《安徽省级示范高中培优联盟2023-2024学年高二下学期春季联赛数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《安徽省级示范高中培优联盟2023-2024学年高二下学期春季联赛数学试题含答案.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、命 题：培 优 联 盟 高 考 研 究 院审 题：五 河 一 中 杨 威、芜 湖 县 一 中 张 杨制 卷：等 高 教 育第页（共页）姓 名座 位 号（在 此 卷 上 答 题 无 效）绝 密启 用 前安 徽 省 示 范 高 中 培 优 联 盟 年 春 季 联 赛（高 二）数学本 试 卷 分 选 择 题 和 非 选 择 题 两 部 分，选 择 题 第至 第页，非 选 择 题 第至 第页。全 卷 满分 分，考 试 时 间 分 钟。考 生 注 意 事 项：答 题 前，务 必 在 试 题 卷、答 题 卡 规 定 的 地 方 填 写 自 己 的 姓 名、座 位 号，并 认 真 核 对 答 题 卡上 所
2、粘 贴 的 条 形 码 中 姓 名、座 位 号 与 本 人 姓 名、座 位 号 是 否 一 致。答 选 择 题 时，每 小 题 选 出 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。答 非 选 择 题 时，必 须 使 用 毫 米 的 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答 题 卡 上獉 獉 獉 獉书 写，要 求 字 体 工 整、笔迹 清 晰。作 图 题 可 先 用 铅 笔 在 答 题 卡獉 獉 獉规 定 的 位 置 绘 出，确 认 后 再 用 毫 米 的 黑 色 墨 水签 字 笔
3、 描 清 楚。必 须 在 题 号 所 指 示 的 答 题 区 域 作 答，超 出 答 题 区 域 书 写 的 答 案 无 效獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉，在獉试 题 卷獉 獉 獉、草 稿 纸 上 答 题 无 效獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉。考 试 结 束，务 必 将 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交。一、选 择 题（本 题 共小 题，每 小 题分，共 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合题 目 要 求 的。）已 知犪，犫 犚，“犪 犫”是“犪犫槡犪犫”的 充 分 不 必 要 条 件 必 要 不 充 分 条 件 充 要
4、条 件 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件#QQABCYCUogAAApAAARgCEwFACkIQkAGCAAoOgBAMsAAASANABAA=#命 题：培 优 联 盟 高 考 研 究 院审 题：五 河 一 中 杨 威、芜 湖 县 一 中 张 杨制 卷：等 高 教 育第页（共页）已 知 犃 犅 犆 犇（，），则 犅 犆 犇 犃（，）（，）（，）（，）在犃 犅 犆中，已 知 犃 犅 犆，犃 犅 犆，则 犃 在 一 组 数，中 插 入 两 个 整 数犿，狀，使 得 新 的 一 组 数 极 差 为 原 来 极 差 的 两 倍，且 众 数和 中 位 数 保 持 不 变，则犿狀的 最 大 值 为
5、 设 函 数犳（狓）狓 狓的 导 函 数 为犵（狓），则犳（）犵（）已 知犪 ，犫，犮 ，则 犪犫犮 犪犮犫 犮犫犪 犫犮犪 在 平 面 直 角 坐 标 系狓 犗 狔中，椭 圆：狓犪狔犫（犪犫）的 右 焦 点 为犉，狔轴 右 侧 的 两 点犃，犅在 椭 圆上，且 直 线犃 犅与 圆犗：狓狔犫相 切，若 椭 圆的 焦 距 为，犃 犅 犉的 周 长 为，则 椭 圆的 离 心 率 为第题 图 函 数犳（狓）的 定 义 域 为犚，对 于 任 意 实 数狓，狔，都 有犳（狓狔）犳（狓狔）犳（狓）犳（狔），则犳（）的 值 不 可 能 是 槡 命 题：培 优 联 盟 高 考 研 究 院审 题：五 河 一 中
