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1、1数学试题数学试题参考答案参考答案一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。题号12345678答案DACBDDCA1.【解析】0000000020222lim2 lim2 lim22xxxfxffxffxfxxxxxxxxx 02()4fx，故选 D2.【解析】个位数大于十位数的两位数个位数显然不能为 0，故只需在 1-9 九个数字中选两个，大的在个位，小的在十位即可，故共有2936C 种可能，故选 A3.【解析】由导函数图像可知原函数应是先增后减再增的，故在 B、C 中选择，随着x的增大，导函数越来越大，故原函数增长
2、越来越快，应选 C4.【解析】1(1),fxxfx将1x 带入可得 111(1),1ff，解得 11f，故选 B5【解析】22666()()()()xyxyyxyyxxyy其中含34x y的项为53566323xyxCyyCxy,34x y的系数为356626CC 故选 D6.【解析】人物传记有 5 种放法，这样五本书之间有 6 个空，两本不同的长篇小说选两个空插入即可不相邻，共有265A150种方法，故选 D7.【解析】20 19 182 1a ，10 10 1010 10b，均由 20 个数相乘组成，其中前两项和最后一项比较20 19 110 10 10，其他项18210 10，17310
3、 10直到11 910 10，故ab，1032403938222123456 8 11 2120 19 182 1c ，其中20 19 182 1a 里面前四项大于103223456 8 11 21 中的后五项，即20 19 18 1756 8 11 21 ，其他项均要对应大于或等于剩余1032345中的每一项，故ca，故选 C8.【解析】设切线与曲线lnyxx的切点为000(,ln)x xx，函数lnyxx的导函数为ln1yx，故0000ln1ln1xxyxx ，解得01x，故切线方程为1yx，当0a 时，2(2)2yaxaxx，显然成立，#QQABBYSAogiIAIJAABgCQQWwC
4、kMQkAAAACoGgEAEsAAAyRNABCA=#2当0a 时，2(2)yaxax与1yx联立，2(1)10axax，其中2(1)40aa，解得1a，故选 A二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。题号91011答案ABDBCACD9.【解析】对于 A:7 人全排列，所以 A 对.对于 B:插空法43451440A A 种.对于 C：捆绑法432432288A A A 种.对于 D：定序7744210AA种.答案：ABD10.【解析】对于 A:将1x 代入()()0
5、f xxfx，所以(1)0f.对于 B：构造函数()()f xg xx，所以当0 x 时，2()()()0 xfxf xg xx，则()g x在(0,)上单调递增，又因为()f x为奇函数，所以()g x为偶函数，在(,0)上单调递减，且(1)(1)01fg，如图所示.所以(4)(2)gg，B 对；对于 C：因为当0 x 时，()()0f xxfx,所以()()f xfxg xx，所以当1x 时，()()0fxg x，所以 C 对；对于 D：如图：()0f x 的解集为(1,0)(1,).11.【解析】对于 A：21ln()0 xfxx解得：0ex，所以()f x在(0,e)上单调递增，在(e
6、,)上单调递减，又因为ln2ln4(2)(4)24ff，所以(2)(3)ff，A 对.对于 B：由 A得1(e)ecf.对于 C:1212lnlnxxcxx，所以12121212lnlnlnlnxxxxcxxxx，所以由对数均值不等式得1212121212lnlnlnln2xxxxcxxxxxx，所以12ln()2x x，则212ex x，所以 C 对.对于 D：因为1212lnlnxxxx，所以11221111lnlnxxxx，令1tx，所以1122lnlntttt，即证122ett，设()lnh ttt，所以()ln10h tt，解得1et，所以()h t在1(,)e上单调递增，在1(0,
