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1、海安中学20212022学年度高一年级阶段测试（二）数学试卷一、单选题（每题5分，共40分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 2. 若指数函数是上的单调减函数，则的取值范围是A. B. C. D. 3. 若2，则的终边在（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4. 下列对应中：（1），其中，；（2），其中，；（3），其中y为不大于x的最大整数，；（4），其中，.其中，是函数的是（ ）A. （1）（2）B. （1）（3）C. （2）（3）D. （3）（4）5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C 向左平
2、移个单位长度D. 向右平移个单位长度6. 青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（）A. 1.5B. 1.6C. 0.8D. 0.67. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 8. 设，则（ ）A. B. C. D. 二、多选题（每题5分，共20分）9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等
3、号的引入对不等式的发展影响深远若，则下列结论错误的是（ ）A. B. C. D. 10. 下列函数中最小值为4的是（ ）A. B. C. D. 11. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中正确的有（ ）A. 对于一个半径为1的圆，其“优美函数”仅有1个B. 函数可以是某个圆的“优美函数”C. 若函数是“优美函数”，则函数的图象一定是中心对称图形D. 函数可以同时是无数个
4、圆的“优美函数”12. 对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：在内单调递增或单调递减；存在区间，使在上的值域为，那么，把称为定义域内的闭函数，下列结论正确的是（ ）A. 函数是闭函数B. 函数是闭函数C. 函数是闭函数D. 函数是闭函数三、填空题（每题5分，共20分）13. 函数的定义域是_.14. 若幂函数图象过点，则的值为_.15. 已知函数是定义在2，2上奇函数，且在区间0，2上是单调减函数，若，则x的取值范围是_16. 若函数是偶函数，则_四、解答题（共80分）17. 计算与化简（1）化简（2）计算18. 已知集合，其中，全集R（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围19. 已知.（
5、1）若，且，求值.（2）若，且，求的值.20. 设是定义在R上的奇函数，且当时，.（1）求函数在R上解析式；（2）解关于x的不等式.21. 宜昌一中江南新校区拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角（弧度）.（1）求关于的函数关系式；（2）已知对花坛边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为，求关于的函数关系式，并求出的最大值.22. 已知函数.（1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围
6、；（3）若存在实数，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围（写出结论即可，无需论证）.海安中学20212022学年度高一年级阶段测试（二）数学试卷一、单选题（每题5分，共40分）1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】采用列举法表示出集合，由交集定义可得结果.【详解】由题意得：，.故选：B.2. 若指数函数是上的单调减函数，则的取值范围是A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由指数函数是上的单调性得出关于的不等式，解出即可.【详解】由于指数函数是上的单调减函数，则，解得.故选：C.【点睛】本题考查利用指数函数的单调性求参数，要熟悉
7、指数函数的单调性与底数之间的关系，考查运算求解能力，属于基础题.3. 若2，则的终边在（ ）A 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】根据角的弧度制与角度制之间的转化关系可得选项.【详解】因为1 rad57.30，所以2 rad114.60，故的终边在第三象限故选：C.4. 下列对应中：（1），其中，；（2），其中，；（3），其中y为不大于x的最大整数，；（4），其中，.其中，是函数的是（ ）A. （1）（2）B. （1）（3）C. （2）（3）D. （3）（4）【答案】B【解析】【分析】利用函数的定义，逐项分析是否满足定义判断即可【详解】（1），其中，；
8、满足函数的定义，（1）正确；（2），其中，不满足一个自变量有唯一一个实数y与之对应，例如当时，；不满足函数的定义，（2）不正确；（3），其中y为不大于x的最大整数，；满足函数的定义，正确；（4），其中，当时，对应的，（4）不正确故选：B5. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）.A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】C【解析】【分析】根据函数图象平移的性质：左加右减，并结合图象变化前后的解析式判断平移过程即可.【详解】将向左移动个单位长度有，只需将函数的图象向左平移个单位长度，即可得的图象.故选：C6. 青少年视力是社会普遍