6、 杨 威、芜 湖 县 一 中 张 杨制 卷：等 高 教 育第页（共页）二、选 择 题（本 题 共小 题，每 小 题分，共 分，在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求，全 部 选 对 的 得分，部 分 选 对 的 得 部 分 分，有 选 错 的 得分。）复 数狆，狇，狉在 复 平 面 内 对 应 的 点 分 别 为犘，犙，犚，下 列 说 法 正 确 的 有 若狆狇狉，则狆狇狉 若狆狇 狆狇，则狆 狇 若狆狇狆狉 犚，则犘，犙，犚三 点 共 线 若狇狆狉狇，则狆，狇，狉成 等 比 数 列 在 四 棱 锥犘犃 犅 犆 犇中，底 面犃 犅 犆 犇是 矩 形，犘 犃平
7、 面犃 犅 犆 犇，犈、犉分 别 为 棱犃 犅、犘 犆的 中第 题 图点，下 列 说 法 正 确 的 有 犘 犆犅 犇 犈 犉平 面犘 犃 犇 若犃 犘犅 犆，则犈 犉槡 若犈 犉平 面犘 犆 犇，则犘 犃犃 犇 已 知犪，犫，犮为犃 犅 犆的 三 条 边 长，则 下 列 结 论 正 确 的 有（犪犫犮）（犪 犫犫 犮犮 犪）犪 犫 犮 犪 犫 犮 犪犫犮犫犮犪犮犪犫#QQABCYCUogAAApAAARgCEwFACkIQkAGCAAoOgBAMsAAASANABAA=#命 题：培 优 联 盟 高 考 研 究 院审 题：五 河 一 中 杨 威、芜 湖 县 一 中 张 杨制 卷：等 高 教 育
8、第页（共页）（在 此 卷 上 答 题 无 效）考 生 注 意 事 项：请 用 毫 米 黑 色 墨 水 签 字 笔 在 答 题 卡 上獉 獉 獉 獉 獉作 答，在 试 题 卷 上 答 题 无 效獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉 獉。三、填 空 题（本 题 共小 题，每 小 题分，共 分。）在犃 犅 犆中，犃 犅，犃 犆，犅，则 以犅、犆为 焦 点，且 过犃点 的 双 曲 线 的 离 心 率为 曲 线狔 狓在 点犃（犪，犪），犅（犫，犫）处 的 切 线 分 别 与狔轴 交 于 点犆（，犮），犇（，犱），若犮，犪，犱成 等 差 数 列，则犫犪 某 班 组 织 开 展 知 识 竞 赛，抽 取 四 名 同
9、 学，分 成 甲、乙 两 组：每 组 两 人，进 行 对 战 答 题规 则 如 下：每 次 每 名 同 学 回 答道 题 目，其 中 有道 是 送 分 题（即 每 名 同 学 至 少 答 对题）若 每 次 每 组对 的 题 数 之 和 为的 倍 数，则 原 答 题 组 的 人 再 继 续 答 题；若 对 的 题 数 之 和 不 是的 倍 数，就 由对 方 组 接 着 答 题，假 设 每 名 同 学 每 次 答 题 之 间 相 互 独 立，且 每 次 答 题 顺 序 不 作 考 虑，第 一 次 由甲 组 开 始 答 题，则 第次 由 甲 组 答 题 的 概 率 为 四、解 答 题（本 题 共小
10、题，共 分。解 答 应 写 出 必 要 的 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。）（分）在犃 犅 犆中，犪，犫，犮分 别 是 角犃，犅，犆所 对 的 边，犇为 边犅 犆上 一 点（）试 利 用“犃 犅 犅 犆 犃 犆”证 明：“犮 犅犫 犆犪”；（）若犃，犅 犇，犆 犇，犃 犇犅 犆，求犃 犅 犆的 面 积命 题：培 优 联 盟 高 考 研 究 院审 题：五 河 一 中 杨 威、芜 湖 县 一 中 张 杨制 卷：等 高 教 育第页（共页）（分）某 品 牌 儿 童 玩 具 一 箱 件，每 箱 玩 具 在 出 厂 前 都 需 要 经 过 质 检，如 果 质 检 不 合 格，则 立
