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1、山东省潍坊市2022-2023学年高二下学期期末数学试题（含解析）高二数学一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知等差数列中，则( )A 1B. 2C. 3D. 42. 已知直四棱柱的高为1，其底面四边形水平放置的斜二测直观图为平行四边形，则该直四棱柱的体积为( )A. B. C. 2D. 43. 在空间直角坐标系中，原点，已知点，则( )A. 点关于点的对称点为B. 点关于轴的对称点为C. 点关于轴的对称点为D. 点关于平面的对称点为4. 已知为正项等比数列，若，则( )A. 6B. 4C. 2D. 5. 设，是两条
2、不同的直线，是两个不同的平面，则( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则6. 设，是各项均不为零的等差数列，且公差，若将此数列删去得到的新数列(按原来的顺序)是等比数列，则的值为( )A. B. C. D. -17. 若数列的前项积，则的最大值与最小值的和为( )A. B. C. 2D. 38. 如图，在直三棱柱中，四边形是边长为1的正方形，是上的一个动点，过点作平面平面，记平面截四棱锥所得图形的面积为，平面与平面之间的距离为，则函数的图象大致是( ) A B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部
3、选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9. 已知为等差数列的前项和，若，则( )A. 数列的公差为B. C. D. 数列为递减数列10. 已知某圆锥的顶点为，其底面半径为，侧面积为，若，是底面圆周上的两个动点，则( )A. 圆锥的母线长为2B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为C. 与圆锥底面所成角大小为D. 面积的最大值为11. 斐波那契数列又称黄金分割数列，因数学家列昂纳多斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”斐波那契数列用递推的方式可如下定义：用表示斐波那契数列的第项，则数列满足：，记是数列的前项和，则( )A. B. C. D. 12. 如图，四个半径为2的实心小球
4、两两相切，则( ) A. 这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个半径为的小球B. 这四个实心小球所形成的空隙内可以放入一个棱长为的正方体C. 存在一个侧面积为的圆柱可以放进这四个实心小球所形成的空隙内D. 这四个实心小球可以放入一个半径为的大球内部三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置13. 如图，在正方体中，与垂直的面对角线可以是_(写出一条即可)14. 已知数列满足，则_.15. 在四棱锥中，为等边三角形，且平面平面，记直线与平面所成的角为，二面角的大小为，则_(填“”“”“” “” “”).【答案】【解析】【分析】根据面面垂直得出线面垂直，再应用线
5、面角及面面角定义求解即可.【详解】 取DC中点O，连接PO，侧面PCD是边长为2等边三角形，平面平面ABCD，平面平面,平面，平面ABCD与平面所成的角为,，取，交AD于点T,连接是二面角的平面角,，.故答案为：.16. 如图，将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的那个数称为某行某列的元素，记作，如第2行第4列的数是15，记作，则有序数对是_. 【答案】(985,211)【解析】【分析】根据已知图形中数排列的次序，归纳后分析出数的排列规律，当为奇数时，第列及第行的数据将按从上到下，从右到左的顺序排列，当为偶数时，第列及第行的数据将按从左到右，从下到上的顺序排列，即可找到求某行某列数的方法，
6、从而可求得答案.【详解】观察图表可知，当为奇数时，第列及第行的数据将按从上到下，从右到左的顺序排列，即逐渐增大，且，当为偶数时，第列及第行的数据将按从左到右，从下到上的顺序排列，即逐渐增大，且， 所以，所以，因为由图表可知第32行的数第一个数开始连续32个依次增加1，第15行的数第一个数开始连续15个依次减小1，所以，所以是(985,211)，故答案为：(985,211)【点睛】关键点点睛：此题考查数列的实际应用和归纳推理的解题方法，解题时注意分析数的规律，由此确定关键数据的位置是解题的关键.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 在正三棱柱中，分别