7、)e上单调递减.不妨令1210ett即证1221eett，即证2122()()()eh th tht，#QQABBYSAogiIAIJAABgCQQWwCkMQkAAAACoGgEAEsAAAyRNABCA=#3令21()()()(0)eek th thtt，因为222()()()ln1ln()1ln()2eeek th thttttt ，因为10et，所以2ln()(,2ett ，所以()0k t，则()k t在1(0,)e上单调递减，则1()()0ek tk，所以得证.D 对.三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。122；1312；141eln3（或写成31log e
8、e）12.【解析】2()2exfxa，因为()f x在0 x 处取得极值，所以0(0)2e0fa，所以2a ，经检验，符合题意.13.【解析】分两种情况：（1）只有甲参加 C 项目，则有1232C A6种分配方案；（2）甲与另外一人共同参与 C 项目，则有33A6种分配方案.综上：共有 12 种分配方案.14.【解析】存在正实数x，使得不等式1ln3ln30axxaa成立存在正实数x，使得不等式ln3ln30axxaa成立存在正实数x，使得不等式ln3ln3=3ln3axaxaxx xax成立，令()lnf xxx，存在正实数x，使得不等式 3axf xf成立因为31ax，结合 f x图象易得
9、存在正实数x使得3axx成立存在正实数x，使得不等式ln3ln3axxaxln成立存在正实数x，使得不等式lnln3xax成立存在正实数x，使得不等式maxlnln3xax成立易得maxln1exx，所以1ln3ea，即1eln3a四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.【解析】（1）当1,1ab 时，则32()1f xxxx，所以2()321fxxx 2 分(31)(1)0 xx，解得13x 或1x ，4 分所以()f x在1(,1),(,)3 上单调递增，在1(1,)3上单调递减.6 分#QQABBYSAogiIAIJAABgCQQWwCk
10、MQkAAAACoGgEAEsAAAyRNABCA=#4因为122()0327f，所以()f x只有一个零点.7 分(2)因为20ab，所以322()1f xxaxa x，所以22()32(3)()fxxaxaxa xa，9 分由()(3)()0fxxa xa解得12,3axa x 注意：写出()fx因式分解形式或直接得到两个根，均给到 9 分()当0a 时，()0fx 恒成立.10 分()当0a 时，3aa，所以由()(3)()0fxxa xa解得xa 或3ax.由()(3)()0fxxa xa解得3aax 11 分()当0a 时，3aa，所以()(3)()0fxxa xa解得3ax 或xa
11、.由()(3)()0fxxa xa解得3axa 12 分综上所述：当0a 时，()f x的单调递增区间为(,)，无减区间；当0a 时，()f x的单调递增区间为(,),(,)3aa，单调递减区间为(,)3aa；当0a 时，()f x的单调递增区间为(,),(,)3aa，单调递减区间为(,)3aa.13 分注意：单调区间出现并集符号扣 1 分.16.【解析】（1）令0 x 可得202402a 2 分令1x，得202401220243aaaa 4 分令1x 得012320241aaaaa 6 分两式相加得20240220242()31aaa7 分所以，2024202424620243122aaaa
12、.8 分（2）对2024220240122024(2)xaa xa xax 两边同时求导得20232202312320242024(2)xaa xa xax 23202412 分令1x 可得1234202423420242024aaaaa.15 分#QQABBYSAogiIAIJAABgCQQWwCkMQkAAAACoGgEAEsAAAyRNABCA=#517.【解析】（1）3 3sinBC，2 分1cosAB，4 分所以3 310,sincos2L；6 分注意：不写定义域不扣分（2）223 3cossinsincosL 8 分3322sin3 3cossincos令0L，解得tan3，因为0
13、,2，所以3，10 分当0,3时，0L，L单调递减；当 3 2，时，0L，L单调递增，12 分所以当3时，L取得最小值，min8L,14 分所以不能将 9 米的钢管抬过去 15 分法二（2）223 3cossinsincosL 8 分2222sin3cossin3sincos3cossincos令0L，解得310 分当0,3时，0L，L单调递减；当 3 2，时，0L，L单调递增，12 分所以当3时，L取得最小值，min8L，14 分所以不能将 9 米的钢管抬过去 15 分18.【解析】（1）()lnf xx，1()fxx，1 分(1)0,(1)1ff，所以切线方程为0(1)yx，即1yx 3
