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1、江苏省扬州市2022-2023学年高一下学期6月期末数学试题(A)（含解析）2022-2023学年度第二学期期末调研测试高一数学(A)(全卷满分150分，考试时间120分钟)2023年6月一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足(为虚数单位)，则在复平面上所对应的点位于( ).A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为( ).A. 2.75B. 2.80C
2、. 2.81D. 2.823. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，求角B时，解的情况是( ).A. 无解B. 一解C. 两解D. 无数解4. 已知向量与的夹角为，则( ).A. B. C. 或D. 以上都不对5. 已知、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是( ).A. 若，则B 若，则C. 若，则D. 若，则6. 如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为( ). A B. C.
3、 D. 7. 已知，则( ).A B. C. D. 或8. 如图，在一个质地均匀的正八面体木块的八个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.连续抛掷这个正八面体木块两次，并记录每次正八面体与地面接触的面上的数字，记“第一次记录的数字为奇数”为事件A，“第二次记录的数字为偶数”为事件B，“两次记录的数字之和为奇数”为事件C，则下列结论正确的是( ).A. B与C是互斥事件B. A与B不是相互独立事件C. D. A与C是相互独立事件二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 如图，
4、在平行四边形中，E、F分别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有( ). A. B. C. D. 10. 从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命(单位：年)的检测结果如下表：甲厂产品35677888910乙厂产品4667888888记甲工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为；乙工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为.则下列选项正确的有( ).A. B. C. D. 11. 在中，已知，AD为的内角平分线且，则下列选项正确的有( ).A. B. C. D. 的面积最小值为12. 已知函数在区间上有且仅有3个不同零点，则下列选项正确的有( ).A. 在区
5、间上有且仅有3条对称轴B. 的最小正周期不可能是C. 的取值范围是D. 在区间上单调递增三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，双空题第一空2分，第二空3分.13. 已知非零向量与的夹角为45，向量在向量上投影向量为，则_.14. 写出一个同时具有下列两个性质的复数_.性质1： 性质2：15. 已知角的终边经过点，且满足，则实数_.16. 已知正方体的棱长为2，点是底面(含边界)上一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为45，则的取值范围为_；当取得最小值时，四棱锥的外接球表面积为_.四、解答题：本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知向
6、量，.(1)若，试判断，能否构成平面的一组基底？并请说明理由.(2)若，且，求与的夹角大小.18. 如图，在棱长为1的正方体中，E为棱的中点. (1)求证：平面；(2)求点D到平面的距离.19. 某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种植了一批琯溪蜜柚.现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测得其质量(单位：千克)均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图： (1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间，的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的
