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1、浙江省宁波市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含解析）高一数学试卷说明：本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.第I卷(选择题共60分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集为，集合，集合，则( )A. B. C. D. 2. 函数的零点所在的区间为( )A. B. C. D. 3. 已知，为非零实数，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 函数的
2、定义域是( )A B. C. D. 5. 已知定义在上的奇函数满足，则( )A. -1B. 0C. 1D. 26. 已知，则( )A. B. C. D. 7. 已知，则( )A. 的最大值为且的最大值为B. 的最大值为且的最小值为0C. 最小值为且的最大值为D. 的最小值为且的最小值为08. 若关于的方程恰有三个不同的实数解，且，其中，则的值为( )A. -6B. -4C. -3D. -2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 下列说法正确的有( )A. 若是锐角，则是第一象限角B. C
3、. 若，则为第一或第二象限角D. 若为第二象限角，则为第一或第三象限角10. 关于函数，下列说法正确的是( )A. 函数定义域为B. 函数偶函数C. 函数是周期函数D. 函数在区间上单调递减11. 已知且，函数的图象可能是( )A. B. C. D. 12. 已知实数，满足，则下列关系式可能正确的是( )A. ，使B. ，使C. ，有D. ，有第卷(非选择题 共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 化简求值：_.14. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，值域为，且在上有两个零点，请写出一个满足上述条件的_.15. 炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一
4、个圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC面积为，则当该纸叠扇的周长最小时，的长度为_cm.16. 已知函数，若函数在区间内没有零点，则实数的最大值是_.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在是的充分不必要条件；这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合，集合.(1)当时，求；(2)若_，求实数的取值范围.18. 已知函数，且，.(1)求的值；(2)若，求.19. 已知函数，.(1)若在上有零点，求实数取值范围；(2)若在区间上的最小值为-2，求实数的值.20. 已知函数的图
5、象如图所示. (1)求函数的对称中心；(2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围.21. 近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(按30
6、天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系满足(为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间的部分数据如下表所示：15202530105110105100设该文化工艺品的日销售收入为(单位：元)，且第15天的日销售收入为1057元. (1)求的值；(2)给出以下四种函数模型：；请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；(3)利用问题(2)中的函数，求的最小值.22. 定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”.(1)判断是否为“型函数”?并说明理由；(2)若存在实数，使得函数始终是“型函数
7、”，求的最小值；(3)若函数，是“型函数”，求实数的取值范围.浙江省宁波市2022-2023学年高一上学期期末数学试题（含解析）高一数学试卷说明：本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共150分.考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上.第I卷(选择题共60分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集为，集合，集合，则( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式求得集合，由此求得【详解】，解得或，所以或，所以，所以.故选：C2. 函数的零点所在的区间
8、为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据函数的单调性以及零点存在性定理求得正确答案.【详解】在上单调递增，所以的零点在区间.故选：B3. 已知，为非零实数，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据充分、必要条件的知识求得正确答案.【详解】当时，同号且非零，则，所以.当时，如，则，无法得到.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：A4. 函数的定义域是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用整体代入法求得正确答案.【详解】由，解得，所以函数的定义域是.故选：D5. 已
