高等数学试题及答案 (1).pdf

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1、1 高等数学基础样题(试题及答案)高等数学基础样题(试题及答案)一、单项选择题一、单项选择题 1 下列各函数对中，（C）中的两个函数相等 A.2)()(xxf=，xxg=)(B.2)(xxf=，xxg=)(C.3ln)(xxf=，xxgln3)(=D.1)(+=xxf，11)(2=xxxg 设函数)(xf的定义域为),(+，则函数)()(xfxf+的图形关于（C）对称 A.坐标原点 B.x轴 C.y轴 D.xy=3.设函数)(xf的定义域为),(+，则函数)()(xfxf的图形关于（A）对称 A.坐标原点 B.x轴 C.y轴 D.xy=4.下列函数中为奇函数是（B）A.)1ln(2xy+=B.

2、xxycos=C.2xxaay+=D.)1ln(xy+=5.下列函数中为偶函数是（D）A.xxysin1）（+=B.xxy2=C.xxycos=D.)1ln(2xy+=6.下列极限存计算不正确的是（D）A.12lim22=+xxx B.0)1ln(lim0=+xx C.0sinlim=xxx D.01sinlim=xxx 7.当0 x时，变量（C）是无穷小量 A.xxsin B.x1 C.xx1sin D.2)ln(+x 8.当0 x时，变量（D）是无穷小量 (A)x1 (B)xxsin (C)x2 (D)1)ln(+x 9.当0 x时，变量（C）是无穷小量 (A)x1 (B)xxsin (C

3、)1e x (D)2xx 10.当0 x时，下列变量中（D）是无穷小量(A)x1sin (B)xxsin (C)21e (D)1)ln(2+x 11.当0 x时，下列变量中（A）是无穷大量 (A)xx21+(B)x (C)0.001x (D)x2 12.设)(xf在0 x可导，则=hxfhxfh2)()2(lim000（D）A.)(20 xf B.)(0 xf C.)(20 xf D.)(0 xf QQ3742892362 13.设)(xf在0 x可导，则=hxfhxfh)()2(lim000（A）A.)(20 xf B.)(0 xf C.)(20 xf D.)(0 xf 14.设)(xf在0

4、 x可导，则=hxfhxfh2)()(lim000（C）A.)(210 xf B.)(20 xf C.)(210 xf D.)(20 xf 15.设xxfe)(=，则=+xfxfx)1()1(lim0（B）(A)e2 (B)e (C)e41 (D)e21 16.若)(xf的一个原函数是x1，则=)(xf（D）A.xln B.21x C.x1 D.32x 17.若xxfcos)(=，则=xxfd)(（B）A.cx+sin B.cx+cos C.cx+sin D.cx+cos 18.若xxfsin)(=，则=xxfd)(（A）A.cx+sin B.cx+cos C.cx+sin D.cx+cos

5、19.若+=cxFxxf)(d)(，则=xxfxd)(ln1（B）(A)(ln xF (B)cxF+)(ln (C)cxFx+)(ln1 (D)cxF+)1(20.若+=cxFxxf)(d)(，则=xxfxd)(1（B）(A)(xF (B)cxF+)(2 (C)cxFx+)(1 (D)cxF+)(21 21.下列无穷限积分收敛的是（B）A.+1d1xx B.+0dexx C.+1d1xx D.+12d1xx 22.下列无穷限积分收敛的是（C ）(A)xxd11+(B)xxd11+(C)xxd1134+(D)xxdsin1+23.下列无穷限积分收敛的是（D ）(A)+1d1xx (B)+0dex

6、x (C)+1d1xx (D)+12d1xx 24.下列无穷限积分收敛的是（A ）(A)+13d1xx (B)+0cosxdx (C)dxex+13 (D)+1d1xx 25.下列无穷限积分收敛的是（B ）(A)+0 xdex (B)dxx+021 (C)dxx+11 (D)+1d1xx 26.下列等式中正确的是（B）QQ3742892363 (A)dd()arctan112+=xx x (B)dd()12xxx=(C)xxxd2)2ln2(d=(D)dd(tan)cotxx x=27.下列等式中正确的是（C）(A)dxxx1)1(d2=(B)dxxx2)1(d=(C)xxxd2)2ln2(d

