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1、南大附中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 若直线经过，两点，则直线的倾斜角为( )A. B. C. D. 2. 若直线与直线互相平行，则实数( )A. B. C. D. 3. 若等差数列的前项和为，且，则的值为( )A. B. C. D. 4. 若直线与圆交于，两点，且，关于直线对称，则实数的值为( )A. 3B. 2C. 1D. 05. 数列满足，则数列的前10项和为( )A. 51B. 56C. 83D. 886. 已知为双曲线的右焦点，为的左顶点，过点且斜率
2、为的直线与交于另一点，且垂直于轴则的离心率为( )A. B. 2C. D. 37. 已知等差数列前项和为，公差是与的等比中项，则下列选项不正确的是( )A. B. C. 当，时，取得最大值D. 当时，的最大值为218. 已知函数满足：，则不等式的解集为A B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，只有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9. 下列求导运算正确的是( )A B. C. D. ，则10. 在平面直角坐标系中，已知双曲线，则( )A. 离心率为2B. 渐近线方程为C. 实轴长为2D. 右焦
3、点到渐近线的距离为11. 设数列的前项和为，且，则( )A. 数列等比数列B. C. D. 的前项和为12. 已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是( )A. B. 在上单调递减C. D. 的图象关于原点中心对称三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13. 等比数列中，则_.14. 已知，则_.15. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为_16. 函数有两个零点，则的取值范围是 _.四.解答题(共6小题)17. 已知圆圆心原点，且与直线相切，直线l过点(1)求圆的标准方程；(2)若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的
4、方程18. 已知等差数列满足.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)记数列的前项和为，若,求的最小值.19. 已知：函数.(1)若，求的单调性；(2)若在上是增函数，求实数取值范围.20. 已知数列是公比为2的等比数列，成等差数列(1)求数列的通项公式；(2)若，设数列的前n项和，求证：21. 已知函数，其中.(1)当时，求曲线在点处切线的方程；(2)试讨论函数的单调区间.22. 已知椭圆过点，且焦距为.(1)求椭圆的方程；(2)过直线(不经过点交椭圆于点，试问直线与直线的斜率之和为，求证：过定点.南大附中2022-2023学年第一学期期末考试高二数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题
5、5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1. 若直线经过，两点，则直线的倾斜角为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用两点坐标求出直线的斜率，再求对应的倾斜角即可【详解】由直线经过，两点，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则有，又，所以.故选：A.2. 若直线与直线互相平行，则实数( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】判断不合题意，再根据直线的平行列出相应的比例式，即可求得答案.【详解】当时，直线，直线与不平行，当时，解得，故选：A.3. 若等差数列的前项和为，且，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】
