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1、 学科网（北京）股份有限公司#QQABDY6AggiAApAAABgCAwVgCEEQkBAAAAoOhEAMoAAASQFABAA=#公众号：高中试卷君 学科网（北京）股份有限公司#QQABDY6AggiAApAAABgCAwVgCEEQkBAAAAoOhEAMoAAASQFABAA=#公众号：高中试卷君 学科网（北京）股份有限公司#QQABDY6AggiAApAAABgCAwVgCEEQkBAAAAoOhEAMoAAASQFABAA=#公众号：高中试卷君 学科网（北京）股份有限公司#QQABDY6AggiAApAAABgCAwVgCEEQkBAAAAoOhEAMoAAASQFABAA=#公
2、众号：高中试卷君山东中学联盟 2024 届高三考前模拟冲刺大联考数学答案解析一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的题号12345678答案CBBACAAD1.答案：C解析：全集UR，3,3A ，0,4B，则阴影部分表示的集合为3,4UC AB,故选 C.命题意图：本题主要考查 集合的基本运算，利用图象先确定集合关系，考查学生分析问题解决问题的能力，考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.2答案：B 解析：若0)ln(ba，可得1 ba；易得1 ba是1 ba的必要不充分条件，故选 B.命题意图：本题主要考查对数函数性质、不等
3、式解法.结合充分、必要条件分析判断.考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.3.答案：B解析：因为,4sincos)4(:yxL所以点)0,4(P到L中每条直线的距离2244cossind,所以L为圆C:22(4)16xy的全体切线组成的直线系,存在两切线平行的情况,L中所有直线均经过一个定点不可能，故A错误，B 正确;当0时，直线方程变为8x,此时直线的斜率不存在，故 C 错误；当2时，直线方程变为4y,此时直线的斜率为 0,故 D 错误.故选 B.4.答案：A 解析：110lg8lg2lg3a，103331b，102221c,因为96b，86c，所以66cb，所以acb1，故选 A.命题意
4、图：本题主要考查指数、对数的运算以及指数函数、对数函数的单调性，考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.5.答案：C解析：因为P，Q两点在第 2 秒时第一次相遇于点13,22，所以242,233，所以2,33.设它们从出发后第 2 次相遇时间为t，则233（）t=2 2，所以4t.点P运动的路程为4433t.故选：C命题意图：本题主要考查三角函数定义的应用以及任意角的三角函数值，考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理、数学抽象.6.答案：A解析：设ibazibaz222111,对于答案 A，由21zz 得，212121zzbbaa，所以，故 A 正确；对于答案 B，令iz 1，iz22，221
5、 zz，不满足题意，故 B 错误；容易知道 C，D 显然错误.故选 A.命题意图：本题主要考察复数的四则运算以及共轭复数、复数模的定义，考查的数学核心素养是逻辑推理，数学运算.7.答案：A解析：由题可知，函数的定义域为,R关于原点对称.对于答案 A，因为2)1(xf21223x12121221xxx是奇函数，正确；对于答案 B，因为2)1(xf12121221111xxx不是奇函数，错误；对于答案 C，因为2)1(xf123251225xxx不是奇函数，错误；对于答案 D，因为2)1(xf123251225111xxx不是奇函数，错误.故选 A.命题意图：本题考查函数的奇偶性的判断，考查的核心
6、素养是数学运算、逻辑推理#QQABDY6AggiAApAAABgCAwVgCEEQkBAAAAoOhEAMoAAASQFABAA=#8.答案：D解析：高一学生成绩：71,78,79,79,84,86,91,93,94,95，则高一学生体质测试成绩的80%分位数是939493.52，故 A 选项错高一学生的平均成绩为171 787979848691 9394958510 x，10222111()6010iisxx高二学生成绩：78,79,81,84,85,85,86,87,92,93，则 高 二 学 生 的 平 均 成 绩 为1787981 848585868792938510 x，102212
7、11()2210iisxx，故 B,C 选项错高一成绩优秀学生 4 名，高二成绩优秀学生 2 名，从 6 名学生中随机抽取 2 名，他们的成绩组成的所有基本事件（用数对表示）为91,92，91,93，91,93，91,94，91,95，92,93，92,93，92,94，92,95，93,93，93,94，93,95，93,94，93,95，94,95共 15 个.记“抽取的2 名学生的成绩差的绝对值不大于 1”为事件A，则事件A包含的基本事件为91,92，92,93，92,93，93,93，93,94，93,94，94,95，共 7 个.由古典概型计算公式可知 715P A.故D 选项正确.