7、=(D)dd(tan)cotxx x=28.下列等式成立的是（A）(A)(d)(ddxfxxfx=(B)(d)(xfxxf=(C)(d)(dxfxxf=(D)()(dxfxf=29.函数2eexxy=的图形关于（A）对称 (A)坐标原点 (B)x轴 (C)y轴 (D)xy=30.函数222xxy+=的图形关于（A）对称 (A)坐标原点 (B)y轴 (C)x轴 (D)xy=31.在下列指定的变化过程中，（C）是无穷小量 (A)(1sinxxx (B)0(1sinxx (C)0()1ln(+xx (D)(e1xx 32.在下列指定的变化过程中，（A）是无穷小量 (A)0(1sinxxx (B)(1

8、sinxxx (C)0(lnxx (D)(exx 33.设)(xf在0 x可导，则=hxfhxfh2)()2(lim000（C）(A)(0 xf (B)(20 xf (C)(0 xf (D)(20 xf 35.下列积分计算正确的是（D）(A)0dsin11=xxx (B)1de0=xx (C)d2sin0=xx (D)0dcos11=xxx 36.下列积分计算正确的是（D）(A)0dsin11=xxx (B)1de0=xx (C)d2sin0=xx (D)0dcos112=xxx 37.下列积分计算正确的是（B）(A)0d)(11=+xeexx(B)0d)(e11=xexx (C)0d112=

9、xx (D)0d 11=xx QQ3742892364 38.=xxxfxd)(dd2（A）(A)(2xxf (B)xxfd)(21 (C)(21xf (D)xxxfd)(2 39.函数622+=xxy在区间)5,2(内满足（D）A.先单调下降再单调上升 B.单调下降 C.先单调上升再单调下降 D.单调上升 40.函数62=xxy在区间)55(，内满足（A）A.先单调下降再单调上升 B.单调下降 C.先单调上升再单调下降 D.单调上升 41.函数362=xxy在区间)4,2(内满足（A）A.先单调下降再单调上升 B.单调下降 C.先单调上升再单调下降 D.单调上升 42.函数322+=xxy在

10、区间)4,2(内满足（D）A.先单调下降再单调上升 B.单调下降 C.先单调上升再单调下降 D.单调上升 43.当 k=（C ）时，=0sin01xxxxy的间断点是 0=x 12.函数+=0,10,1sin)(2xxxxxxf的间断点是 0=x 13.若函数+=00)1()(21xkxxxxfx，在0=x处连续，则=k e 14.若函数+=0201)(2xxxxfx，则=)0(f 1 20.若函数+=0103)(2xexxxfx，则=)0(f -3 21.曲线xxf1)(=在)1,1(处的切线斜率是 21 22.曲线1)(3+=xxf在)2,1(处的切线斜率是 3 23.曲线2)(2+=xx

11、f在)3,1(处的切线斜率是 2 24.曲线1)(+=xxf在)2,1(处的切线斜率是 21 25.曲线2)(+=xxf在)2,2(处的切线斜率是 41 26.曲线2)(+=xxf在2=x处的切线斜率是 41 QQ3742892366 27.曲线xxfsin)(=在)1,2(处的切线斜率是 0 28.曲线xxfsin)(=在)0,(处的切线斜率是 -1 29.曲线1)(+=xexf在)2,0(处的切线斜率是 1 30.函数)1ln(2xy+=的单调增加区间是 ),0(+31.函数xyarctan=的单调增加区间是 ),(+32.函数)1ln(2xy+=的单调增加区间是 ),0(+33.函数1)

12、1(2+=xy的单调增加区间是 ),1(+34.函数12=xy的单调增加区间是 ),0(+35.函数1)1(2+=xy的单调减少区间是 )1,(36.函数2e)(xxf=的单调减少区间是 ),0(+37.函数12=xy的单调减少区间是 )0,(38.函数2)2(2+=xy的单调减少区间是 )2,(39.若+=cxxxfsind)(，则=)(xf xsin 40.=xxded2 xxde2 41.若+=cxxxfsind)(，则=)(xf xsin 42.若+=cxxxf2cosd)(，则=)(xf x2sin2 43.若+=cxxxfcosd)(，则=)(xf xcos 44.若+=cxxxf

13、cosd)(，则=)(xf xsin 45.若+=cxxxftand)(，则=)(xf x2cos1 46.若42)1(2+=+xxxf，则=)(xf 32+x 47.已知xxf2ln)(=，则=)2(f 0 48.=xx d)(sin cx+sin 49.=xxdxddsin2 2sinx 50.=xdxdxd32 23x 51 若x1是)(xf的一个原函数，则=)(xf 32x 52.函数2)1(=xy的驻点是 1=x 三、计算题三、计算题（一）计算极限 1.1.计算极限4586lim224+xxxxx 解解：32)1)(4()2)(4(lim4586lim4224=+xxxxxxxxxx