7、平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A所有蜜柚均以20元/千克收购；B.低于4.5千克蜜柚以70元/个的价格收购，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/个的价格收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.20. 如图，在三棱锥中，平面平面，D、E分别为SB，AB的中点. (1)求证：；(2)求二面角的正弦值.21. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求角C的大小；(2)若D是边AB的三等分点(靠近点A)，.求实数t的取值范围.22. 已知函数，(，)(1)若，证明：函数在区间上有且仅有个零点；(2)若对于任意的，恒
8、成立，求的最大值和最小值.2022-2023学年度第二学期期末调研测试高一数学(A)(全卷满分150分，考试时间120分钟)2023年6月一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足(为虚数单位)，则在复平面上所对应的点位于( ).A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算求复数，再结合复数的几何意义分析判断.【详解】因为，则，所以在复平面上所对应的点为，位于第三象限.故选：C.2. 已知一组数据分别是2.65，2.68，2.68，2.72，2.73，2.75
9、，2.80，2.80，2.82，2.83，则它们的75百分位数为( ).A. 2.75B. 2.80C. 2.81D. 2.82【答案】B【解析】【分析】由于样本数据是从小到大排列的，由百分位数的定义得到第75百分位数是第8个数【详解】因为10个样本数据是从小到大排列的，且，所以第75百分位数是第8个数2.80故选：B3. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，求角B时，解的情况是( ).A. 无解B. 一解C. 两解D. 无数解【答案】C【解析】【分析】由正弦定理结合大边对大角求解即可.【详解】因为，由正弦定理可得：，则，所以，因为，所以，所以角B有两解.故选：C.4. 已知向量与
10、的夹角为，则( ).A. B. C. 或D. 以上都不对【答案】B【解析】【分析】由向量模的坐标运算及数量积的运算律可得，再由数量积的定义求解即可.【详解】因为，所以，又，所以，因为向量与的夹角为，所以，所以.故选：B5. 已知、m为两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列命题正确的是( ).A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系，对选项逐一分析判断，选出正确的命题即可.【详解】对于选项A，因为，则垂直平面内任意一条线，又，所以，所以，则有，所以选项A正确；对于选项B，当，时，有或，所以选项B错误；对于选项C，当，时，与
11、可以相交，所以选项C错误；对于选项D，若，时，有或与异面，所以选项D错误.故选：A.6. 如图，大运塔是扬州首座以钢结构为主体建设的直塔，为扬州中国大运河博物馆的主体建筑之一.小强同学学以致用，欲测量大运塔的高度.他选取与塔底在同一水平面内的两个观测点，测得，在两观测点处测得大运塔顶部的仰角分别为，则大运塔的高为( ). A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据仰角分别得出,，在中由余弦定理即可求出.【详解】由题意得，在直角中，所以，在直角，所以，即，中，由余弦定理得，即，因为，所以解得.即大运塔高为.故选：B7. 已知，则( ).A. B. C. D. 或【答案】C【解析】【分
12、析】先将用两角差的正弦公式化简得到，两边平方即可求出，再根据同角三角函数的基本关系求出，最后利用两角差的正弦公式计算可得到.【详解】因为，所以，即，所以，所以，即，即，所以，因为，所以，又，所以，即，所以，所以，所以.故选：C8. 如图，在一个质地均匀的正八面体木块的八个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8.连续抛掷这个正八面体木块两次，并记录每次正八面体与地面接触的面上的数字，记“第一次记录的数字为奇数”为事件A，“第二次记录的数字为偶数”为事件B，“两次记录的数字之和为奇数”为事件C，则下列结论正确的是( ).A. B与C是互斥事件B. A与B不是相互独立事件C. D. A与C是
13、相互独立事件【答案】D【解析】【分析】根据互斥事件，独立事件的概念以及古典概型概率计算公式逐项分析即可得出答案.【详解】对于选项A，事件C，两次记录的数字之和为奇数，说明是一奇一偶，即事件B与事件C可以同时发生，不是互斥事件，故选项A错误；对于选项B，对于事件A与事件B，满足，故A与B是相互独立事件，选项B错误；对于选项C，由题意可得，故，选项C错误；对于选项D，满足，故A与C是相互独立事件，选项D正确；故选：D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9. 如图，在平行四边形中，E、F分
