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1、圆锥曲线专题：调和点列-极点极线圆锥曲线专题：调和点列-极点极线一、一、问题综述(一)概念明晰(系列概念)：(一)概念明晰(系列概念)：1.1.调和点列：调和点列：如图，在直线l上有两基点A,B，则在l上存在两点C,D到A,B两点的距离比值为定值，即ACBC=ADBD=，则称顺序点列A,C,B,D四点构成调和点列(易得调和关系2AB=1AC+1AD)。同理，也可以C,D为基点，则顺序点列A,C,B,D四点仍构成调和点列。所以称A,B和C,D称为调和共轭。2.2.调和线束：调和线束：如图，若A,C,B,D构成调和点列，O为直线AB外任意一点，则直线OA,OC,OB,OD称为调和线束。若另一直线截
2、调和线束，则截得的四点A,C,B,D仍构成调和点列。3.3.阿波罗尼斯圆：阿波罗尼斯圆：如图，A,B为平面中两定点，则满足APBP=(1)的点P的轨迹为圆O，A,B互为反演点。由调和点列定义可知，圆O与直线AB交点C,D满足A,C,B,D四点构成调和点列。4.4.极点极线：极点极线：如图，A,B互为阿圆O反演点，则过B作直线l垂直AB，则称A为l的极点，l为A的极线.12024高考数学专项复习5.5.极点极线推广极点极线推广(二次曲线的极点极线二次曲线的极点极线)：(1).二次曲线Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0极点P(x0,y0)对应的极线为Ax0 x+By0y+Cx0y+y0 x
3、2+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0 x2x0 x,y2y0y,xyx0y+y0 x2,xx0+x2,yy0+y2(半代半不代)(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程x2a2+y2b2=1极点P(x0,y0)在椭圆外，PA,PB为椭圆的切线，切点为A,B则极线为切点弦AB:x0 xa2+y0yb2=1；极点P(x0,y0)在椭圆上，过点P作椭圆的切线l，则极线为切线l:x0 xa2+y0yb2=1；极点P(x0,y0)在椭圆内，过点P作椭圆的弦AB，分别过A,B作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x0 xa2+y0yb2=1；(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.(二二)重要
4、性质重要性质性质性质1 1：调和点列的几种表示形式：调和点列的几种表示形式如图，若A,C,B,D四点构成调和点列，则有ACBC=ADBD=2AB=1AD+1ACOC2=OBOAACAD=ABAOABOD=ACBD2性质性质2 2：调和点列与极点极线：调和点列与极点极线如图，过极点P作任意直线，与椭圆及极线交点M,D,N则点M,D,N,P成调和点列(可由阿圆推广)性质性质3 3：极点极线配极原则：极点极线配极原则若点A的极线通过另一点D，则D的极线也通过A一般称A、D互为共轭点推广：推广：如图，过极点P作两条任意直线，与椭圆分别交于点MN,HG，则MG,HN的交点必在极线上，反之也成立。二、二、
5、典例分析类型类型1 1：客观题中结论的直接运用：客观题中结论的直接运用例例1.1.(2013山东)过点（3，1）作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B则直线AB的方程为()A.2x+y3=0B.2xy3=0C.4xy3=0D.4x+y3=0解析：解析：直线AB是点（3，1）对应的极线，则方程为 3-1x-1+1y=1，即2x+y-3=0故选A例例2.2.(2010湖北)已知椭圆C:x22+y2=1的两个焦点F1，F2，点P(x0,y0)满足0 x202+y200,y10,y2b0）上，x0=acos，y0=bsin，0b0）与直线l1的唯一交点；(II)证明:tan,tan,t
6、an构成等比数列.5.5.(2011四川)椭圆有两顶点A(-1,0)、B(1,0)，过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P直线AC与直线BD交于点Q(1)当|CD|=322 时，求直线l的方程；6.6.(2008安徽)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点M(2,1)，且左焦点为F1(-2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|AP|QB|=|AQ|PB|，证明：点Q总在某定直线上7参考答案参考答案1.1.解析：设点P的坐标是（m,2m+4），则切点弦AB的方程为mx4+(2m+
7、4)y3=1，化简得(3x8y)m=1216y，令3x8y=1216y=0，可得x=2,y=34，故直线AB过定点 2，342.2.解析：由题知，p2=2p=4，则抛物线方程为y2=8x，设过点A作直线与抛物线C相切与另一点D，则经过这两个切点的连线BD就是点A对应的极线，其方程是3y=4 x-2y=43x-83。由于点A在抛物线的准线上，则焦点F在点A的极线上，B、F、D三点共线kBF=kBD=43，故选D3.3.解析：设P(82m,m)，易知P的极线方程为my+(82m)x=8，即m(2xy)=8x8可得弦AB必过 1，2，易得圆O：x2+y2=8上，过 1，2的最短的弦长为2 r2d2m
8、ax=2 34.4.分析：()由题知，P(x0,y0)与直线l1是椭圆的一对极点极线，则直线l1与椭圆相切，点P为切点，5.5.解析：(2)此题可以用常规方法和曲线系法，具体内容请参考上一讲，本专题研究一下其极点极线性质，对椭圆y22+x2=1，若以点P为极点，则其对应的极线过点 Q,设P(m,0)，其极线方程为0y2+mx=1，即x=1m，故可设点Q的坐标为1m,yQ，所以OP OQ=(m,0)1m,yQ=1，即OP OQ 为定值16.6.解析：(1)由题意得c2=21a2+1b2=1c2=a2b2，解得a2=4,b2=2，所求椭圆方程为x24+y22=1(2)解法：已知PBPA=QBQA，说明点P,Q关于椭圆调和共轭，根据定理3，点Q在点P对应的极线上，此极线方程为4x4+1y2=1，化简得2x+y2=0故点Q总在直线2x+y2=08