14、 QQ3742892367 1.2.计算极限4532lim221+xxxxx 解解：34)1)(4()1)(3(lim4532lim1221=+=+xxxxxxxxxx 1.3.计算极限)1sin(3221lim+xxxx 解解：4)1sin()3)(1()1sin(32limlim121=+=+xxxxxxxx 1.4.计算极限1)1sin(lim21+xxx 解解：21)1)(1()1sin(lim1)1sin(lim121=+=+xxxxxxx 1.5.计算极限xxx5sin6sinlim0 解解：5655sinlim66sinlim5655sin66sin56lim5sin6sinli

15、m0000=xxxxxxxxxxxxxx 1.6.计算极限xxx2sin3sinlim0 解解：2322sinlim33sinlim2322sin33sin23lim2sin3sinlim0000=xxxxxxxxxxxxxx 1.7.计算极限32)3sin(lim23+xxxx 解解：41)1)(3()3sin(lim32)3sin(lim323=+=+xxxxxxxx 1.8.计算极限32)3sin(lim23xxxx 解解：41)1)(3()3sin(lim32)3sin(lim323=+=xxxxxxxx 1.9.计算极限)3sin(9lim23xxx 解解：6)3sin()3)(3(

16、lim)3sin(9lim323=+=xxxxxxx 1.10.计算极限)3sin(9lim23xxx 解解：6)3sin()3)(3(lim)3sin(9lim323=+=xxxxxxx 1.11.计算极限xxx2sinlim0 解解：2121sinlim2sinlim00=xxxxxx QQ3742892368 1.12.计算极限65)2sin(lim22+xxxx 解解：1)3)(2()2sin(lim65)2sin(lim222=+xxxxxxxx （二）设定求值 2.1.设22sinxxyx+=，求y 解：由导数四则运算法则得解：由导数四则运算法则得 4224222sin22ln2c

17、os)2(sin2)2(sinxxxxxxxxxxxxyxxxx+=+=312sin22ln2cosxxxxxxx+=2.2.设xyesin2=，求 y 解：由导数四则运算法则得解：由导数四则运算法则得 )e2sin(eecosesine2xxxxxy=2.3.设2xxey=，求 y 解：由导数四则运算法则得解：由导数四则运算法则得 2222xxexey+=2.4.设xxy33ln+=，求 y 解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得)(ln)()ln(3333xxxxy+=+=xxxxxx22ln323)(lnln323+=+=2.5.设2sin

18、xxy=，求 y 解：由导数四则运算法则和导数基本公式得解：由导数四则运算法则和导数基本公式得)(sin)()sin(22xxxxy=222cos221)(cos21xxxxxx=2.6.设xexy5ln+=，求 y 解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得)()(ln)(ln55xxexexy+=xxexxex5551)5(1=+=2.7.设xexycosln+=，求 y 解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得 xxeexysin1=QQ3742892369 2.8.设2sinxeyx=，求 y 解：由

19、导数四则运算法则和导数基本公式得解：由导数四则运算法则和导数基本公式得 xxexeyxx2cossin2sin=2.9.设xxy35ln+=，求 y 解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得)(ln)()ln(3535xxxxy+=+=xxxxxx2424ln35)(lnln35+=+=2.10.设2cos3xyx=，求 y 解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得解：由导数四则运算法则和复合函数求导法则得)(cos)3()cos3(22xxyxx=222sin23ln3)(sin3ln3xxxxxx+=+=2.11.设xxeyxlntan=，求

20、y 解：由导数四则运算法则得解：由导数四则运算法则得 xxexeyxx1costan2+=2.12.设xy2cosln=，求 y 解：由导数四则运算法则得解：由导数四则运算法则得 xxxxxy22cos2sincossincos2=2.13.设xxxylntan2+=，求 y 解：由导数四则运算法则得解：由导数四则运算法则得 xxxxxxxxxy+=+=ln2cos11ln2cos1222 2.14.设xxxylncosln2+=，求dy 解：由微分运算法则得解：由微分运算法则得 )ln(d)cos(lnd)lncos(lndd22xxxxxxy+=+=)(lnd)(dln)(cosdcos1