8、命题意图：本题主要考查样本数字特征，百分位数，平均数，方差，以及古典概型考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.二、选择题：本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目目 要求全部选对的得要求全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分9.答案：BD解析：A 选项：若10,a 则数列 na为递减数列，故 A 错；B 选项：211,25425204nnannn当且仅当52n 时，等号成立，由于,nN故最小值应在2n 或3n 处取，232
9、3,4161aa故na的最大值为3.61故 B 正确；C 选项：由29nSnn 得102,nan则42a，故 C 错；D 选项：由题可知10,a 且2216,aa a所以2111()(5),ada ad整理得：2113,da d所以0d 或13,da当0d 时，1,naa此 时1;q 当13da时，1(32),nana此 时21614,16,4aa aa q，故 D 正确.命题意图：本题考查等差等比数列及其前n项和的性质，考查的核心素养是逻辑推理，数学运算.10 答案：BCD解析：解析：椭圆22:13xEy可得3a，1b，2c，所以左焦点1(2,0)F，A选项：AB最大值为22 3a 所以A不
10、正确；B选项：设1(A x，1)y，2(B x，2)y,设中点00,M xy,所以221113xy,222213xy,所以121212120,3xxxxyyyy所以1212121213OMAByyyykxxxkx,所以2111233322ABOMkk,所以B正确;C选项:设点O为坐标原点,因为点,N O分别为112,AF FF的中点，所以112113222NFNOAFAFa，所以点N的轨迹是椭圆；所以C正确；D选项：圆223xy的圆心为(0,0)，半径为3，设1AF的中点为M，所以2111322OMMAAFAF，所以两个圆内切，所以D选项确；故选：BCD命题意图：本题考查椭圆的定义和性质的应用
11、，长度的求解，考查学生的运算求解、逻辑推理能力，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理11.答案：ACD题号91011答案BDBCDACD#QQABDY6AggiAApAAABgCAwVgCEEQkBAAAAoOhEAMoAAASQFABAA=#解析：A 选项,由题意，2211sin()sin22bcAcbA，又sin0A，所以221122bccb，整理得2220cbcb，解得2cb，所以ABC为“倍长三角形”,故A正确;B 选项,设ACx，2ABx，所以21sin2 sin21 cos2ABCSBC ACCxCxC，又由余弦定理得2222163cos28BCACABxCBC ACx，所以2222
12、216 322569801()()819cos2169ABCxxxSxCx，由三角形的三边关系可得2442xxxx，解得443x，所以当4 53x 时，面积有最大值为163故B错；C 选项,因为AD是BAC的角平分线，交BC于点D,所以点D到AB，AC的距离相等，又2ABAC，所以2ABDACDSS，2BDCD，由题意ADa，23aBD，ABC中，222cos2acbBac，ABD中，2222()3cos223caaBca，联立得2221163abc，又2cb，所以221811ab，所以22222218(2)3711cos022244bbbbcaBACbcbb，所以BAC为锐角 故C正确；D
13、选项，设ACbt，2BAC,由ABDACDABCSSS，所以3sin2sincos2，故4cos3，因为0,2，且且1 2,3 3,所以1 1cos,4 2，所以tan3,15，又因为2sin21ABCSt，得21sin2t,222222222cos(2)4cos254cos2,uabcbcAttttt令2254cos25 4cos254 cos2sin2sin2sin2utt，所以22222225sin5cos4(cossin)9sincos9tan12sin cos2sin cos2tanu，即9tan122tanu，所以u关于tan3,15在内单调递增，所以当tan3时，u取得最小值为9
14、 3114 3232 3u故D正确.命题意图：本题考查解三角形，三角恒等变换,正弦定理及余弦定理在求解三角形中的应用，还考查了三角函数最值求解以及三角形的面积公式，考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 15 分分12答案：22解析：(2,1)a，(cos,sin)xxb，因为ab，所以2sincosxx，2tan2x.命题意图：本题考查共线向量的坐标表示和弦切转化问题，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理#QQABDY6AggiAApAAABgCAwVgCEEQkBAAAAoOhEAMoAAASQFABAA=