6、分析】根据结合即可求解.【详解】等差数列的前项和为，且，由等差数列的基本性质，得，.故选：C.4. 若直线与圆交于，两点，且，关于直线对称，则实数的值为( )A. 3B. 2C. 1D. 0【答案】A【解析】【分析】先对圆的方程配方，求出圆心，再根据两直线以及圆之间的关系求解.【详解】由圆的方程： 得： ，圆心坐标为 ，直线与圆交于，两点，且，关于直线对称，则直线必定经过圆心，又根据垂径定理：直线与直线垂直，可得，即，所以，故；故选：A.5. 数列满足，则数列的前10项和为( )A. 51B. 56C. 83D. 88【答案】A【解析】【分析】按照已知条件可以发现奇、偶项分别成等差和等比数列，
7、一一列举前10项求和即可.【详解】数列满足，不难发现，奇数项是等差数列，公差为2，偶数项是等比数列，公比为2，所以数列的前10项和为：.故选：.6. 已知为双曲线的右焦点，为的左顶点，过点且斜率为的直线与交于另一点，且垂直于轴则的离心率为( )A. B. 2C. D. 3【答案】B【解析】【分析】根据题意先求出，再根据可得到关于，的关系式，进而即可得到双曲线的离心率【详解】联立，解得，所以，依题可得，即，整理得，所以双曲线的离心率为故选：B7. 已知等差数列前项和为，公差是与的等比中项，则下列选项不正确的是( )A. B. C. 当，时，取得最大值D. 当时，的最大值为21【答案】D【解析】【
8、分析】根据等差数列的通项公式，结合等比中项的定义、等差数列的前项进行求解即可.【详解】因为是与的等比中项，所以，由，有，当，时，取得最大值，的最大值为，故选：D8. 已知函数满足：，则不等式的解集为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【详解】是减函数，由得：故选A.点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如构造；如构造；如构造等.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.在每小题给出的四个选项中，只有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)9. 下列求导运算
9、正确的是( )A. B. C. D. ，则【答案】ACD【解析】【分析】利用导数计算公式分析各选项可得答案.【详解】A选项，故A正确；B选项，故B错误；C选项，故C正确；D选项，则，D正确.故选：.10. 在平面直角坐标系中，已知双曲线，则( )A. 离心率为2B. 渐近线方程为C. 实轴长为2D. 右焦点到渐近线的距离为【答案】ABD【解析】【分析】根据双曲线方程确定的值，即可一一判断各选项，即得答案.【详解】由双曲线的方程可得，所以，实轴长，离心率，所以A正确，C不正确，所以，渐近线方程为，所以B正确，因为右焦点为，不妨取渐近线，即，则到渐近线距离为，所以D正确.故选：ABD.11. 设数
10、列的前项和为，且，则( )A. 数列是等比数列B. C. D. 的前项和为【答案】ACD【解析】【分析】由已知可得数列是，2为公比的等比数列，从而可得通项公式，可判断A、B，进而可以求的值判断C，也易求得的前项和判断D.【详解】由已知，当时，可得选项A，可得数列是，2为公比的等比数列，故A正确；选项B，由选项A可得解得，故B错误；选项 C，数列是以1为首项，4为公比的等比数列，所以 ，故C正确；选项D，因为，故D正确.故选：ACD.12. 已知函数的图象在处切线的斜率为9，则下列说法正确的是( )A. B. 在上单调递减C. D. 的图象关于原点中心对称【答案】ABC【解析】【分析】根据导数的
11、几何意义求得的值，即可判断A；根据函数单调性与导数的关系，即可判断B；由导数的定义可判断C；由函数的对称性即可判断D.【详解】，则，因为函数的图象在处切线的斜率为9，所以，解得，故A正确；，则，令，可得，所以在上单调递减，故B正确；由于，故C正确；函数，则，所以，则的图象关于点中心对称，故D不正确.故选：ABC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分.13. 等比数列中，则_.【答案】4【解析】【分析】利用等比数列性质可得，结合条件即可得答案.【详解】由题可得，所以.故答案为：4.14. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】根据导数运算求得正确答案.【详解】，则，将代入可得，解得，