21、22xxxxxx+=xxxxxxxxxd1dln2dcossin2+=xxxxxd)ln2tan(+=2.15.设52xcosxy=，求yd 解：由微分运算法则和微分基本公式得解：由微分运算法则和微分基本公式得)(d)(cosd)(cosdd5252xxxxy=dxxxxd45)(coscos2=dxxxx)5sincos2(4+=QQ37428923610 2.16.设xxy3ecos+=，求yd 解解：由微分运算法则和微分基本公式得由微分运算法则和微分基本公式得)3(d)e(cosd)3e(cosddxxxxy+=+=xxxxln3d3)e(desin+=xxxxxln3d3desine+

22、=xxxxln3)d3esine(+=2.17.设53xcosxy=，求yd 解：由微分运算法则和微分基本公式得解：由微分运算法则和微分基本公式得 dxxxxdxy4253d5)(cosxdcos3)(cosdd=）dxxxx)5cossin3(42+=2.18.设xxey3sin+=，求yd 解：由微分运算法则和微分基本公式得解：由微分运算法则和微分基本公式得)3(d)(d)3(ddsinsinxxxxeey+=+=dxxdexx3ln3)(sinsin+=dxxexx)3ln3cos(sin+=2.19.设xeyxlncos+=，求yd 解：由微分运算法则和微分基本公式得解：由微分运算法则

23、和微分基本公式得)(lnd)(d)ln(ddcoscosxexeyxx+=+=dxxxdex1)(coscos+=dxxxex)1sin(cos+=2.20.设yy x=()是由方程yyx2xsin2=确定的函数，求 y 解：等式两端求微分得解：等式两端求微分得 左端)(sin)(sin)sin(d222ydxxydyx+=ydyxydxxcossin22+=右端222)2x(dyxdyydxy=由此得 2222cossin2yxdyydxydyxydxx=+整理后得 xxyyyxyyyd2cosxsin22d222+=即xyyyxyyy2cosxsin22222+=QQ37428923611

24、 2.21.设yy x=()是由方程yxyecos=确定的函数，求dy 解：等式两端求微分得解：等式两端求微分得 左端yxxyxydcos)(cosd)cos(d+=yxxxydcosdsin+=右端yyyde)e(d=由此得 yyxxxyydedcosdsin=+整理后得 xxxyyydecossind=2.22.设yy x=()是由方程3yeexy+=确定的函数，求dy 解：等式两端求微分得解：等式两端求微分得 左端yeeyyd)(d=右端dyydxeydyxxx2333)d()e()e(d+=+=+=由此得 dyydxedyexy23+=整理后得 xyeyyxd3ed2=（三）计算不定积

25、分 3.1.计算不定积分xxxdcos 解：由换元积分法得解：由换元积分法得 cxxxxxx+=sin2)d(cos2dcos 3.2.计算不定积分xxxde21 解：由换元积分法得解：由换元积分法得 cuxxxuuxx+=ede)1(dede121cx+=1e 3.3.计算不定积分xxdex 解：由换元积分法得解：由换元积分法得 ceuxxxuuxx+=2de2)(de2de QQ37428923612 3.4.计算不定积分xxxdln1 解：由换元积分法得解：由换元积分法得 cxcuduuxdxxxx+=+=lnlnln1)(lnln1dln1 3.5.计算不定积分xxdx1sin2 解：

26、由换元积分法得解：由换元积分法得 cxcuuduxdxxx+=+=1coscossin)1(1sindx1sin2 3.6.计算不定积分xxdx1cos2 解：由换元积分法得解：由换元积分法得 cxcuxdxxx+=+=1sinsin)1(1cosdx1cos2 3.7.计算不定积分xxxd3cos 解：由分部积分法得解：由分部积分法得 =xxxxxxxd3sin313sin31d3coscxxx+=3cos913sin31 (四)计算定积分 4.1.计算定积分e1dlnxxx 解：由分部积分法得解：由分部积分法得=e12e12e1)d(ln21ln2dlnxxxxxxx414ed212e2e

27、12+=xx 4.2.计算定积分e12dlnxxx 解：由分部积分法得解：由分部积分法得=e13e13e12)d(ln31ln3dlnxxxxxxx9192ed313e3e123+=xx 4.3.计算定积分e1dlnxx 解：由分部积分法得解：由分部积分法得=e1e1e1)d(lnlndlnxxxxxx1dee1=x QQ37428923613 4.4.计算定积分10dxxex 解：由分部积分法得解：由分部积分法得 dxexexxexxx=101010d1e10=xe 4.5.计算定积分e12dlnxxx 解：由换元积分法得解：由换元积分法得 exexxexdxxxxxx2111d11)(ln