15、#13.答案：2.解析：设圆台的上，下底面半径分别为1r,2r，母线长为,l由题意得24r，该圆台与其内切球的轴截面如图：记圆台的高为h，内切球的半径为r，则2hr，易知，该圆台的母线长为125lrr，解得11r,2221()42,hlrrr所以2r.命题意图：本题考查圆台和球的组合体问题，考查的核心素养是数学运算、直观想象、逻辑推理14.答案：),1e.解析：将不等式mexxmxln11变形得：)ln1(xxemxemxmx，即)ln1()1(xxmxemx，所以)ln1()1(lnxxeemxmx，设函数)ln1()(xxxf，则)()(xfefmx恒成立.又0ln2)(xxf恒成立，所以
16、函数)ln1()(xxxf在),1 上单调递增.因为)()(xfefmx恒成立，所以xemx，即xxmln.设xxxgln)(，2ln1)(xxxg，当)(,0)(),1 xgxgex单调递增；当)(,0)(),(xgxgex单调递减；所以eegxg1)()(max，所以em1.命题意图：本题考查函数导数中同构问题及恒成立问题，考查的核心素养是数学运算、逻辑推理四、解答题：本题共四、解答题：本题共 5 小题，共小题，共 77 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15.（1）解：因为BCPFDEBC,/，所以DEPF，又因为EDEPDPD,PF，所以P
17、FPDE 平面.3 分所以PFPE,在PEF中，2ABEF,1PF,所 以3PE 又PD2,DE1,222PDPE+DE,所以PDE为直角三角形.所以111313 1.3326P DEFF DEPDEPVVSPF .6 分（2）解：在平面PDF内，过点P作PTDF于点T，那么PT平面ABCD在Rt DPF中，55,554,552FTDTPT，.8 分以D为坐标原点，DA,DC所在的直线分别x轴、y轴，过点D且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,0,0),E4 8(,0),5 5T)552,58,54(P，182 5(,)555PE .9 分因为PT平面ABC
18、D,所以可以取平面DEF的一个法向量为)1,0,0(n，设直线PE和平面DEF所成的角为，2 1717|PE n|sin|cos PE,n|PE|n|所以.11 分所以直线PE和平面DEF所成角的正弦值2 1717.13 分命题意图：本题以四棱锥为载体，考查点到平面的距离、直线和平面所成角的求解.主要考查学生的运算求解能力，直观想象的能力，考查的数学核心素养是直观想象、数学运算、逻辑推理.16.（15 分）解：(1)1232,6,18;aaa.3 分猜想：12 3,nna.4 分证明：因为(3)nna不超过3n的数共有3n个，其中与3n不互素的数是3的倍数，即13 1,3 2 3 33 3n，
19、共13n个数，所以11332 3,nnnna.6 分(2)易知 na是以12a 为首项，以3为公比的等比数列，#QQABDY6AggiAApAAABgCAwVgCEEQkBAAAAoOhEAMoAAASQFABAA=#所以2(1 3)31.1 3nnnS.7 分因为31log(1),nnbS 即31log32,nnbn 所以21,nbn.9 分故22222121(21)(21)412111122(21)(21)41(21)(21)2121nnnnnbbnnncb bnnnnnnn .11 分所以12311111111 1111335572121nnTccccnn 11.21nn.15 分命题意
20、图：本题以新定义为载体，主要考查等比数列的前n项和公式和裂项求和法，考查学生创新性的分析问题解决问题的能力，考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.17.（15 分）解：（1）因为xbxaxxfcossin)(2，所以()2cossinfxxaxbx，2 分所以切线的斜率(0)1kf ，即1a；又1)0(f，即1b.所以1 ba.4 分（2）证明：函数xxxxfcossin)(2，其定义域为R，2f(x)xcosxsinx，下面证明()2cossinyfxxxx有且只有一个变号零点.设()()2cossing xfxxxx，()2sincos22sin()04g xxxx则，所以函数)(xgy
