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1、2022-2023学年江苏省宿迁市高二年级上学期调研测试数学一、单选题(本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项)1. 在等差数列中，则的值为( )A 18B. 20C. 22D. 242. 若直线与直线垂直，则的值为()A. B. C. D. 3. 若直线是曲线的一条切线，则实数的值为( )A. B. C. D. 4. 体育馆等建筑的屋顶一般采用曲面结构如图所示，某建筑的屋顶采用双曲面结构，该建筑屋顶外形弧线可看作是双曲线上支的部分，其渐近线方程为，上焦点坐标为，那么该双曲线的标准方程为()A B. C. D. 5. 圆与圆的公切线条数为()A. B. C. D
2、. 6. 已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是方程的两个根，则的值为( )A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切，直线与双曲线左右支分别交于两点，且，若双曲线的离心率为，则的值为( )A. B. C. D. 8. 已知则()A B. C. D. 二、多选题(本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求)9. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是( )A. B. 为中的最大项C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的是( )A. 当时，存在单调递增区间B. 当时，存在两个极值点C. 是为减函数的充要条件D. ，无极大值11. 平行于抛物线对
3、称轴的光线经抛物线壁的反射，光线汇聚于焦点处，这就是“焦点”名称的来源运用抛物线的这一性质，人们设计了一种将水和食物加热的太阳灶反过来，从焦点处发出的光线，经过抛物线反射后将变成与抛物线的对称轴平行的光线射出，运用这一性质，人们制造了探照灯如图所示，已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过点反射后，沿直线射出，经过点，为抛物线焦点，为抛物线上一点，则下列说法正确的是( )A. 的最小值为B. C. D. 平分12. 若圆，点在直线上，则( )A. 圆上存在点使得B. 圆上存在点使得C. 直线上存在点使得D. 直线上存在点使得三、填空题(本大题共4小题，共20
4、.0分)13. 在数列中，则_14. 过点的直线，被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，则直线的方程为_15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线，交椭圆于点，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为_16. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是_四、解答题(本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. 已知正项等比数列的前项和为，且_请在；是与等差中项；，三个条件中任选一个补充在上述横线上，并求解下面的问题：(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和18. 已知函数，函数在处有极值(1)求函数解析式；(2)求函数在上的最值19. 已知圆：，直线过点(1)
5、若直线被圆所截得的弦长为，求直线的方程；(2)若直线与圆交于另一点，与轴交于点，且为的中点，求直线的方程20. 已知数列的各项均为正数，前项和为， (1)求数列的通项公式；(2)设 ，求数列的前项和21. 设抛物线的焦点为，点，过的直线交抛物线于两点，当直线轴时，(1)求抛物线的方程；(2)设直线，与抛物线的另一个交点分别为点，记直线，的斜率分别为，求的值22. 已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点且；(i)求的取值范围；(ii)证明：2022-2023学年江苏省宿迁市高二年级上学期调研测试数学一、单选题(本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项
6、)1. 在等差数列中，则的值为( )A. 18B. 20C. 22D. 24【答案】B【解析】【分析】根据等差数列通项公式相关计算求出公差，进而求出首项.【详解】设公差为，由题意得：，解得：，所以.故选：B2. 若直线与直线垂直，则的值为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据两直线垂直与斜率之间的关系即可求解.【详解】直线与直线垂直，当时不满足，当时，解得故选:D.3. 若直线是曲线的一条切线，则实数的值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据导数的几何意义分析运算【详解】，则，设直线l与曲线C的切点，则直线l的斜率，由于直线斜率为，则，解得，所以，即
7、切点为，故，解得故选：C.4. 体育馆等建筑的屋顶一般采用曲面结构如图所示，某建筑的屋顶采用双曲面结构，该建筑屋顶外形弧线可看作是双曲线上支的部分，其渐近线方程为，上焦点坐标为，那么该双曲线的标准方程为()A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设双曲线的标准方程为，根据题意求出、的值，即可得出所求双曲线的标准方程.【详解】解：设双曲线的标准方程为，因为该双曲线的渐近线方程为，则，又因为该双曲线的上焦点坐标为，则，所以，因此，该双曲线的方程为.故选：B.5. 圆与圆的公切线条数为()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先判断两圆的位置关系，进而确定公切线的条数【详解】由
8、圆，可得圆的圆心为，半径为1，由圆，可得圆的圆心为，半径为，圆与圆的圆心距，圆与圆相离，故有条公切线故选：D.6. 已知数列是各项均为正数的等比数列，若，是方程的两个根，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由韦达定理，可得，后由等比数列性质结合对数运算性质可得答案.【详解】由韦达定理，可得，由等比数列性质可得，.设，则，得.故选：B7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过的直线与圆相切，直线与双曲线左右支分别交于两点，且，若双曲线的离心率为，则的值为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】过作交于，过作交于，利用双曲线的定义和性质、离心率的计算公式求解
