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1、曲面及其方程 第 课11课题曲面及其方程课时2课时（90 min）教学目标知识技能目标：（1）理解球面方程、旋转曲面方程、柱面方程及其应用（2）能够区分椭圆锥面、椭球面、双曲面、抛物面方程思政育人目标：通过学习曲面及其方程，引导学生养成独立思考和深度思考的良好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事求是、一丝不苟的科学精神教学重难点教学重点：不同曲面方程的定义教学难点：不同曲面方程的应用教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材教学设计第1节课：考勤（2 min）知识讲解（33 min）课堂测验（10 min）第2节课：知识讲解（
2、20 min）问题讨论（10min）课堂测验（10 min）课堂小结（5 min）教学过程主要教学内容及步骤设计意图第一节课考勤（2 min）n 【教师】清点上课人数，记录好考勤n 【学生】班干部报请假人员及原因培养学生的组织纪律性，掌握学生的出勤情况知识讲解（33 min）n 【教师】讲解球面方程，并通过例题介绍其应用例1 建立球心在点、半径为的球面方程解 如图9-28所示，设是球面上的任意一点，那么，即，化简得， （9-12）图9-28这就是球面上点的坐标所满足的方程，而不在球面上的点坐标都不满足这个方程所以，方程（9-12）就是球心在点、半径为的球面方程特殊地，球心在原点、半径为的球面方
3、程为例2 方程表示怎样的曲面？解 通过配方，原方程可化成，与式（9-12）比较可知，原方程表示球心在点、半径为2的球面一般地，设有三元二次方程，这个方程的特点是缺各项，而且平方项系数相同，只要将方程进行配方就可以化成方程的形式，它的图形就是一个圆心在点、半径为的球面n 【学生】理解球面方程及其应用n 【教师】讲解柱面方程，并通过例题介绍其应用定义1 平行于某定直线的直线沿定曲线移动形成的轨迹称为柱面，定曲线称为柱面的准线，动直线称为柱面的母线，如图9-30所示 图9-29 图9-30n 【学生】理解柱面方程及其应用n 【教师】讲解旋转曲面方程，并通过例题介绍其应用定义2 以一条平面曲线绕其平面
4、上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面，旋转曲线和定直线分别称为旋转曲面的母线和轴设在坐标面上有一已知曲线，它的方程为，当曲线绕轴旋转一周，就得到一个以轴为轴的旋转曲面，如图9-34所示旋转曲面方程求法如下图9-34设为曲线上任意一点，那么有， （9-13）当曲线绕轴旋转时，点绕轴转到点，而保持不变，且点到轴的距离为，将代入式（9-13），得到所求旋转曲面的方程为由此可见，只需在平面曲线的方程中将改成，便得曲线绕轴旋转所成旋转曲面的方程同理，曲线绕轴旋转所成旋转曲面的方程为 其他坐标面上的曲线都可以用类似方法得到对应旋转曲面的方程例3 将坐标面上的双曲线分别绕轴和轴旋转一周，求所生成的旋转
5、曲面的方程解 绕轴旋转，所得旋转曲面的方程为绕轴旋转，所得旋转曲面的方程为这两种曲面分别称为旋转双叶双曲面和旋转单叶双曲面，其形状分别如图9-35、图9-36所示 图9-35 图9-36（例4例6详见教材）n 【学生】掌握旋转曲面方程及其应用学习球面方程、柱面方程与旋转曲面方程。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象第二节课知识讲解（
6、20 min）n 【教师】讲解椭圆锥面方程由方程所表示的曲面称为椭圆锥面用垂直于轴的平面截此曲面，当时得一点；当时，得这是位于平面上的椭圆当变化时，得到一族长短轴比例不变的椭圆当从大到小并变为0时，这族椭圆从大到小并缩为一点综合上述讨论可得椭圆锥面的形状，如图9-40所示图9-40平面与曲面的交线称为截痕，通过综合分析截痕的变化来了解曲面形状的方法称为截痕法研究曲面形状的方法还有伸缩变形法一般地，设曲面的方程为，是将曲面沿轴方向伸缩倍所得的曲面，设点，点对应于曲面上的点为，则即因点，有，故曲面的方程为n 【学生】了解椭圆锥面方程n 【教师】讲解椭球面方程由方程所表示的曲面称为椭球面把球面沿轴方
7、向伸缩倍，即得旋转椭球面；再沿轴方向伸缩倍，即得椭球面，如图9-41所示图9-41n 【学生】了解椭球面方程n 【教师】讲解单叶双曲面方程由方程所表示的曲面称为单叶双曲面把面上的双曲线绕轴旋转，得旋转单叶双曲面；再把此旋转单叶双曲面沿轴方向伸缩倍，即得单叶双曲面，如图9-36所示n 【学生】了解单叶双曲面方程n 【教师】讲解双叶双曲面方程由方程所表示的曲面称为双叶双曲面把面上的双曲线绕轴旋转，得旋转双叶双曲面；再把此旋转双叶曲面沿轴方向伸缩倍，即得双叶双曲面，如图9-42所示图9-42n 【学生】了解双叶双曲面方程n 【教师】讲解椭圆抛物面方程由方程所表示的曲面称为椭圆抛物面把面上的抛物线绕轴
8、旋转，所得曲面称为旋转抛物面，把此旋转抛物面沿轴方向伸缩倍，即得椭圆抛物面，如图9-43所示n 【学生】了解椭圆抛物面方程n 【教师】讲解双曲抛物面方程由方程所表示的曲面称为双曲抛物面，又称马鞍面用平面截此曲面，所得截痕为平面上的抛物线，此抛物线开口向下，其顶点坐标为当变化时，的形状不变，位置只作平移，而的顶点轨迹为平面上的一条抛物线因此，以为母线，为准线，母线的顶点在准线上滑动，且母线作平行移动，便得到双曲抛物面，如图9-44所示 图9-43 图9-44n 【学生】了解双曲抛物面方程学习椭圆锥面方程、椭球面方程、双曲面方程、抛物面方程。边做边讲，及时巩固练习，实现教学做一体化问题讨论（10
9、min）n 【教师】组织学生讨论以下问题1如何识别旋转曲面方程，如何求旋转曲面方程？2柱面、旋转曲面各有什么特征？n 【学生】讨论、发言通过课堂讨论，活跃课堂气氛，加深学生对知识点的理解课堂测验（10 min）n 【教师】出几道测试题目，测试一下大家的学习情况n 【学生】做测试题目n 【教师】公布题目正确答案，并演示解题过程n 【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题技巧通过测试，了解学生对知识点的掌握情况，加深学生对本节课知识的印象课堂小结（5 min）n 【教师】简要总结本节课的要点本节课重点讨论了球面方程、旋转曲面方程、柱面方程，用截痕法或伸缩法考察了椭圆锥面，椭球面，单叶双曲面，双叶双曲面，椭圆抛物面，双曲抛物面等二次曲面的图形形状。课后要多加练习，巩固认知。n 【学生】总结回顾知识点n 【教师】布置课后作业：习题9.6总结知识点，巩固印象教学反思本节课效果不错，学生基本掌握了讲授的知识，但仍有一些有待改进的地方，还需要在平时多学习别人先进的教学方法和教学经验，并适当加以改变运用在自己的教学工作中，时刻做到学以致用9目 录