21、 在),(单调递增，6 分又01)0(g，显然,01)2(g由零点存在定理，存在唯一的)2,0(0 x满足0)(0 xg，8 分所以)(),(,xfxfx之间的关系如下表：x),(0 x0 x),(0 x()yfx0+)(xfy 单调递减极小值单调递增所以函数)(xfy 有且只有一个极值点.10 分证明:由0)(0 xg得:0sincos2000 xxx，即)sin(cos21000 xxx，所以)sin(cos)sin(cos41)(002000 xxxxxf，由知0)0(g，又,021233)6(g所以006x(,),12 分)4sin(2)2sin1(41)(000 xxxf,因为000
22、122024f(x)cos xcos(x),则)(0 xfy 在)6,0(上单调递减,所以0125 31643668f(x)f()(sin)sincos，14 分即8352)(0 xf.15 分命题意图：本题依托函数的极值，主要考查导数的应用以及零点存在定理、二分法等，考查的数学核心素养是数学运算、逻辑推理.18.解：（1）设,2M x yx ，则2111122yykkxx，.3 分#QQABDY6AggiAApAAABgCAwVgCEEQkBAAAAoOhEAMoAAASQFABAA=#解得:242xy x.6 分(2)是定值.依题意，可设直线AB的方程为ykxm，1122,A x yB x
23、y，则有1122,A xmAxm.由24ykxmxy消去y可得2440 xkxm,从而有12124,4xxkx xm.8 分于是21212242yyk xxmkm,又由2211224,4xy xy，可得21221216x xy ym,.10 分记直线l与y轴的交点为1P，则1OPOPm，于是有11111111,22SAA PAym x2111121,2SAB PPm xx3111221122SBB PBym x，.13 分222212121222131122121212444mxxx xm xxSS Sym xym xy ym yymx x所以222222222441664)=4.16)424
24、(mkmmkmmkmmmkmmm.17 分命题意图：本题考查抛物线的方程、三角形面积的表示、韦达定理的使用，考查学生的数学运算求解能力，逻辑推理能力，考查的核心素养是数学运算，逻辑推理.19（17 分）解：（1）1X的所有可能取值为 100，1100，1(100)(1)(1)P Xpq,1(1100)(1)P Xpp q，3 分所以1X的数学期望是：111()100(100)1100(1100)E XP XP XqpPqP)1(11001100)1)(1(100.)1(10001000100qpp5 分（2）nX的所有可能取值为 100，200，n100，1000100 n,记事件iA为“第i
25、次检测为阳性”，1,2,3,.;in事件 B 为“患者感染甲病毒”,则pBPpBP1)(,)(，0)|(,1)|(BAPBAPii，qBAPqBAPii1)|(,)|(,于是)|()()|()()()100(1111BAPBPBAPBPAPXP01111(p)(q)(p)(q)，当nk 2时,112110011knkkP(Xk)P(AAA A)(p)q(q)，).()1000100(21nnAAAPnXP)|.()()|.()(2121BAAAPBPBAAAPBPnn111nnnp(p)qp(p)q，综上，当1kn时，1(100)(1)(1)knP Xkpq q,(1001000)(1)nnP
26、 Xnpp q，7 分11)100(1)(1)(1001000)(1)(nknnkkpq qnppEqX所以11100(1)(1)(1001000)(1)nknkpqkqnpp q,9 分从而11(100(1)(1)(1)100 100(1)1000(1)(1001000)(1)100(1)100(1)(1)100(1)1000(1001000)100100()111)(109)nnnnnnnE XE Xpq nqpnp qnp qpp qq nnqqnpp qq，分（3）若410p，210q，则当1n 时，242141(10100(1 10)10(0.19)100890(1 10)100).
27、nnnnE XE X，13 分#QQABDY6AggiAApAAABgCAwVgCEEQkBAAAAoOhEAMoAAASQFABAA=#令1)(0)(nnE XE X，得14100890(1 10)n，由于n是整数，所以3n 令1)(0)(nnE XE X，得14100890(1 10)n，解得1,2n，15 分综上，321)E XE XE X（，并且345)()(E XE XE X，故取03n，则对任意*nN，有0)()(nnE XE X成立，故应选取0n值为3.17 分命题意图：本题主要考查独立性事件的概念和全概率公式，期望的求解和应用，考查的数学核心素养是逻辑推理，数学运算，数据处理.#QQABDY6AggiAApAAABgCAwVgCEEQkBAAAAoOhEAMoAAASQFABAA=#