9、关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足.已知某同学视力的五分记录法的数据为4.8，则其视力的小数记录法的数据约为（ ）（）A. 1.5B. 1.6C. 0.8D. 0.6【答案】D【解析】【分析】利用对数的定义及其已知条件即可求解.【详解】由已知条件得，解得，则.故选：.7. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】化简函数，分别写出每个选项对应的解析式，利用奇函数的定义判断.【详解】由题意得，对A，是奇函数；对B，关于对称，不是奇函数；对C，定义域为，不关于原
10、点对称，不是奇函数；对D，定义域为，不关于原点对称，不是奇函数；故选：A8. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据指数式与对数式互化公式，结合对数的运算性质进行判断即可.【详解】由，因，所以，由，因为，所以，因此，由，于是有：，因为，所以，因为，所以，即，故选：B【点睛】关键点睛：利用对数函数的单调性，结合两数的倒数和与之间的关系，进行判断是解题的关键.二、多选题（每题5分，共20分）9. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在砺智石一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远若，则下列结
11、论错误的是（ ）A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】由不等式的性质和指数函数、幂函数的单调性即可判断.【详解】对于A，若，当时，则可能成立或，故A错误；对于B，若，则可能成立或，故B错误；对于C，若，则成立，故C正确；对于D，若，则，则可能存在故D错误.故选：ABD.10. 下列函数中最小值为4的是（ ）A. B. C. D. 【答案】AC【解析】【分析】根据二次函数的性质，结合基本不等式、特例法逐一判断即可.【详解】A：，当时，函数有最小值4，所以本选项符合题意；B：当的最小值是4时，有，解得，而，所以方程无实数解，所以本选项不符合题意，C：，当且仅当时取等号，即当且仅当时
12、取等号，所以本选项符合题意；D：当时，显然4不可能是函数的最小值，所以不符合题意，故选：AC11. 中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”.如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分体现了相互转化、对称统一的形式美、和谐美.在平面直角坐标系中，如果一个函数的图象能够将某个圆的周长和面积同时平分，那么称这个函数为这个圆的“优美函数”.则下列说法中正确的有（ ）A. 对于一个半径为1的圆，其“优美函数”仅有1个B. 函数可以是某个圆的“优美函数”C. 若函数是“优美函数”，则函数的图象一定是中心对称图形D. 函数可以同时是无数个圆的“优美函数”【答案】BD【解析】【分析】根据“优
13、美函数”的含义可判断A，根据函数的奇偶性可判断B，利用反例可判断C，由函数的性质可判断D.【详解】对于A，过圆心的任一直线都可以满足要求，故A错误；对于B，函数为奇函数，关于原点对称，可以是单位圆的“优美函数”，故B正确；对于C，函数y=f(x)的图象是中心对称图形，函数一定是“优美函数”，但“优美函数”不一定是中心对称函数，如图，故C错误；对于D，函数关于原点对称，是圆，的“优美函数”，满足无数个，故D正确.故选：BD.12. 对于定义域为的函数，若同时满足下列条件：在内单调递增或单调递减；存在区间，使在上的值域为，那么，把称为定义域内的闭函数，下列结论正确的是（ ）A. 函数是闭函数B.
14、函数是闭函数C. 函数是闭函数D. 函数是闭函数【答案】ABD【解析】【分析】分别判断各个选项中函数的单调性，由单调性可确定最值，由值域可构造方程组确定是否存在满足题意的区间，从而得到结论.【详解】对于A，在上单调递增；当时，则函数是闭函数，A正确；对于B，在上单调递减；又，令，解得：，当时，则函数是闭函数，B正确；对于C，在上单调递增，但在内不是增函数，不符合闭函数定义，C错误；对于D，定义域为，且在上单调递增；又，令，是方程的两个不等实根，整理可求得或，当时，则函数是闭函数，D正确.故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义问题，解题关键是充分理解闭函数的定义，通过函数单调性得到
15、函数定义域和值域的关系，由此构造方程组可确定的取值，从而确定函数是否满足闭函数定义.三、填空题（每题5分，共20分）13. 函数的定义域是_.【答案】【解析】【分析】根据函数的解析式，列出不等式组求解即可.【详解】要使函数有意义，则需，解得且，所以函数的定义域为，故答案为：14. 若幂函数图象过点，则的值为_.【答案】3【解析】【分析】设幂函数，把点代入可得的值，求出幂函数的解析式，从而求得（9）的值【详解】解：设幂函数，把点代入可得，即，故（9），故答案为：315. 已知函数是定义在2，2上的奇函数，且在区间0，2上是单调减函数，若，则x的取值范围是_【答案】【解析】【分析】由函数f（x）是