14、别是边上的两个三等分点，则下列选项正确的有( ). A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】根据向量加法法则、向量减法法则及平面向量基本定理即可求解.【详解】选项A：由题意知，E、F分别是边上的两个三等分点，且与方向相同，则，故A正确；选项B：由图可知，所以，故B正确；选项C：，所以C错误；选项D：，故D错误.故选：AB.10. 从甲厂和乙厂生产的同一种产品中各抽取10件，对其使用寿命(单位：年)的检测结果如下表：甲厂产品35677888910乙厂产品4667888888记甲工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为；乙工厂样本使用寿命的众数为，平均数为，极差为，方差为.则
15、下列选项正确的有( ).A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据题意，由众数，平均数，极差以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】由题意可得， ，则，故选：BD11. 在中，已知，AD为的内角平分线且，则下列选项正确的有( ).A. B. C. D. 的面积最小值为【答案】ACD【解析】【分析】利用等面积法得到，即可判断A，再利用基本不等式求出的最小值，即可判断D，利用余弦定理判断B、C.【详解】依题意，即，所以，所以，故A正确；，所以，当且仅当时取等号，所以或(舍去)，则，当且仅当时取等号，故D正确；又，即，所以，又，即，所以，所以，即，所以，故C正确；由余弦定理
16、，即，所以，由于由已知条件无法得知的值，故无法确定的值，故B错误. 故选：ACD.12. 已知函数在区间上有且仅有3个不同零点，则下列选项正确的有( ).A. 在区间上有且仅有3条对称轴B. 的最小正周期不可能是C. 的取值范围是D. 在区间上单调递增【答案】BCD【解析】【分析】令 , 则 , 由函数 在区间 上有且仅有 3个零点， 即 有 3 个整数符合, 可求出 判断 C, 再利用三角函数的性质可依次判断A B D.【详解】令 , 则 ，函数 在区间 上有且仅有 3个不同零点, 即 有 3个整数符合,由 , 得，则 ，即 , 故C正确;对于A， ,当 时, 在区间 上有且仅有3条对称轴；
17、当 时, 在区间有且仅有 4 条对称轴，故 A错误；对于 B, 周期 , 由 , 则 ,又 , 所以 的最小正周期不可能是，故 B 正确;对于D ,又, 所以 区间 上单调递增, 故 D 正确.故选: BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，双空题第一空2分，第二空3分.13. 已知非零向量与的夹角为45，向量在向量上投影向量为，则_.【答案】2【解析】【分析】根据投影向量的概念分析运算.【详解】由题意可知：.故答案为：2.14. 写出一个同时具有下列两个性质的复数_.性质1： 性质2：【答案】(写出其中一个即可)【解析】【分析】设，根据条件列式计算可得，即可得解.【详解】设
18、，则，从而，因为，所以，解得，因为，所以，解得，所以.故答案为：(写出其中一个即可).15. 已知角的终边经过点，且满足，则实数_.【答案】【解析】【分析】根据三角函数的定义求得，再利用两角和正切公式化简求解即可.【详解】因为角的终边上有一点，所以，因为点在第一象限，不妨取，所以等价于.因为，所以，所以，所以，解得.故答案为：16. 已知正方体的棱长为2，点是底面(含边界)上一个动点，直线AP与平面ABCD所成的角为45，则的取值范围为_；当取得最小值时，四棱锥的外接球表面积为_.【答案】 . . 【解析】【分析】作出辅助线，得到点轨迹为以为圆心，2为半径的圆位于底面内的部分，数形结合得到的最
19、值，得到取值范围；再作出辅助线，找到球心位置，利用半径相等列出方程，求出外接球半径，得到外接球表面积.【详解】连接，因为平面，所以即为线AP与平面所成的角，因为平面平面，故直线AP与平面所成的角等于直线AP与平面所成的角，故，在中，故点轨迹为以为圆心，2为半径的圆位于底面内的部分，故连接，与圆弧交于点，当与重合时，取得最小值，最小值为，当与或重合时，取得最大值，最大值为2，故的取值范围是；连接相交于点，连接与相交于点，连接，则，球心在上，连接，则，其中，设，则，由勾股定理得，故，解得，则，当取得最小值时，四棱锥的外接球表面积为.故答案为：，四、解答题：本大题共6小题，计70分.解答应写出必要的
20、文字说明、证明过程或演算步骤.17. 已知向量，.(1)若，试判断，能否构成平面的一组基底？并请说明理由.(2)若，且，求与的夹角大小.【答案】(1)证明见解析 (2).【解析】【分析】(1)利用向量共线的坐标运算及基底的概念即可判断；(2)利用向量垂直的坐标运算求解x，然后再利用数量积的夹角坐标公式计算即可.【小问1详解】当时，因为，所以向量，不共线，所以，能构成平面的一组基底；【小问2详解】因为，所以，又，且，所以，所以，此时，则，又因为，所以，即向量与的夹角为.18. 如图，在棱长为1的正方体中，E为棱的中点. (1)求证：平面；(2)求点D到平面的距离.【答案】(1)证明见解析 (2)
