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1、学科网（北京）股份有限公司20232024 学年高三第二次模拟考试学年高三第二次模拟考试 高三数学试题高三数学试题注意事项：注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在写在本试卷上无效本试卷上无效
2、3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4本试卷主要考试内容：高考全部内容本试卷主要考试内容：高考全部内容 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的1 设集合233,2(8)40AxxBx xaxa=+，且23ABxx=，则a=（）A2 B3 C4 D5 2若2iz=+，则3zzz=（）A11i2+B11i2+C11i2D11i2 3函数1 e()cos21 exxf xx=+的部分图象大致为（）ABCD
3、4 如图，在正四棱柱1111ABCDABC D中，14AAAB=，则异面直线1AB与1AD所成角的余弦值为（）A717B1417C1617D8172024届保定高三二模数学试题含答案 学科网（北京）股份有限公司 5已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab=的离心率为方程22520 xx+=的解，则C的渐近线的斜率的绝对值为（）A33 B23 C2 D3 6已知3costansin11=+，则cos2=（）A78 B78 C79 D79 76 名同学想平均分成两组进行半场篮球比赛，有同学提出用“剪刀、石头、布”游戏决定分组当大家同时展示各自选择的手势（剪刀、石头或布）时，如果恰好只有 3
4、个人手势一样，或有 3 个人手势为上述手势中的同一种，另外 3 个人手势为剩余两种手势中的同一种，那么同手势的 3 个人为一组，其他人为另一组，则下列结论正确的是（）A在进行该游戏前将 6 人平均分成两组，共有 20 种分组方案 B一次游戏共有36种手势结果 C一次游戏分不出组的概率为51603 D两次游戏才分出组的概率为10144203 8已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12,F F P是C上的点，且在第一象限，PA是12FPF的角平分线，过点2F作PA的垂线，垂足为B，若2,|3PFm OBb=m，则C的离心率为（）A33 B63 C69 D39 二、选择题：
5、本题共二、选择题：本题共 3 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 18 分分在每小题给出的选项中，有多项符合题在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求目要求全部选对的得全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分分 9下图是 2023 年 5 月 1 日至 5 月 5 日某旅游城市每天最高气温与最低气温（单位：）的折线图，则下列结论正确的是（）学科网（北京）股份有限公司 A这 5 天的最高气温的平均数与最低气温的中位数的差为7 B这 5 天的最低气温的极差为3 C这 5 天的最高气温的众数是26 D这 5 天的最低气温的第 40 百分位
6、数是16 10已知直四棱柱1111ABCDABC D的侧棱长为 3，底面ABCD是边长为 2 的菱形，BAD=,3M为棱1DD上的一点，且1,MDP=为底面ABCD内一动点（含边界），则下列命题正确的是（）A若PM与平面ABCD所成的角为4，则点P的轨迹与直四棱柱的交线长为23 B若点A到平面PDM的距离为3，则三棱锥MPAD体积的最大值为2 33 C若以D为球心的球经过点M，则该球与直四棱柱的公共部分的体积为49 D经过,B C M三点的平面截直四棱柱所得的截面面积为 4 11已知定义域为R的函数()f x满足33()()()f xyy f xx f y=+，则（）A(0)0f=B(1)1f
7、=C()f x是奇函数 D存在函数()f x以及0 x，使得()0fx的值为24e 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 3 小题，毎小题小题，毎小题 5 分，共分，共 15 分分 12已知向量,a b 的夹角的余弦值为1,|14a=，且(2)14abb=，则|b=_ 13在等比数列 na中，13526413,27a a aa a a a=，则6a=_ 14已知点P为圆221:(5)4Cxy+=上位于第一象限内的点，过点P作圆222:2Cxyax+220(25)aaa+=的焦点为F，过F作互相垂直的直线12,l l，分别与C交于,A B和,D E两点（A，D 在第一象限），当直线1l的倾斜角等