11、即 更换质 检 时，先 从 一 箱 玩 具 中 任 取件 检 验，再 根 据 检 验 结 果 决 定 是 否 对 余 下 的 所 有 玩 具 进 行检 验，设 每 件 玩 具 质 检 不 合 格 的 概 率 都 为狆（狆），且 各 件 玩 具 质 检 是 否 合 格 相 互 独 立（）若狆，求件 玩 具 中 至 少 有 一 件 质 检 不 合 格 的 概 率；（）记件 玩 具 中 恰 有件 质 检 不 合 格 的 概 率 为犳（狆），求犳（狆）的 极 大 值 点狆 （分）在 矩 形犃 犅 犆 犇中，犅 犆 犃 犅，取犅 犆边 上 一 点犕，将犃 犅 犕沿 着犃 犕折 起，折 成 如 图 所示
12、的 四 棱 锥犛犃 犕 犆 犇（）若犕为犅 犆的 中 点，二 面 角犛犃 犕犅的 大 小 为，求犃 犛与 平 面犃 犅 犆 犇所 成 角 的 正弦 值；（）若 将犃 犅 犕沿 着犃 犕折 起 后 使 得犛 犇犃 犕，求 线 段犕 犆的 长第 题 图#QQABCYCUogAAApAAARgCEwFACkIQkAGCAAoOgBAMsAAASANABAA=#命 题：培 优 联 盟 高 考 研 究 院审 题：五 河 一 中 杨 威、芜 湖 县 一 中 张 杨制 卷：等 高 教 育第页（共页）（分）设狆为 任 意 给 定 的 大 于的 整 数，每 个 正 整 数狀均 可 以 唯 一 地 表 示 成犳（
13、狀，狆）犪犽狆犽犪犽 狆犽 犪狆犪，犪犻，狆 （犻，犽），我 们 将（犪犽犪犽 犪犪）狆称 为狀的狆进 制 表 示，将犛狆（狀）犪犪犪犪犽称 为狀在狆进 制 下 的 数 字 和例 如：由 可 知 （），犛（）（）请 给 出 的 三 进 制 表 示；（）若犫犿犛犿 犿（），求犫犫犫犿 （分）在 平 面 直 角 坐 标 系狓 犗 狔中，抛 物 线：狔 狓的 焦 点 为犉，点犘，犘，犘在 抛 物 线上，直 线犘犘，犘犘，犘犘的 斜 率 分 别 为犽，犽，犽（）若犉为犘犘犘的 重 心，求 证：犽犽犽犽犽犽为 定 值；（）若犉为犘犘犘的 垂 心，求 证：犽犽犽犽犽犽为 定 值培优联盟培优联盟 2024
14、春季联赛高二数学参考答案春季联赛高二数学参考答案1234567891011BBDCACDACDBCDAD一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的目要求的1B【解析】取取0a，0b，则可知由，则可知由“0ab”无法推出“22abab”2B【解析】(3,4)BCDABAACDABADCABCD +=+=+=-=-3D【解析】两式作差得，cossin2024coscos2024sinsin2024cos()2024cosAABCBCBCA，所以sin
15、2025cosAA，即tan2025A 4C【解析】若插入两个整数后众数不变，则插入的数可以是“两个都是 3”，或是“一个为 3，另一个不是 3”，或是“两个不等的且不是 8,11,28”。因为新的一组数极差加倍，所以插入的两个数不可能都是 3；因为中位数保持不变，若插入的数“一个为 3，另一个不是 3”，则一个为 3，另一个数不小于 8，又因为极差加倍，则另一个数为 53，此时56mn+=；若插入的两个数是不等的且不是 3，8，11，28，且极差为 50，则两个数可以为753mn=，653mn=，553mn=，453mn=，252mn=，151mn=，050mn=，所以，mn+的最大值为 6
16、05A【解析】()3sin3 cos44cos3 sin4fxxxxx，()24sin4 sin325cos3 cos4fxxxxx6C【解析】3334tan4882a，422113log 7log 7log 8222b，2222274ln12ln4(ln7)(ln12ln4)4(ln7)(ln49)4(ln7)log 12log 70ln7ln44ln7ln44ln7ln4cb，7D【解析】记AB与圆222:O xyb相切于点00(,)P xy，则#QQABCYCUogAAApAAARgCEwFACkIQkAGCAAoOgBAMsAAASANABAA=#222000cAPxybxa，0cAF
