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1、相似三角形的相关概念相似三角形的相关概念l三个角对应相等,三条边对应成比例的两个三角形, 叫做相似三角形(similar trianglec)l相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例.l相似比等于1的两个三角形全等.l注意：l要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.l反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！l由于相似三角形与其位置无关,因此,能否弄清对应是正确解答的前提和关键.判定三角形相似的方法判定三角形相似的方法l判定两个三角形相似的方法判定两个三角形相似的方法:l两角对应相等的两个三角形相似两角对应相等的两个三角形相似.l三边对应成比例的两个三角形相似三边对应成比例的两个三角
2、形相似. 类比三角形全等的判定方法类比三角形全等的判定方法: 边角边边角边(SAS);角边角角边角(ASA);角角边角角边(AAS);边边边边边边(SSS);斜边直角边斜边直角边(HL). 你还能得出判定三角形相似的其它方法吗你还能得出判定三角形相似的其它方法吗?相似与全等类比相似与全等类比新化旧新化旧由角边角(ASA)、角角边(AAS)可知,有两个角对应相等的两个三角形相似;由边边边(SSS)可知:有三边对应成比例的两个三角形相似;由边角边(SAS)可猜想:两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似;由斜边直角边(HL)可猜想:斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.我们已经把前两个猜想变
3、为现实,剩余的还有问题吗？问题三问题三:如果 ABC与 ABC有一个角相等,且两边对应成比例,那么它们一定相似吗?(1)如果这个角是这两边的夹角,那么它们一定相似吗?我们一起来动手:画 ABC与ABC使A=A,设法比较B 与B的大小,C与C的大小. ABC与ABC相似吗?说说你的理由.改变k值的大小(如1 3),再试一试.通过上面的活动,你猜出了什么结论?).23(如给定的值都等于和kCAACBAAB判定三角形相似的方法判定三角形相似的方法 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似. .如图,在 ABC与ABC中,如果那么 ABCABC(两边对应成比例且
4、夹角相等的两个三角形相似.)CBAA B C.CAACBAABw这又是一个用来判定两个三角形相似的方法,但使用频率不是很高,务必引起重视.且A=A,图中的ABCABC,你还能用其它方法来说明其正确性吗?且A=A=450,ABCABC(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.)CBAA B C解法2: 如图,设小正方形的边长为1,由勾股定理可得:. 2CAACBAAB;22, 8ACAB;2, 4CABA 问题四:在Rt ABC与Rt ABC中, C= C=900,如果有一直角边和斜边对应成比例,那么它们一定相似吗? 我们一起来动手: 画 ABC与 ABC,使 设法比较B 与B的大小,A与A的
5、大小. Rt ABC与Rt ABC相似吗?说说你的理由. 改变k值的大小(如1 3),再试一试. 通过上面的活动,你猜出了什么结论?).23(如给定的值都等于和kBAABCAAC 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似似. . 如图,在RtABC与RtABC中,如果那么ABCABC, (斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似.)CBAABC.CAACBAABw这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法这是一个用来判定两个直角三角形相似的方法,务必务必引起重视引起重视. 我们重新来看问题三: 如果 ABC与 DEF有一个角相等,且两边对应成比例,那么它们一
6、定相似吗? (2).如果这个角是这两边中一条边的对角,那么它们一定相似吗? 小明和小颖分别画出了下面的 ABC与 DEF: 通过上面的活动,你猜出了什么结论? 两边对应成比例两边对应成比例,且其中且其中一边的对角对应相等的一边的对角对应相等的两个三角形不一定相似。两个三角形不一定相似。ABC5003.2cm4cm2cmDFE5001.6cm 判定三角形相似的常用方法判定三角形相似的常用方法: : 两角对应相等的两个三角形相似. 三边对应成比例的两个三角形相似. 两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似. 斜边直角边对应成比例的两个直角三角形相似. 相似三角形的各对应角相等,各对应边对应成比例