21、.【解析】【分析】(1)由线面平行的判定定理即可证明；(2)设点D到平面的距离为，由求解即可.【小问1详解】证明：连接BD交AC于O，连接EO，由正方体可知底面ABCD为正方形，所以O为BD中点，因为E为棱的中点，所以，又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】设点D到平面的距离为，由正方体可知平面ABCD，底边ABCD为正方形，所以三棱锥的体积，又在中，O为AC中点，所以，又，所以三棱锥的体积，因为，所以，解得，所以点D到平面EAC的距离.19. 某村为响应国家乡村振兴战略，扎实推动乡村产业，提高村民收益，种植了一批琯溪蜜柚.现为了更好地销售，从该村的蜜柚树上随机摘下了100个蜜柚进行测重，测
22、得其质量(单位：千克)均分布在区间内，并绘制了如图所示的频率分布直方图： (1)按分层随机抽样的方法从质量落在区间，的蜜柚中随机抽取5个，再从这5个蜜柚中随机抽取2个，求这2个蜜柚质量至少有一个小于3.5千克的概率；(2)以各组数据的中间数值代表这组数据的平均水平，以频率代表概率，已知该村的蜜柚树上大约还有5000个蜜柚待出售，某电商提出两种收购方案：A.所有蜜柚均以20元/千克收购；B.低于4.5千克的蜜柚以70元/个的价格收购，高于或等于4.5千克的蜜柚以90元/个的价格收购.请你通过计算为该村选择收益最好的方案.【答案】(1) (2)方案A【解析】【分析】(1)依题意可得蜜柚质量在区间和
23、比为2：3，则分别在质量为，的蜜柚中抽取2个和3个，求出从这5个蜜柚中随机抽取2个的可能情况，再求出至少有一个小于3.5千克的方法种数，由古典概率公式代入即可得出答案.(2)分别计算两种方案的收益，比较两者的大小即可得出答案.【小问1详解】由题意得：所以蜜柚质量在区间和的比为2：3，所以应分别在质量为，的蜜柚中抽取2个和3个.记抽取的2个蜜柚中质量至少有一个小于3.5千克为事件A抽取的质量在区间的蜜柚分别记为，质量在区间的蜜柚分别记为，则从这5个蜜柚中随机抽取2个，样本空间，共10个样本点解法一：事件，共7个样本点，所以.解法二：事件A对立事件，共3个样本点，所以.【小问2详解】方案A好，由题
24、中频率分布直方图可知，蜜柚质量在区间，的频率依次为0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05，若按方案A收购：由题意知各区间蜜柚个数依次为500，500，750，2000，1000，250，于是总收益为(元).若按方案B收购：由题意知蜜柚质量低于4.5千克的个数为1750，蜜柚质量高于或等于4.5千克的个数为，所以总收益为(元).因为，所以方案A的收益比方案B的收益高，应该选择方案A.20. 如图，在三棱锥中，平面平面，D、E分别为SB，AB的中点. (1)求证：；(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性质定理得到平面，再利用线面垂
25、直的判定及性质即可证明.(2)先利用平面角的定义得到二面角的平面角为，在中可求得二面角的平面角的正弦值.【小问1详解】，D为SB的中点，平面平面SBC，平面SAB，平面平面，平面，又平面，又，平面SAB，平面SAB，平面SAB，又平面SAB，；【小问2详解】取BD中点H，过H作于K，连接EK，因为E、H分别为AB、BD的中点，由(1)知，又，平面SBC，平面SBC，平面SBC，即平面BDC，又平面BDC，平面EHK，平面EHK，平面EHK，又平面EHK，为二面角的平面角， 在中，在中，由(1)可知平面SAB，平面SAB，又，平面ABC，平面ABC，平面ABC，平面ABC，D、E分别为SB、AB
26、的中点，且，在中，在中，在中，由HK在面SBC内，则EHHK，在中，即二面角的正弦值.21. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求角C的大小；(2)若D是边AB的三等分点(靠近点A)，.求实数t的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由，利用正弦定理得到，再利用余弦定理求解；(2)设，在和中，利用正弦定理结合得到，再利用平方关系得到，进而得到，利用余弦函数的性质求解.【小问1详解】解：由正弦定理可得：，又，.【小问2详解】设，则，在中，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：.又，由，得.因为，所以.因为，所以，.22. 已知函数，(，)(1)若，证明：函数在区
27、间上有且仅有个零点；(2)若对于任意的，恒成立，求的最大值和最小值.【答案】(1)证明见解析 (2)最小值为，最大值为【解析】【分析】(1)代入的值，化简，即可求得，根据单调性即可求解；(2)令，问题转化为时，要求的最值，则需要和的系数相等进行求解.【小问1详解】证明：当，时，则，且是一个不间断的函数，在上存在零点，在上单调递增，在上有且仅有1个零点.【小问2详解】由(1)知，令，则，对于任意的，恒成立，恒成立.令，则时，恒成立.即，令，解得或.当时，解得，取，成立，则恒成立，当时，解得，取，成立，则恒成立.，综上，的最小值为，的最大值为.【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题，从以下几个角度分析：(1)赋值法和换元法的应用；(2)三角函数图像和性质的应用；(3)转化化归思想的应用.