28、1lndlne1e12e1e1e12=+=+=4.6.计算定积分+e1dln2xxx 解：由换元积分法得解：由换元积分法得=+=+32e1e1d)ln2()dln2(dln2uuxxxxx 252322=u 4.7.计算定积分e1dlnxxx 解：由分部积分法得解：由分部积分法得 exexxexdxxxxxx2442d122)(ln2ln2dlne1e1e1e1e1=四、应用题四、应用题 4.1 求曲线上的点，使其到点的距离最短 解：解：曲线上的点到点的距离公式为 22)3(yxd+=d与2d在同一点取到最大值，为计算方便求2d的最大值点，将代入得 xxd+=22)3(令 xxxD+=2)3(

29、)(求导得 1)3(2)(+=xxD 令0)(2=d得25=x并由此解出210=y，即曲线上的点)210,25(和点)210,25(到点的距离最短 yx2=A(,)3 0yx2=A(,)3 0yx2=yx2=A(,)3 0QQ37428923614 4.2 在抛物线xy42=上求一点，使其与 x 轴上的点的距离最短 解：设所求点解：设所求点),(yxP=，则则yx,满足满足 xy42=点点 P 到点到点 A 的距离之平方为的距离之平方为 xxyxL4)3()3(222+=+=令04)3(2=+=xL 解得1=x 是唯一驻点，易知1=x 函数的极小点，当1=x 时，2=y 或2=y，所以满足条件

30、的有两个点)2,1(和)2,1(。4.3 某制罐厂要生产一种体积为 V 的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为解：设容器的底半径为 r，高为，高为 h，则其表面积为，则其表面积为 rVrrhrS222222+=+=224rVrS=由0=S，得唯一驻点32Vr=，由实际问题可知，当32Vr=时可使用料最省，此时34Vh=，即当容器的底半径与高分别为32V与34V时，用料最省 4.4.欲做一个底为正方形，容积为 62.5cm3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解解:设底边的边长为设底边的边长为 x，高为，高为 h，容器表面积为，容器表面积为y ，由已知 5.

31、622=hx,25.62xh=xxxxxxhxy2505.62442222+=+=+=令025022=xxy，解得5=x 是唯一驻点，易知5=x是函数的最小值点，此时有5.255.622=h,所以当 5=xcm,5.2=hcm，用料最省。4.5.欲做一个底为正方形，容积为 32cm3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解解:设底边的边长为设底边的边长为 x，高为，高为 h，容器表面积为，容器表面积为y ，由已知 322=hx,232xh=xxxxxxhxy12832442222+=+=+=令012822=xxy，解得4=x 是唯一驻点，易知4=x是函数的最小值点，此时有24322=h,所以当

32、4=xcm,2=hcm，用料最省。A(,)3 0QQ37428923615 4.6 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？解：如图所示，圆柱体高解：如图所示，圆柱体高h与底半径与底半径r满足满足 222lrh=+圆柱体的体积公式为 hrV2=将222hlr=代入得 hhlV)(22=求导得 )3()(2(22222hlhlhV=+=令0=V得lh33=，并由此解出lr36=即当底半径lr36=，高lh33=时，圆柱体的体积最大 五、证明题五、证明题（本题 4 分）5.1 当0 x时，证明不等式xxarctan 证明证明：设xxxFarctan)

33、(=，则有2221111)(xxxxF+=+=当0 x时，0)(xF，故)(xF单调增加，所以当0 x时有0)0()(=FxF，即不等式xxarctan成立，证毕 5.2.当0 x时，证明不等式)1ln(xx+证明：证明：设)1ln()(xxxF+=，则有xxxxF+=+=1111)(当0 x时，0)(xF，故)(xF单调增加，所以当0 x时有0)0()(=FxF，即不等式)1ln(xx+成立，证毕 5.3.若)(xf在,aa上可积并为奇函数，则0d)(=aaxxf 证明：由定积分的性质得证明：由定积分的性质得：+=aaaadxxfxxfxxf00)(d)(d)(令tx=，则dtdx=，且当ax=时，0=t 计算上式右端的第一项得=00)()(d(-t)(d)(aaoaaadttfdttftfxxf 因为)(xf 是奇函数，且定积分与积分变量的选取无关，于是有 =aaaadxxfdttftfttf0000)()(d(t)(d)(所以 0d)(=aaxxf，证毕 l QQ374289236