7、. 相似三角形对应高的比,对应角平分线的比,对应中线的比,对应周长的比都等于相似比. 如图: 在 ABC和 DEF中 ，如果A=D, B=E,那么 ABC DEF.ABCDEFw那么 ABC DEF.DFACEFBCDEAB如果.DFACDEAB如果且A=D， w那么 ABC DEF.两角分别相等的两个三角形相似。两角分别相等的两个三角形相似。两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似三边成比例的两个三角形相似三边成比例的两个三角形相似在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本在上一节中，我们探索了三角形相似的条件，本节课我们将对它们进行证明。节课我们将对它们进行
8、证明。定义判定定义判定相似三角形判定定理的证明相似三角形判定定理的证明定理定理 两角分别相等的两个三角形相似两角分别相等的两个三角形相似ABCA/B/C/已知：如图，在已知：如图，在ABC和和A/B/C/中，中，A=A/, B=B/.求证：求证：ABCA/B/C/.证明：在证明：在ABC的边的边AB（或它的延长线）上截取（或它的延长线）上截取AD=A/B/,过过点点D作作BC的平行线，交的平行线，交AC于点于点E（如图），则（如图），则ADE=B, AED=CACAEABAD（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例）线段成比
9、例）过点过点D作作AC的平行线，交的平行线，交BC于点于点F,则则CBCFABAD（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应（平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的对应线段成比例）线段成比例）DEBC,DFAC四边形DFCE是平行四边形DE=CFCBCFACAECBDEACAEBCDEACAEABAD而ADE=B, DAE=BAC, AED=CADEABCA=A/, ADE=B=B/,AD=A/B/ADE A/B/C/ABCA/B/C/定理定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似两边成比例且夹角相等的两个三角形相似已知：如图，已知：如图，在在ABC和和A/B/C/中，中， A=
10、A/, /CAACBAAB求证：求证：ABCA/B/C/.证明：在证明：在ABC的边的边AB（或它的延长线）上截取（或它的延长线）上截取AD=A/B/,过过点点D作作BC的平行线，交的平行线，交AC于点于点E（如图）（如图），则则B=ADE, C=AEDABCADE（两角分别相等的两个三角形相似）（两角分别相等的两个三角形相似）AEACADAB/,BAADCAACBAAB/CAACADAB/CAACAEACAE=A/C/而A=A/ADE A/B/C/ABCA/B/C/定理定理 三边成比例的两个三角形相似三边成比例的两个三角形相似已知：如图，在已知：如图，在ABC和和A/B/C/中，中， /CA
11、ACCBBCBAAB求证：求证：ABCA/B/C/.证明：在证明：在ABC的边的边AB,AC（或它们的延长线）上分别截取（或它们的延长线）上分别截取AD=A/B/,AE=A/C/,连接连接DE./,CAAEBAADCAACBAABAEACADAB而而BAC=DAEABCADE（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）/,BAADCBBCBAAB又/CBBCADAB/CBBCDEBCDE=B/C/ADE A/B/C/ABCA/B/C/DEBCADABBCAEDF如图，如图，ADBCADBC于点于点D D， CEABCEAB于点于点 E E ，且交，且交ADA
12、D于于F F，你能从中找出几对相似三角形？，你能从中找出几对相似三角形？BCAEDF如图，如图，ADBCADBC于点于点D D， CEAB CEAB于点于点 E E ，且交，且交ADAD于于F F，你能从中找出几对相似三角形？，你能从中找出几对相似三角形？BCAEDF如图，如图，ADBCADBC于点于点D D， CEAB CEAB于点于点 E E ，且，且交交ADAD于于F F，你能从中找出几对相似三角形？，你能从中找出几对相似三角形？BCAEDF如图，如图，ADBCADBC于点于点D D， CEABCEAB于点于点 E E ，且，且交交ADAD于于F F，你能从中找出几对相似三角形？，你能从中找出几对相似三角形？通过本节课的学习你有什么收获和体会？你还有什么困惑？ 本 课 小 结