17、axa，进一步有APAFa，同理BPBFa，故ABF的周长为2a8A【解析】令令0 xy，则，则22(0)2(0)ff，解得，解得(0)0f或或(0)1f令令2txy，则，则2()(0)2()2tf tff，故，故()1f t 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9CD【解析】选项选项 A 取取1pq，2ir 选项选项 B，取，取1p，iq
18、选项选项 C，由由“两个复数相除为实数两个复数相除为实数”可知，实部与虚部比值相等，进而得到两点间的斜率相等，故可知，实部与虚部比值相等，进而得到两点间的斜率相等，故P，Q，R三点共线选项选项 D，|qrqrpqpq，则|p，|q，|r成等比数列10BCD【解析】选项 A：若PCBD，则BD 平面PAC，进一步有BDAC，而底面ABCD是矩形，不能保证BDAC选项 B：取PD中点M，则12EACDFM ，进一步有EFAM 选项 C：1()2EFAPBC 11AD【解析】选项选项 B：取：取3a，4b，5c，则，则222abc；选项 C：取4ab，1c，则sinsin0sinabc#QQABCY
19、CUogAAApAAARgCEwFACkIQkAGCAAoOgBAMsAAASANABAA=#选项 D：由2aabcabc，2bbcaabc，2ccababc可得2abcbccaab三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分123【解析】根据余弦定理计算得 BC6，所以632BCeACAB.132e【解析】ln1ac，ln1bd由2lnln1ln1acdab，即lnln2ba，即2eba。14365729【解析】记答题的两位同学答对的题数分别为1x，1y，则1x，11,2,3,4,5,6y 当11(,)(1,2),(1,5),(2,1),(
20、2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6)x y 时，113|xy，故两位同学答对的题数之和是3的倍数的概率为121663，两位同学答对的题数之和不是3的倍数的概率为23记第n次由甲组答题的概率为nP，则由乙组答题的概率为1nP，112(1)33nnnPPP,即11233nnPP，进一步有1111()232nnPP，所以11111()()223nnPP，令7n，则67111365(1)()223729P 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分，解答应写出文字说明
21、、证明过程或演算步骤15（13 分）解：（1）在ABC 中，由BCACAB 两边同时点乘BC 得，BC BCBC ACBC AB .3 分所以2coscos()coscosaabCacBabCacB，.5 分#QQABCYCUogAAApAAARgCEwFACkIQkAGCAAoOgBAMsAAASANABAA=#进而得，coscosabCcB，即证.6 分（2）如图，设BADCAD，ADx因为4A，所以4因为ADBC，所以3tanx，2tanx.8 分所以232tantantantan()41tantan61xxx.10 分化简得2560 xx，解得6x 或1x （舍去），所以6AD.12
22、分所以ABC 的面积11561522SBC AD.13 分16（15 分）解：（1）因为8件玩具质检都合格的概率为811()2256，.2 分所以8件玩具中至少有一件质检不合格的概率为12551256256.5 分（2）8件玩具中恰有2件质检不合格的概率为2268(1)C pp，即2268()(1)f pC pp，.8 分因为5()56(1)(14)fpppp，.10 分所以1(0,)4p，()0fp；1(,1)4p，()0fp；.12 分所以()f p在1(0,)4上单调递增，在1(,1)4上单调递减，.14 分#QQABCYCUogAAApAAARgCEwFACkIQkAGCAAoOgBA