8、于45时，四边形ADBE的面积为 32（1）求 C 的方程；（2）设直线 AD 与 BE 交于点 Q，证明：点 Q 在定直线上交于点Q，证明：点Q在定直线上 19（17 分）已知函数()ln,()f xaxxx fx=为其导函数（1）若()1f x 恒成立，求a的取值范围；（2）若存在两个不同的正数12,x x，使得()()12f xf x=，证明：()120fx x 20232024 学年高三第二次模拟考试学年高三第二次模拟考试 高三数学试题参考答案高三数学试题参考答案 1C 因为()22840 xaxa+=的两根为124,2axx=，且23ABxx=，所以 42aBxx=，所以22a=，解
9、得4a=2A 因为2iz=+，所以2i11i5323zzz+=+3A 设()1 e1 exxg x=+，则()()1 ee11 e1 exxxxgxg x=+，所以()g x为奇函数，设()h x=cos2x，可知()h x为偶函数，所以()1 ecos21 exxf xx=+为奇函数，则 B，C 错误，易知()00f=，所以 A 正确 4 C 连接111,BC AC（图略），易知11/BCAD，则11ABC就是异面直线1AB与1AD所成的角 设1AB=，则111117,2BCABAC=，所以111717216cos2 1717ABC+=学科网（北京）股份有限公司 5D 因为方程22520 x
10、x+=的解为12x=或2x=，且双曲线的离心率大于 1，所以2e=由2214bea=+=，解得3ba=6B 因为sin3coscossin11=+，所以24sin11sin30+=，解得1sin4=或sin3=（舍去），所以27cos212sin8=7D 一共有336322C C10 A=种分组方案，A 错误 每人有 3 种选择，所以一次游戏共有63种手势结果，B 错误 要分出组，有两类情况第一类情况，首先确定 3 个人出一样的手势，再确定另外 2 个人出其他两种手势中的一种，最后 1 个人出剩下的手势，所以能分出组的手势结果有()(3263C3C2）种第二类情况，当其中3个人出同一种手势，另
11、外3个人出剩余两种手势中的同一种时，能分出组的手势结果有323636CA3C2!=种，所以一次游戏就分出组的概率为32363666C C3C3+=51403，所以一次游戏分不出组的概率为51033，C 错误 两次游戏才分出组的概率为551010314014420333=，D 正确 8B 如图，延长2F B交1PF于点E，可知21,22PFPEm EFam=，所以3,3OBambm ab=，所以22613cbeaa=9 ACD 对于 A，这 5 天的最高气温的平均数为26 2232520245+=，最低气温的中位数为17，它们的差为7，A 正确 对于 B，这 5 天的最低气温的极差为6，B 错误
12、 对于 C，这 5 天的最高气温的众数为26，C 正确 对于 D，最低气温从小到大排列为13,15,17,18,19，且5 0.42=，所以这 5 天的最低气温的第40 百分位数是16，D 正确 10 AD 对于 A，可知P的轨迹是以D为圆心，半径为 1 的圆，所以点P的轨迹与直四棱柱的交线为圆弧，学科网（北京）股份有限公司 圆弧长为22133=，故 A 正确 对于 B，可知点P在线段BD上，所以当点P与点B重合时，三棱锥MPAD体积最大，且最大值为11323 1323 =，所以B错误 对于C，可知该球的半径为1，球与直四棱柱的公共部分的体积为43321231229=，所以 C 错误 对于 D
13、，如图，经过,B C M三点的平面截直四棱柱所得的截面为平行四边形BCMN，其中1AN=，可得5BN=设MN的中点为,Q AD的中点为O，连接,QO OB QB，可得BC 平面BOQ，所以BCBQ，求得2BQ=，所以 2 24BCMNSBC BQ=四边形，D 正确 11ACD 由()()()33f xyy f xx fy=+，取0 xy=，得()00f=，A 正确 取1xy=，得()()121ff=，解得()10f=取1xy=，得()()1210ff=，所以()10f=，B 错误取1y=，得()()()()31fxf xx ff x=+=，所以()f x是奇函数，C 正确 当0 xy 时，在(
14、)()()33f xyy f xx fy=+两边同时除以33x y，得()()()3333f xyf xfyx yxy=+，令()3lnf xxx=，则()3ln,0,0,0,xx xf xx=当0 x 时，()3lnf xxx=，所以()2fxx=()3ln1x+，所以()()22ee3lne 14ef=+=，D 正确 124 因为()214abb=，所以2212|142a bbbb=，解得4b=133 由352613526,a aa a a a aa a=，得11a=设等比数列 na的公比为q，由41327a a=，得3121527qqq=，所以563aq=142；3 圆2C的标准方程为2