14、分（2）方法 1：()elnxf xx，定义域为(0,)，1()exfxx，21()e0 xfxx，所以()fx在(0,)上单调递增，5 分#QQABBYSAogiIAIJAABgCQQWwCkMQkAAAACoGgEAEsAAAyRNABCA=#61()e20,(1)e102ff，所以存在唯一01(,1)2x，使得0001()e0 xfxx，6 分当00 xx时，()0fx，()f x单调递减；当0 xx时，()0,()fxf x单调递增所以当0 xx时，()f x取最小值000()elnxf xx8 分00elnexx00001e2xxxx因此()2f x；10 分方法 2：()elnxf
15、 xx，定义域为(0,)，令()e1,()e1xxg xxg x，当0 x 时，()0,()g xg x单调递增，()(0)0g xg，所以当0 x 时，e1xx 6 分令11()ln1,()1xh xxxh xxx，当01x时，()0,()h xh x单调递增；当1x 时，()0,()h xh x单调递减所以()(1)0h xh，所以ln1xx 9 分因此()(1)(1)2f xxx 10 分注意：两个不等式至少需要证明一个，否则扣 2 分（3）方法 1：因为()elne1xf xax恒成立，所以maxlne1)exxa(11 分令lne1()exxF x，则1lne1()exxxF x，1
16、2 分因为1()lne1G xxx在(0,)上单调递减，且1()0eG，14 分所以当10ex时，()0,()F xF x单调递增；当1ex 时，()0,()F xF x单调递减16 分#QQABBYSAogiIAIJAABgCQQWwCkMQkAAAACoGgEAEsAAAyRNABCA=#7所以11emax1e1e()()eeeF xF因此11eea17 分方法 2：定义域为(0,)，1()exfxax，当0a时，()0,()fxf x单调递减，,()xf x ，此时不成立；11 分当0a 时，21()e0 xfxax，()fx在(0,)上单调递增，0,();,()xfxxfx ，所以存在
17、0(0,)x，使得0001()e0 xfxax，当00 xx时，()0fx，()f x单调递减；当0 xx时，()0fx，()f x单调递增所以0min00()()elnxf xf xax13 分001ln xx因为函数1()lnF xxx在(0,)上单调递减，所以由001lne+1xx得，010ex15 分因为001exax，所以令1()exG xx，则22(1)e()0exxxG xx，所以()G x在1(0,)e上单调递减，16 分所以1e11eea，即11eea17 分19.【解析】（1）()(1)(1)(1)(1)G xxxxx；2341464xxxx 4 分注意：两个解析式，写出一
18、个就给 4 分。（2）1232()(1)2(1)3(1)(1)nnnnG xxxxnx故展开式中nx的系数为123223nnnnnnnnCCCnC 6 分123123223nnnnnCCCnC 7 分#QQABBYSAogiIAIJAABgCQQWwCkMQkAAAACoGgEAEsAAAyRNABCA=#81(1)rnn rn rrCnC故nx的系数为11111232(1)()nnnnnnnnnanCCCC 8 分21112232(1)()nnnnnnnnnCCCC211233221(1)()(1)nnnnnnnnnCCCnC 10 分（3）显然13570aaaa11 分2460284868
19、81,28,70,28,1,aaCaCaCa故2468()1287028A xxxxx 13 分同样0123450,10,5,1bbbbbb，故2345()10105B xxxxx 15 分令24682345()()()(1287028)(10105)C xA xB xxxxxxxxx23456789101112131010285281840728630350150385xxxxxxxxxxxx16 分()C x中kx的系数kc为符合要求的k个人组成的小组的数目，所有组合的个数为101028528184072863035015038513328.17 分#QQABBYSAogiIAIJAABgCQQWwCkMQkAAAACoGgEAEsAAAyRNABCA=#