9、知定义在上的奇函数满足，则( )A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】B【解析】【分析】根据函数奇偶性、周期性求得正确答案.【详解】是定义在上的奇函数，所以，所以是周期为的周期函数，所以.故选：B6. 已知，则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【详解】.故选：B7. 已知，则( )A. 的最大值为且的最大值为B. 的最大值为且的最小值为0C. 的最小值为且的最大值为D. 的最小值为且的最小值为0【答案】C【解析】【分析】利用可求出的最小值，利用可求出的最大值.【详解】利用，则，整理得，当且仅当，即时取得等号，即的最小
10、值为；利用，即，整理得，即，当且仅当时取得等号，故的最大值为.故选：C8. 若关于的方程恰有三个不同的实数解，且，其中，则的值为( )A. -6B. -4C. -3D. -2【答案】A【解析】【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.【详解】依题意可知，由整理得，即关于的方程恰有三个不同的实数解，且，令，则或，则转化为，即，根据对勾函数的性质可知是方程的一个根，所以，所以，解得或，所以是方程的根，即的根，所以，所以.故选：A【点睛】对于复杂方程的跟有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为
11、熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分、在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 下列说法正确的有( )A. 若是锐角，则是第一象限角B. C. 若，则为第一或第二象限角D. 若为第二象限角，则为第一或第三象限角【答案】ABD【解析】【分析】根据象限角、弧度制、三角函数值等知识确定正确答案.【详解】A选项，是锐角，即，所以是第一象限角，A选项正确.B选项，根据弧度制的定义可知，B选项正确.C选项，当时，但不是象限角，C选项错误.D选项，为第二象限角，即，所
12、以为第一或第三象限角，D选项正确.故选：ABD10. 关于函数，下列说法正确的是( )A. 函数定义域为B. 函数是偶函数C. 函数是周期函数D. 函数在区间上单调递减【答案】BCD【解析】【分析】根据函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由于，所以的定义域不是，A选项错误.由得，所以，所以的定义域是，的定义域关于原点对称，所以是偶函数，B选项正确.，所以是周期函数，C选项正确.当时，恒成立，在上单调递增，所以在区间上单调递减，D选项正确.故选：BCD11. 已知且，函数的图象可能是( )A. B. C. D. 【答案】AD【解析】【分析】根据函数的单调
13、性、特殊点的函数值确定正确答案.【详解】依题意且，B选项错误当时，且在上递增，A选项符合题意.当时，在CD选项中，C选项错误，则D选项正确. 故选：AD12. 已知实数，满足，则下列关系式可能正确的是( )A. ，使B. ，使C. ，有D. ，有【答案】ABCD【解析】【分析】由原方程可得，构造函数，由函数的单调性得出值域，根据函数的值域判断A;令，代入原方程转化为判断是否有解即可判断B，条件变形放缩后构造函数，利用函数的单调性得出大小，判断CD，【详解】对于A，由得，令，则分别在和上单调递增，令，则分别在和上单调递增，当时，的值域为 当时，的值域为，所以存在，使得；同理可得，存在，使得，因此
14、，使，A正确；对于B，令，则方程可化为，由换底公式可得，显然关于的方程在上有解，所以，使，B正确；对于C，当时，因为，所以，又在上单调递增，所以. 又，令，则在上单调递增，因，所以 ，从而可得，所以综上所述可得 ，C正确；对于D，当时，因为，所以，又在上单调递增，所以.又，令，则在上单调递增，因为，所以，从而，所以综上所述可得，所以D正确故选：ABCD【点睛】关键点点睛：对于CD选项的关键在于变形、放缩，恰当放缩后不等式两边可看做同一函数的两个函数值，据此构造函数，利用函数的单调性，建立自变量的大小关系，化繁为简，得出的关系，再利用对数性质放缩即可判断结论，本题难度较大，技巧性较强，属于难题.
15、第卷(非选择题 共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 化简求值：_.【答案】#0.75【解析】【分析】根据对数的运算法则、性质，换底公式求解.【详解】.故答案为：14. 已知函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，值域为，且在上有两个零点，请写出一个满足上述条件的_.【答案】 (答案不唯一，如亦可)【解析】【分析】根据函数的自变量、值域、零点在学过函数中找到满足条件的函数即可.【详解】根据函数自变量时，函数值域为，可考虑二次函数，根据二次函数性质可知时，令，解得，即在上有两个零点.故答案为：(答案不唯一，如亦可)15. 炎炎夏日，古代人们乘凉时用的纸叠扇可看作是从一个
16、圆面中剪下的扇形加工制作而成.如图，扇形纸叠扇完全展开后，得到的扇形ABC面积为，则当该纸叠扇的周长最小时，的长度为_cm.【答案】【解析】【分析】设扇形ABC半径为，弧长为，根据扇形ABC的面积得到，纸叠扇的周长，利用基本不等式求解即可.【详解】设扇形ABC的半径为，弧长为，则扇形面积.由题意得，所以.所以纸叠扇的周长，当且仅当即，时，等号成立，所以此时的长度为.故答案为：16. 已知函数，若函数在区间内没有零点，则实数的最大值是_.【答案】【解析】【分析】化简函数解析式，先求出整体的范围，由在区间内没有零点得出不等式，解出的范围，再结合的取值，即可求解.【详解】，由可得，又在区间内没有零点
17、，则，解得，又，解得，又，所以或，当时，；当时，；综上：的最大值为.故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 在是的充分不必要条件；这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题.问题：已知集合，集合.(1)当时，求；(2)若_，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)答案见解析【解析】【分析】(1)解绝对值不等式求得集合，由此求得.(2)通过选择的条件列不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】，所以.当时，所以.【小问2详解】由(1)得，选，是的充分不必要条件，则且等号不同时成立，解得.选，则，解得.选，则或，解得或.