7、为，的中点，点，分别在棱和上，且. (1)证明：四边形为梯形，并求三棱柱的表面积；(2)求三棱台的体积.【答案】(1)证明见解析，表面积为 (2)【解析】【分析】(1)由题意可得，从而，即可证得四边形PMNQ为梯形，根据棱柱的表面积公式求出三棱柱的表面积；(2)三棱台的高，根据棱台的体积公式求出答案【小问1详解】因为P，Q分别为的中点，所以，又因为，则，所以，所以，故四边形PMNQ为梯形，又因为三角形ABC为边长为2的正三角形，所以的面积为，面积为，又三棱柱的侧面积，所以三棱柱的表面积【小问2详解】因为三棱台的高，由题可得，所以三棱台的体积为：18. 已知递增等比数列的前项和为，且，等差数列满
8、足，.(1)求数列和的通项公式；(2)若，请判断与的大小关系，并求数列的前20项和.【答案】(1)， (2)，【解析】【分析】(1)利用等比数列基本量和等差数列基本量计算即可；(2)利用(1)求出即可判断，再利用并项求和思想结合等比数列前n项和公式求解.【小问1详解】设等比数列的公比为q，由题意得，即，解得，或，又等比数列单调递增，所以，所以，所以，所以等差数列的公差为1，故；【小问2详解】由(1)知，所以，所以.19. 在如图所示的圆台中，是下底面圆的直径，是上底面圆的直径，为圆的内接正三角形. (1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分
9、析】(1) 记与交于点，连接，要证明平面，只需证明;(2)建立空间直角坐标系，找到平面的法向量为，利用线面角的向量算法求解即可.【小问1详解】 记与交于点，连接，因为是下底面圆的直径，且为圆的内接正三角形，所以垂直平分，中，,因为，所以故四边形为平行四边形，故，又平面,平面,故平面.【小问2详解】由(1)知，则面,如图建立空间直角坐标系： 则,设平面的法向量为则令，则，记直线与平面所成角为，则，故，故直线与平面所成角的正切值为.20. 中小微企业是国民经济的重要组成部分，某小微企业准备投入专项资金进行技术创新，以增强自身的竞争力.根据规划，本年度投入专项资金800万元，可实现销售收入40万元；
10、以后每年投入的专项资金是上一年的一半，销售收入比上一年多80万元.同时，当预计投入的专项资金低于20万元时，就按20万元投入，销售收入则与上一年销售收入相等.(1)设第年(本年度为第一年)投入的专项资金为万元，销售收入为万元，请写出，的表达式；(2)至少要经过多少年后，总销售收入就能超过专项资金的总投入?【答案】(1)， (2)至少要经过7年后，总销售收入才能超过发项资金总投入【解析】【分析】(1)依题意分段讨论，结合等差数列，等比数列的通项公式得出的表达式；(2)分为，两种情况讨论总利润，结合函数的单调性及不等式求解.【小问1详解】依题意得，当投入的专项资金不低于20万元时，即时，且，此时是
11、首项为800，公比为的等比数列，是首项为40，公差为80的等差数列，所以，令，得，解得，所以，.【小问2详解】由(1)可知，当时，总利润，因为，设，则为单调递增函数，所以，又因为，所以当时，即前6年未盈利，当时，令，得，综上，至少要经过7年后，总销售收入才能超过发项资金的总投入21. 如图(1)，已知四边形是边长为2的正方形，点在以为直径的半圆弧上，点为的中点.现将半圆沿折起，如图(2)，使异面直线与所成的角为，此时. (1)证明：平面，并求点到平面的距离；(2)若平面平面，当平面与平面所成角的余弦值为时，求的长度.【答案】(1)证明见解析，1 (2)【解析】【分析】(1)利用异面直线所成的角
12、得，利用勾股关系得，又，利用线面垂直的判定定理证明，利用面面垂直找到点在底面的射影即可求解点面距离；(2)建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用二面角平面角余弦值建立方程求出点的坐标，利用空间距离向量公式求解即可.【小问1详解】因为，所以为异面直线与所成的角，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以，又因为，平面，平面，所以平面；平面，所以平面平面，两平面交线为，取中点为，则，所以平面，即就是点到平面的距离，又因为，所以点到平面的距离为1；【小问2详解】 延长，设，连接，所以平面与平面的交线即为直线，又平面，故以为坐标原点，方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，则，设，则，因为平面，
13、平面，所以，又因为，平面，平面，所以平面，所以平面的一个法向量为，设平面的法向量为，因为，所以，令，得，所以，解得，此时.22. 已知正项数列中，点在直线上，其中.(1)证明：数列为等比数列；(2)设为数列的前项和，求；(3)记，数列的前项和为，试探究是否存在非零常数和，使得为定值?若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，为定值1【解析】【分析】(1)由题意，即，可得，即可得证结论； (2)，结合对数运算及等比数列求和公式求解； (3)求得，又由得，进而可得，由裂项相消法求得，将代入题中式子，可得的值，从而得出答案.【小问1详解】因为点在直线上，所以，令，则，解得或(舍)，因为，故，所以数列是以为首项，2为公比的等比数列【小问2详解】由(1)知，所以【小问3详解】由(2)知，所以，又，故，所以.故要使上式为定值，只需故所以当时，为定值1