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1、清北学堂高联一试模拟题(十一)一、一、填空填空题题 1 1、已知函数)123(log)(2axaxxfa对任意的 1,0(x恒有意义，则实数a的取值范围是 .答案：答案：),1()1,21.解：解：显然0a且1a.由题意知01232axax对一切 1,0(x恒成立，即2132xxa对一切 1,0(x恒成立.令213)(2xxxg，则222)2(623)(xxxxg，显然，对一切 1,0(x，0)(xg，所以函数213)(2xxxg在 1,0(上单调递减，因此，当 1,0(x时，)0()()1(gxgg，即21)(2xg.因此，21a.综合可知：实数a的取值范围是),1(1,21.2 2、计算
2、003tan104 3sin10 答案：答案：3 解：解：003tan104 3sin1000000003sin102 3sin 30103sin102 3sin20cos10cos10 0000003sin102 3 sin30 cos10cos30 sin103cos10 3 3、将正五角星的五个“角”（等腰的小三角形）分别沿其底边折起，使其与原所在平面成直二面角，则所形成的空间图形中，共有异面直线段 对 答案：答案：50 解：解：五角星的外围是由10条线段组成的封闭折线，将其按红、蓝间隔染色，（内圈的小正五边形不染色），则在这10条线段中，任一对同色的线异面，而任一对异色的线共面，于是得
3、到25220C 对异面直线段；又每条有色线段恰与底面小正五边形的三条边异面，这种情况共有30对；因此总共有50个“异面直线段对”B1B4B3B2A4A3A5A2A1B5更多数学、物理竞赛资料(视频、文档)请加QQ咨询：360 2 2 77341 4 4、已知双曲线以两坐标轴为对称轴，焦点在y轴上，实轴长为2sin,4 3 ，又双曲线上任一点(,)p x y到点(1,0)M的最短距离为1sin，则该双曲线的离心率的取值范围是 答案：答案：2 21（1,.7 解：解：设双曲线方程为22221,sinyxb则 22222222222sin(1)(1)sin(1)(1)21 sin.xPMxyxxxb
4、b 因xR，故22222min1 sin,sinbPMb 又 因22m i n1,s i nPM从 而64224s i ns i ns i n,1s i nb而20b 及,.4 3 解不等式得2513sin,24又因222222422sinsin1(),1sin1 sinsinsincbea令2sin,t则21,1ett因1()1f ttt在51 324，上是递增函数，故2122 211,1.77ee 5 5、九个连续正整数自小到大排成一个数列129,a aa，若13579aaaaa为一平方数，2468aaaa为一立方数，则这九个正整数之和的最小值是 答案：答案：18000 解：解：设这九数为
5、 4,3,2,1,1,2,3,4aaaaa aaaa，则有，25am，34an，9Sa，则2254mna，得 2345mn 令112,5nn mm，得231110040mn，所以 231152mn，再取122mm，125nn，化为 2222225mn，取2210,2mn，可使左式成立，这时20,100nm，2000a，918000Sa 更多数学、物理竞赛资料(视频、文档)请加QQ咨询：360 2 2 77341 6 6、四位数 w 不能拆分为三个正整数的平方和，即方程wwzyx(222为四位数)没有正整数解，则 w 的最大值为 答案：答案：9999.解：解：熟知任一奇数的平方模 8 余 1，任
6、一偶数的平方模 8 余 0 或 4，从而任意三个正整数的平方和不可能模 8 余 7，说明 9999 不能表为三个正整数的平方和，显然这是具有这一性质的最大四位数。7 7、方程yyyyxx2342的整数解为 答案：答案：（0，1），（1，1），（0，0），（1，0），（6，2），（5，2）解：解：14122342yyyyx 1432212222222yyyyyyyy，可得y2 或y1 时，有222yy212 x2212 yy,矛盾.1y 2.当y1 时，x0，1；y0 时，x0,1；y2 时，x6，5 8 8、实数a使得对于任意实数12345,x x x x x，不等式 222221234512
7、233445()xxxxxa x xx xx xx x 都成立，则a的最大值为 答案：答案：2 33.解：解：因为当123451,3,2,3,1xxxxx时，得23a 又当23a 时，不等式恒成立事实上 2222212345222222223322441522332233xxxxxxxxxxxxx 1223344522223333x xx xx xx x，所以，a的最大值为2 33 更多数学、物理竞赛资料(视频、文档)请加QQ咨询：360 2 2 77341 二、二、解答解答题题 9 9、设 b、c 为正数，m为奇数。证明：()()()()()()mmmmmmmmmbcbccbbcbccb.证
8、明：证明：首先我们有如下事实：对任意实数0 yx和正整数 n，都有 nnnyxyx)(。事实上，设)0(ttyx。根据二项式定理展开nty)(，有nnnnntytyx，即nnnnyxtyx)(。对原题，不失一般性，设cb。记nm。将引理应用于正数 b、c 和2b、2c，得 nnncbcb)(，nnnnnnnnncbcbcbcbcbcb)()()()()()(2222。将上述两个不等式相乘得 nnnnnnnnncbcbcbcbcbcb)()()()()(。因为nm为奇数，所以，)(nnnnbccb，nnbccb)()(。由此即得所证。1010、如图所示，双曲线222ayx的一条准线与实轴相交于点
9、 A，过点 A 引一条直线和双曲线交于 M、N 两点，又过右焦点2F引一条垂直于 MN 的直线和双曲线交于 P、Q 两点.求证：|2|22ANAMPFQF.解：解：易知)0,2()0,2(2aFaA.设直线MN的倾斜角为a，则直线PQ的倾斜角为2.直线 MN 的参数方程为.sin,cos2tytax（t为参数）直线 PQ 的参数方程为).2sin(),2cos(2atyatax（t为参数）更多数学、物理竞赛资料(视频、文档)请加QQ咨询：360 2 2 77341 将代入双曲线的方程，得021)cos2()sin(cos2222ataataa，所以|sincos21|22221aaattANA
10、M|2sec|22aa.将代入双曲线方程，得0)sin22()sin(cos2222ataataa，所以|sincos|2224322aaattQFPF=|2sec|2a.故|2|22ANAMPFQF.1111、对正整数n，记()f n为数231nn的十进制表示的数码和(1)求()f n的最小值；(2)是否存在一个正整数n，使得()f n=2017？解：解：（1）由于231nn是大于 3 的奇数，故()1f n 若()2f n，则231nn只能为首位和末位为 1，其余数码为 0 的一个数，即231nn=101k，k是大于 1 的整数于是(31)25kkn n，由于,311nn，所以2,315,kknn 于是3144 25kknn ，矛盾！故()2f n 又当n=8 时，231nn=201，所以(8)3f 综上所述，()f n的最小值为 3.（2）事实上，令101kn，则 22313 105 103kknn 1129999500003kk，数码和为29(1)5391kk 由于 2017=9224+1，所以224(101)f=2017.