18、18. 已知函数，且，.(1)求的值；(2)若，求.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)利用平方的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.(2)利用两角差的余弦公式、同角三角函数的基本关系式求得正确答案.【小问1详解】由题意，由于，所以，故由可解得，.所以.【小问2详解】由(1)可知：，则因为，所以，所以.19. 已知函数，.(1)若在上有零点，求实数的取值范围；(2)若在区间上的最小值为-2，求实数的值.【答案】(1) (2)或【解析】【分析】(1)根据二次函数零点分布的知识求得的取值范围.(2)根据在区间端点或对称轴(二次函数时)处取得最小值进行分类讨论，由此求得的值.【小
19、问1详解】在上有零点，所以，所以.【小问2详解】由于二次函数在闭区间上的最小值只可能在端点或对称轴处取到，所以只需考虑一下三种情况并检验即可：若，.的图象开口向上，对称轴，而，不成立，舍.若，.此时的图象开口向上，对称轴，成立.若，或.此时的图象开口向上，对称轴，而此时，成立.综上可知，或.20. 已知函数的图象如图所示. (1)求函数的对称中心；(2)先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后将所得图象向左平移个单位后得到函数的图象.若对任意的恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1)， (2)【解析】【
20、分析】(1)根据函数图象求得的解析式，然后利用整体代入法求得的对称中心.(2)利用三角函数图象变换的知识求得的解析式，根据在区间上的值域转化不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】由图可知：，所以，所以，又，所以，.所以.令，则，.所以的对称中心为，.【小问2详解】由题.当时，.因为对任意的恒成立，则.所以.21. 近年来，受全球新冠肺炎疫情影响，不少外贸企业遇到展会停办、订单延期等困难，在该形势面前，某城市把目光投向了国内大市场，搭建夜间集市，不仅能拓宽适销对路的出口产品内销渠道，助力外贸企业开拓国内市场，更能推进内外贸一体化发展，加速释放“双循环”活力.某夜市的一位文化工艺品售卖者，通过
21、对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内(按30天计)，每件的销售价格(单位：元)与时间(单位：天)的函数关系满足(为常数，且)，日销售量(单位：件)与时间的部分数据如下表所示：15202530105110105100设该文化工艺品的日销售收入为(单位：元)，且第15天的日销售收入为1057元. (1)求的值；(2)给出以下四种函数模型：；.请你根据上表中的数据，从中选择最合适的一种函数模型来描述日销售量与时间的变化关系，并求出该函数的解析式；(3)利用问题(2)中的函数，求的最小值.【答案】(1) (2)选择函数模型， (3)961【解析】【分析】(1)根据已知条件列方程，由此求得
22、的值.(2)根据函数的单调性选择模型并根据已知条件列方程，求得，从而求得的解析式.(3)结合基本不等式和函数的单调性求得正确答案.【小问1详解】因为第15天的日销售收入为1057元，所以，解得.【小问2详解】由表中的数据知，当时间变化时，先增后减.而函数模型；都是单调函数，所以选择函数模型.由，解得，.所以日销售量与时间的变化关系为.【小问3详解】由(2)知所以即.当，时，由基本不等式得，当且仅当，即时，等号成立.当，时，单调递减，所以.综上所述：当时，取得最小值，最小值为961.22. 定义在上的函数满足：对任意的，都存在唯一的，使得，则称函数是“型函数”.(1)判断是否为“型函数”?并说明
23、理由；(2)若存在实数，使得函数始终是“型函数”，求的最小值；(3)若函数，是“型函数”，求实数的取值范围.【答案】(1)不是，理由见解析 (2)1 (3)【解析】【分析】(1)根据“型函数”的定义，结合特殊值进行判断.(2)根据的定义域求得的范围，结合“型函数”的定义以及函数的单调性求得的取值范围.(3)对进行分类讨论，根据“型函数”的定义列不等式，由此求得的取值范围.【小问1详解】是偶函数，且在递减，递增.当时，；当时，.若取，则不存，使得.所以不是“型函数”.【小问2详解】首先函数定义域为，则，解得.由复合函数单调性可知：在单调递减，在单调递增.所以只需对恒成立即可.所以，即的最小值为1.【小问3详解】由题是“型函数”.当时，在上单调递增，.而，要使存在且唯一，则有，解得.所以.当时，在递减，递增，.而，要使存在且唯一，则有，解得.所以.综上可知：.【点睛】新定义问题的求解必须紧扣新定义，新定义型试题的难点就是对新定义的理解和运用，在解决问题时要分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中.