23、MsAAASANABAA=#故14p 为()f p的极大值点，即014p.15 分17（15 分）解：（1）取AM的中点H，连接HS，HB因为四边形ABCD是矩形，且1ABBM，所以ABM为等腰直角三角形，所以ASM也为等腰直角三角形，因此HS，HB均垂直于AM，所以AM 平面BSH，.2 分故二面角SAMB的平面角为3BHS因为22SHBH，所以SHB为正三角形以H为坐标原点，HB，HM所在直线分别为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则点S在坐标平面xHz内，则2(0,0)2A，26(,0,)44S，所以226(,)424AS 易得平面ABCD的一个法向量为(0,0,1)n.4 分设
24、AS与平面ABCD所成的角为，则222664sincos,42261()()()424AS n，.6 分所以AS与平面ABCD所成角的正弦值为64.7 分（2）作BHAM于H，则SHAM#QQABCYCUogAAApAAARgCEwFACkIQkAGCAAoOgBAMsAAASANABAA=#因为SHBHH，所以AM 平面BSH.9 分以H为坐标原点，HB，HM分别为x轴、y轴建系，则点S在坐标平面xHz内设(,0,)S ac，(,0)D x y，则(,)DSaxy c 取AM的方向向量为(0,1,0)p .11 分因为SDAM，所以0DS py ，解得0y，即D在x轴上，所以B，H，D三点共
25、线，故AMBD.13 分因为矩形ABCD中，22BCAB，ABM与DAB相似，所以ABBMDAAB，解得12BM，故32MC.15 分18（17 分）解：（1）2024的三进制表示为32024(2202222)；.3 分（2）对任意正整数k，都有121122kk ，所以对任意正整数k，l，当kl时，1122222klllk，.5 分因为5234211222221mmmmmm，.8 分所以5243211(22)(22)21mmmmmm，进一步有512133141211(222)(222)21mmmmmmmm，.11 分所以5221()2121mmSm，.14 分即#QQABCYCUogAAApA
26、AARgCEwFACkIQkAGCAAoOgBAMsAAASANABAA=#21mbm.15 分故12(2)mbbbm m.17 分19（17 分）解：抛物线2:4yx的焦点F的坐标为(1,0)，.1 分（1）因为F为123PP P的重心，所以1230yyy，（1）.2 分因为12112124yykxxyy，（2）.4 分所以同理可得2234kyy，（3）3314kyy，（4）由（1）、（2）、（3）、（4）可得1231231111()02yyykkk，.6 分故1223310k kk kk k.7 分（2）若F为123PP P的垂心，则123PPFP，132PPFP，所以1 231PPFPk
27、k，1 321PPFPkk，2 311P PFPkk，.8 分即#QQABCYCUogAAApAAARgCEwFACkIQkAGCAAoOgBAMsAAASANABAA=#332123123444114yyyyxyyy，（5）222132132444114yyyyxyyy，（6）112231231444114yyyyxyyy，（7）.9 分由（5）、（6）可得223213212316()()(4)()(4)yyyyyyyy，进一步化简可得12233120y yy yy y，（8）.10 分由（7）可得12321164yyyy，（9）由（8）、（9）可得2123214(20)4yy yy，（10
28、）由（8）、（10）可得11231213214()()4yy y yyyyyy，即1231223314()()()y y yyyyyyy，（11）.12 分由（11）可得1231231223315()()y y yyyyy yy yy y，即1231234()y y yyyy，（12）由（11）、（12）可得122331123()()()16()yyyyyyyyy，.14 分即#QQABCYCUogAAApAAARgCEwFACkIQkAGCAAoOgBAMsAAASANABAA=#1231234444448()kkkkkk，.16 分故1223312k kk kk k（定值）.17 分#QQABCYCUogAAApAAARgCEwFACkIQkAGCAAoOgBAMsAAASANABAA=#