12、故，所以.故答案为：.15. 已知为坐标原点，抛物线的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为_【答案】【解析】【分析】设点，求得点，由已知条件得出，求出正数的值，即可得出抛物线的准线方程.【详解】抛物线的焦点，为上一点，轴，所以，将代入抛物线的方程可得，不妨设，因为为轴上一点，且，所以在的右侧又，得，即点，所以，因为，所以，所以抛物线的准线方程为故答案为：16. 函数有两个零点，则的取值范围是 _.【答案】【解析】【分析】函数有两个零点，即方程有两个根，构造函数，利用导数求出函数的单调区间，从而可画出函数的大致图像，根据图象即可得解.【详解】函数有两个零点，方程有两个根
13、，即方程有两个根，设，则函数与的图像有两个交点，当时，单调递增；当时，单调递减，函数在时，取得最大值，又当时，；当时，且，函数的大致图像，如图所示，由图像可知，的取值范围是.故答案为：.四.解答题(共6小题)17. 已知圆圆心为原点，且与直线相切，直线l过点(1)求圆的标准方程；(2)若直线l被圆所截得的弦长为，求直线l的方程【答案】(1)； (2)或【解析】【分析】(1)直接由圆心到直线的距离求出半径，即可求出圆的方程；(2)先由弦长公式求出，斜率不存在时符合题意，斜率存在时，设出直线方程，由解出直线斜率，即可求解.【小问1详解】设圆的半径为，则，故圆的标准方程为；【小问2详解】设圆心到直线
14、到的距离为，则，解得；当直线l斜率不存在时，易得，此时圆心到的距离，符合题意；当直线l斜率存在时，设，即，则，解得，即，故直线l的方程为或.18. 已知等差数列满足.(1)求数列的通项公式及前项和；(2)记数列的前项和为，若,求的最小值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解；(2)利用(1)的结论及裂项相消法求数列的前项和，结合不等式的解法即可求解.【小问1详解】设等差数列的公差为，则因为，所以，即，解得.所以数列的通项公式为，所以数列的通项公式及前项和为.【小问2详解】由(1)知，所以，所以数列的前项和为 .因为，所以，即，于是有，解得，因为
15、，所以的最小值为.19. 已知：函数.(1)若，求的单调性；(2)若在上是增函数，求实数的取值范围.【答案】(1)答案见解析； (2).【解析】【分析】(1)求出导函数，利用，求出值，解不等式，即可求出的单调性；(2)利用函数在区间上是单调增函数，导数大于等于0恒成立，推出关系式，求出实数的取值范围.【小问1详解】，.将代入得，令得或.300在上单调递减，在上单调递增.【小问2详解】方法1：在上是增函数，在上恒成立，当时，是增函数，其最小值为，.实数的取值范围是.方法2：在上是增函数，在上恒成立，.实数的取值范围是.20. 已知数列是公比为2的等比数列，成等差数列(1)求数列的通项公式；(2)
16、若，设数列的前n项和，求证：【答案】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据等差中项的性质和等比数列定义求解；(2)利用错位相减法求和即可证明.小问1详解】因为，成等差数列，所以，又因为数列的公比为2，所以，即，解得，所以【小问2详解】由(1)知，则，所以， ， 得所以又因为，所以是递增数列，所以，所以21. 已知函数，其中.(1)当时，求曲线在点处切线的方程；(2)试讨论函数的单调区间.【答案】(1)； (2)答案见解析.【解析】【分析】(1)利用导数几何意义结合条件即得；(2)求函数的导函数,得到导函数的零点,讨论的范围，由导函数的零点对函数定义域分段,利用导函数在各区间段内的符
17、号判断原函数的单调性.【小问1详解】当时，,则，又，在点处切线的方程为；【小问2详解】由题可得，令，解得或，若，当变化时，的变化情况如表：,00增函数减函数增函数的单调增区间为和,，单调减区间为；若，当变化时，的变化情况如表：,00增函数减函数增函数单调增区间为和，单调减区间为；若，则，函数的单调增区间为；综上，当时，单调增区间为和,，单调减区间为；当时，的单调增区间为和，单调减区间为；当时，函数的单调增区间为.22. 已知椭圆过点，且焦距为.(1)求椭圆的方程；(2)过直线(不经过点交椭圆于点，试问直线与直线的斜率之和为，求证：过定点.【答案】(1) (2)证明见解析【解析】【分析】(1)根据已知条件求得，从而求得椭圆的方程.(2)根据直线的斜率是否存在进行分类讨论，根据化简求得定点坐标.【小问1详解】由题意可得，解得，椭圆的方程：.【小问2详解】当直线的斜率不存在时，设其方程为，且，则，所以，解得(舍去)，所以直线的斜率存在.设直线的方程为，其中，联立方程，消去得：，设，则，所以，整理得，直线的方程为，所以直线恒过定点.【点睛】根据已知条件求解椭圆的方程，关键点在于列方程组来求得，要注意“隐藏条件”.求解直线过定点问题，可先设出直线方程，然后根据已知条件列方程，求得直线方程中参数的关系，从而求得定点的坐标.