15、2()2(2)xayaa+=，圆心()2,0Ca，则2PC为APB的角平 学科网（北京）股份有限公司 分线，所以22ACPABCPB=设()00,P xy，则()220054xy+=，所以()()220002200012 252254xyPAxPBxxy+=+，则222ACBC=，即()12 4aa=，解得3a=，则222:(3)1Cxy+=，所以点N与()4,0B重合，此时221,30C MMAC=，可得53,22M，所以3MN=15解：（1）因为coscosaBbAac=，所以sin coscos sinsin(sin coscos sin)ABABAABAB=+化简得2sin cossi
16、nABA=，因为sin0A，所以1cos2B=因为()0,B，所以23B=（2）因为2222(2 7)22 2 cos3cc=+，所以22240cc+=，解得4c=因为BD为ABC的中线，所以2BDBABC=+，所以22224|2cos3BDcaac=+因为2,4ac=，所以24|12BD=，解得3BD=16解：（1）强化训练后的平均成绩约为55 0.0465 0.1675 0.285 0.3295 0.2881.4+=由于前三列概率之和为0.040.160.20.4+=，设中位数为80 x+，则0.0320.1x=，解得3.125x=，所以中位数约为 83.13（2）零假设为0:H跳水运动员
17、是否优秀与强化训练无关 补充完整的表格为 优秀人数 非优秀人数 合计 强化训练前 40 60 100 强化训练后 60 40 100 合计 100 100 200 则220.005200(40 4060 60)87.879100 100 100 100 x=，根据小概率值0.005=的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为跳水运动员是否优秀与强化训练有关 17（1）证明：连接,BD EF因为底面ABCD是菱形，,E F分别为,AD AB的中点，所以,/ACBD EF BD，所以ACEF又,ACPE PEEFE=，所以AC 平面PEF因为PF 平面PEF，所以ACPF 学科网（北京）股份有限公司
18、（2）解：因为,PAPD E=是AD的中点，所以PEAD 又,ACPE ACADA=，所以PE 平面ABCD 连接EB，以E为坐标原点,EA EB EP 的方向分别为,x y z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示设2PAPDAB=，则3EBPE=，()()()130,0,3,1,0,0,0,3,0,022PDBF，()()132,3,0,1,0,3,322CPDPF=，()()0,3,3,2,3,3PBPC=设()1111,nx y z=是平面PDF的法向量，由110,0,n PDn PF=，得1111130,1330,22xzxyz=+=取11z=，可得()13,3,1n=设()2222
19、,nxyz=是平面PBC的法向量，由22222220,330,0,2330,nPByznPCxyz=+=取21z=，可得()20,1,1n=，所以12121242 26cos,13132n nn nn n=，所以平面PBC与平面PDF夹角的余弦值为2 2613 18（1）解：当直线1l的倾斜角等于45时，直线2l的倾斜角等于135，直线AB的方程为2pyx=由抛物线的对称性知ABDE=，所以 1322ADBESAB DE=四边形，得8AB=学科网（北京）股份有限公司 联立方程组2,22,pyxypx=消去y得22304pxpx+=设,A B两点的横坐标分别为,ABxx，则3ABxxp+=又48
20、ABABxxpp=+=，所以2p=，所以C的方程为24yx=（2）证明：由（1）知()1,0F，依题意，可设直线1l的方程为()1yk x=，则直线2l的方程为y()11xk=联立方程组()21,4,yk xyx=消去x得2440yyk=，设()()1122,A x yB xy，则12yy+=124,4y yk=设()()3344,D xyE xy，同理可得34344,4yyk y y+=，所以131322311313444ADyyyykyyxxyy=+，同理可得244BEkyy=+直线AD的方程为()11134yyxxyy=+，即21311131313444y yyyxyxyyyyyy=+=
21、+同理，直线BE的方程为 131324242413131313164444444y yy yy yyxxxyyyyyyyyyyyy=+=+=+两直线方程联立得13131313131344y yy yxxyyyyyyyy+=+，解得1x=，即直线AD与BE的交点Q在定直线1x=上 19（1）解：()1 lnfxax=当10eax单调递增；当1eax时，()()0,fxf x单调递减所以()ma1x1()ee1aaf xf=，解得1a，即a的取值范围为(,1（2）证明：不妨设12xx，则1120eeaaxx，学科网（北京）股份有限公司 即证112eax x，则证2212eax x，则证22112eeaaxx，所以只需证()2212eaf xfx，即()2222eaf xfx时，2221 ln0,e0aaxx，则()0gx，所以()g x在()1e,eaa上单调递减，则()()1e0ag xg=所以()2212eaf xfx 由（1）知()f x在()10,ea上单调递增，所以2212eaxx成立