16、奇函数，可得f（2x+1）f（1）根据单调性脱去“f”，求解即可【详解】函数f（x）是定义在2，2上的奇函数，且在区间0，2上是单调减函数函数f(x)在2，0上为单调减函数；由f（2x+1）+f（1）0，即f（2x+1）f（1）f（2x+1）f（1）则 解得：则x的取值范围是故答案为【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，注意奇函数的在对称区间上的单调性的性质；对于解抽象函数的不等式问题或者有解析式，但是直接解不等式非常麻烦的问题，可以考虑研究函数的单调性和奇偶性等，以及函数零点等，直接根据这些性质得到不等式的解集16. 若函数是偶函数，则_【答案】1【解析】【分析】利用偶函数的性质进
17、行求解即可.【详解】由为偶函数可得，即，所以因为，且，所以故答案为：1四、解答题（共80分）17. 计算与化简（1）化简（2）计算【答案】（1）；（2）1.【解析】【分析】（1）根据指数幂的运算化简求值即可；（2）根据对数的运算、性质化简求值.【详解】（1）原式 (2）原式18. 已知集合，其中，全集R（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围【答案】(1) （2）【解析】【详解】试题分析：（1）ab1，则ab1，求出集合A，再求AB；（2）根据a2，说明a2满足集合CUB中元素的几何性质，代入解不等式，可得答案试题解析：（1）因为，所以，故 ，因此（2）x (x1)(xa)0，由a2 得(a2
18、)( a2a)0， 解得或，所以的取值范围是19. 已知.（1）若，且，求值.（2）若，且，求的值.【答案】（1）或； （2）.【解析】【分析】（1）利用诱导公式结合化简，再解方程结合即可求解；（2）结合（1）中将已知条件化简可得，再由同角三角函数基本关系即可求解.【小问1详解】.所以，因为，则，或.【小问2详解】由（1）知：，所以，即，所以，所以，即，可得或.因为，则，所以.所以，故.20. 设是定义在R上的奇函数，且当时，.（1）求函数在R上的解析式；（2）解关于x的不等式.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据奇函数，利用换元法求出当时解析式，即可得到函数在R上的解析式；（2）
19、分别对，三种情况解不等式.【小问1详解】当时，.当时，所以.因为是定义在R上的奇函数，所以.所以.当时，有，从而.所以【小问2详解】由（1）知，当时，因，所以.当，.所以当时，.而当时，所以不等式在上无解.当时，不等式为，所以.记函数，因为，所以函数，均为R上的单调减函数，从而函数为R上的单调减函数.又，所以不等式的解集为.从而关于x的不等式的解集为.21. 宜昌一中江南新校区拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米，设小圆弧所在圆的半径为米，圆心角（弧度）.（1）求关于的函数关系式；（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分
20、的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为，求关于的函数关系式，并求出的最大值.【答案】（1），；（2），的最大值为.【解析】【详解】试题分析：（1）根据扇环周长等于两段弧长加两段线段，可得，解得，根据题意求自变量取值范围；（2）分别求出花坛的面积与装饰总费用，从而可得关于的函数关系式为，再变量分离，最后利用基本不等式求最值，注意等于号是否在定义区间.试题解析：（1）由题可知，所以，.（2）花坛的面积为（），装饰总费用为，所以花坛的面积与装饰总费用之比为.令，则，当且仅当时取等号，此时，.故花坛的面积与装饰总费用之比为，且的最大值为.22. 已知函数.（
21、1）若，判断函数的奇偶性，并加以证明；（2）若函数在R上是增函数，求实数a的取值范围；（3）若存在实数，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围（写出结论即可，无需论证）.【答案】（1）奇函数，证明见解析； （2）； （3）.【解析】【分析】（1）根据函数奇偶性的定义进行求解证明即可；（2）根据绝对值的性质，结合二次函数的单调性进行求解即可；（3）根据（2）的结论，运用分类讨论法，根据函数的单调性进行求解即可.【小问1详解】当时，所以，所以函数为奇函数；【小问2详解】，当时，的对称轴为；当时，的对称轴为；所以当时，在R上是增函数，即时，函数在R上是增函数；【小问3详解】方程的解
22、即为方程的解.当时，函数在R上是增函数，关于x的方程不可能有三个不相等的实数根；当时，即时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则当时，关于x的方程有三个不相等的实数根；即，因为，所以.设，因为存在实数，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，所以，又可证在上单调递增，所以，故；当时，即，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，则当时，关于x的方程有三个不相等的实数根；即，因为，所以，设，因为存在实数，使得关于x的方程有三个不相等的实数根，所以，而函数在上单调递减，所以，故；综上：.【点睛】关键点睛：根据绝对值的性质，结合二次函数的单调性，运用分类讨论思想进行求解是解题的关键.学科网（北京）股份有限公司