9、即可.【详解】过作交于，过作交于，由题意可得，所以， 因为是中点，所以，又因为，所以，由双曲线定义可得，即，联立可得.故选：A8. 已知则()A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】注意到，.后构造函数，可判断b与c大小.【详解】注意到，.则.令，其中.则，得在上单调递增，在上单调递减.则，又函数R上单调递增，则，即.故故选：D【点睛】方法点睛：比较代数式大小的常见方法有：(1)利用函数单调性；(2)利用中间量；(3)构造函数.二、多选题(本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求)9. 已知数列的前项和，则下列说法正确的是( )A. B. 为中的最大项C. D. 【答
10、案】AC【解析】【分析】根据题意，先由求得，然后根据等差数列求和，以及性质逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A：当时，；当时，经检验，当时，故，A正确；对于B：令，则，故当时，故和为中的最大项，B错误；对于C：，C正确；对于D：，D错误故选:AC10. 已知函数，下列说法正确的是( )A. 当时，存在单调递增区间B. 当时，存在两个极值点C. 是为减函数的充要条件D. ，无极大值【答案】AC【解析】【分析】由题，设.A选项，判断当时，在上有无解即可；B选项，判断当时，在上是否有两根即可；C选项，由充要条件定义验证即可判断选项正误；D选项，由A选项分析可判断选项正误.【详解】由题，设.A选项，
11、当且时，方程的判别式，则两根为.当时，则的解为，则此时存在单调递增区间；当时，则的解为，则此时存在单调递增区间；当时，的解为，则此时存在单调递增区间.综上：当时，存在单调递增区间.故A正确；B选项，由A选项分析可知，当时，存在两个极值点；当时，存在唯一极值点；当时，存在唯一极值点1.故B错误.C选项，当，在上恒成立，得为上的减函数；若为上的减函数，则在上恒成立，得，则.综上，是为减函数的充要条件.故C正确.D选项，由A选项分析可知，当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，则此时有极大值.故D错误.故选：AC11. 平行于抛物线对称轴的光线经抛物线壁的反射，光线汇聚于焦点处，这就是“焦点
12、”名称的来源运用抛物线的这一性质，人们设计了一种将水和食物加热的太阳灶反过来，从焦点处发出的光线，经过抛物线反射后将变成与抛物线的对称轴平行的光线射出，运用这一性质，人们制造了探照灯如图所示，已知抛物线，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经过点反射后，沿直线射出，经过点，为抛物线焦点，为抛物线上一点，则下列说法正确的是( )A. 的最小值为B. C. D. 平分【答案】BCD【解析】【分析】过作垂直的准线，垂足为，过作垂直的准线，垂足为，再根据抛物的焦半径公式逐一分析各个选项即可得出答案.【详解】解：过作垂直的准线，垂足为，所以，过作垂直的准线，垂足为，因为，所以，因
13、为，当且仅当三点共线时，取等号，故选项A错误；因为平行轴，所以，所以，即，所以，又因为，所以过的直线为，联立,得，所以，故选项B正确；因为可得，或，即，代入，可得，即，所以，故选项C正确；因为，所以，所以，所以平分，故选项D正确故选：BCD.12. 若圆，点在直线上，则( )A. 圆上存在点使得B. 圆上存在点使得C. 直线上存在点使得D. 直线上存在点使得【答案】ABD【解析】【分析】A选项根据点到直线的距离公式可求解，B选项当与圆相切时符合题意，C选项利用对称性可以判断，D选项当点坐标为时符合题意.【详解】对于A，圆心到直线的距离为，故，圆上存在点使得 ，A正确；对于B，过作圆的切线，切点
14、为， 则，故当与圆相切时，B正确；对于C，设点关于直线的对称点为点，则，故C错误；对于D，当点坐标为时，故，故D正确故选：ABD.三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13. 在数列中，则_【答案】46【解析】【分析】利用累加法求解即可.【详解】由，则有，所以当时，所以，故答案为：14. 过点的直线，被直线，所截得的线段的中点恰好在直线上，则直线的方程为_【答案】【解析】【分析】先求出线段的中点，在求出直线的斜率，最后用点斜式即可求出直线的方程.【详解】设中点为，因为，所以在直线上，由在直线上，联立可得，解得，即中点为，所以直线的斜率，所以的方程为，即故答案为：15. 已知椭圆的左、右焦点
15、分别为，过作轴的垂线，交椭圆于点，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为_【答案】#【解析】【分析】利用椭圆的标准方程和离心率计算公式求解即可.【详解】由题意可得，因为轴，且，所以，则，又，联立得，所以，解得或(舍去)，故答案为：16. 若不等式对恒成立，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】当时显然成立，当时，构造，则原不等式等价于，利用导函数求单调性可得对恒成立，再构造求最大值即可.【详解】当，时，所以恒成立；当，时，恒成立；当，时，由可得对恒成立，构造，则，所以当时，单调递减，当时，单调递增，又，由单调性可知，整理得对恒成立，令，则，所以当时，单调递增，所以，综上，实数的取值范围为.故答
16、案为：.【点睛】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，本题的关键是利用同构的思路，将不等式变形为，再构造函数，问题就会迎刃而解.四、解答题(本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. 已知正项等比数列的前项和为，且_请在；是与等差中项；，三个条件中任选一个补充在上述横线上，并求解下面的问题：(1)求数列的通项公式；(2)若，求数列的前项和【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据等比数列基本量的计算即可逐一求解，(2)根据裂项求和即可求解.
