三角，则由三角形相似，得形相似，得A AC CB BA ABC C32cm20cm20cmOO即即解得：解得：ABAB18.75(cm).18.75(cm).答：答：像像ABAB的长度为的长度为18.75cm.18.75cm.在应用相似的相关知识解决实际问题时，要在应用相似的相关知识解决实际问题时，要利用平行、垂直等辅助线构造相似三角形，将利用平行、垂直等辅助线构造相似三角形，将实际问题转化为相应的数学模型实际问题转化为相应的数学模型.智慧的可靠标志就是能够在平凡中发现奇迹。爱默生