17、【小问1详解】选当时，不符合题,当时，则，故则负值舍去,则选由题知即，有,即负值舍去,那么选即同有【小问2详解】，则18. 已知函数，函数在处有极值(1)求函数的解析式；(2)求函数在上的最值【答案】(1)； (2)最小值为，最大值为【解析】【分析】(1)因在处有极值，则，得，后检验满足题意即可；(2)由(1)，利用导数可求得在上的最值【小问1详解】由题，.因在处有极值，则.又时，因时，时，.得在上单调递增，在上单调递减，则函数在处有极大值，满足题意，故.【小问2详解】当时，令，得，令，得.故在上单调递增，在上单调递减.则，.故函数在上的最大值为，最小值.19. 已知圆：，直线过点(1)若直线
18、被圆所截得的弦长为，求直线的方程；(2)若直线与圆交于另一点，与轴交于点，且为的中点，求直线的方程【答案】(1)或 (2)【解析】【分析】(1)根据点到直线的距离公式以及圆的弦长公式即可求解，(2)根据中点坐标公式即可根据点在圆上求解,进而可求直线方程.小问1详解】当直线斜率不存在时，与圆相切不符合题意，舍去当直线斜率存在时，设直线,即，圆心坐标为，由弦长为可知，圆心到直线的距离为，即，所以则直线方程为或【小问2详解】设 ，因为为中点，则，由在圆上得 即，则所以直线 即直线20. 已知数列的各项均为正数，前项和为， (1)求数列的通项公式；(2)设 ，求数列的前项和【答案】(1) (2)【解析
19、】【分析】(1)根据的关系可得，进而根据等差数列的性质即可求解，(2)根据并项求和以及分组求和即可求解.【小问1详解】由得时，两式相减得,整理得 因为，所以,所以数列是以为公差的等差数列在中令解得所以【小问2详解】令数列的前项和为当为偶数时， 当为奇数时，为偶数， 即 所以21. 设抛物线的焦点为，点，过的直线交抛物线于两点，当直线轴时，(1)求抛物线的方程；(2)设直线，与抛物线的另一个交点分别为点，记直线，的斜率分别为，求的值【答案】(1) (2)2【解析】【分析】(1)首先求出点坐标，再根据抛物线的定义得到方程，求出的值，即可得解；(2)设，设的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦
20、达定理，即可求出，从而得解.【小问1详解】解：当直线轴时，令，则，解得，不妨取，因为，所以，解得，所以的方程为；【小问2详解】解：设，由题可知直线斜率存在且不为，故设的方程为联立得，则有，直线方程为，联立得，则，所以，同理可得，因为，又因为，所以22. 已知函数(1)讨论函数的单调性；(2)若函数有两个零点且；(i)求的取值范围；(ii)证明：【答案】(1)答案见解析； (2)(i)；(ii)证明见解析【解析】【分析】(1)对求导，利用导函数的正负讨论单调性即可；(2)(i)利用单调性及零点存在性定理求解即可；(ii)要证明，只需证明，构造函数，不妨设一元二次方程的两根为且，则，对称轴为，再利
21、用(1)中结论证明，即可.【小问1详解】由题意可得的定义域为，当时，恒成立，在单调递增，当时，令解得，所以当时，单调递减，当时，单调递增，综上，当时，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增.【小问2详解】(i)由(1)可得当时，在单调递增，此时至多有一个零点，故，若函数有两个零点，则，解得，又，令，所以，在单调递减，所以，即，所以当时，在，上各有一个零点.(ii)要证明，只需证明，由(i)可知，令，所以为的两个零点，构造函数，因为，所以有两个零点，不妨令，开口向上，对称轴为，且，由(1)可得，即，又，所以，即，所以，同理可得，所以，所以，即【点睛】导函数中常用的两种转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理，本题的关键是将不等式变形为，再构造函数，利用一元二次方程的两根之差的绝对值得到，再利用(1)中结论放缩即可求解.