《2024届高考数学专项复习极点极线与调和点列调和线束（高观点下的圆锥曲线拓展）含解析.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024届高考数学专项复习极点极线与调和点列调和线束（高观点下的圆锥曲线拓展）含解析.pdf（51页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1极点极线与调和点列，调和线束专题(高观点拓展)极点极线与调和点列，调和线束专题(高观点拓展)近3年考情近3年考情考题示例考点分析关联考点考题示例考点分析关联考点2023年全国乙卷卷，第22题,调和线束平行截取中点证明中点问定点2022年新高考I卷，第21题调和线束平行截取中点已知中点与平行求定点2020年全国I卷，第22题自极三角形问题证明直线过定点题型解读题型解读【题型1】极点极线【题型2】调和点列模型【题型3】自极三点形与a2模型【题型4】斜率成等差模型【题型5】调和线束，平行截中点高考真题再现高考真题再现1(20232023 年全国乙卷)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(ab0)的离
2、心率是53，点A-2,0在C上(1)求C的方程；(2)过点-2,3的直线交C于P,Q两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N，证明：线段MN的中点为定点2024届高考数学专项复习极点极线与调和点列，调和线束（高观点下的圆锥曲线拓展）22(2020全国高考卷20)已知A、B分别为椭圆E：x2a2+y2=1(a1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D(1)求E的方程；x29+y2=1(2)证明：直线CD过定点.32,03(2022全国乙卷高考真题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A 0,-2,B
3、32,-1两点(1)求E的方程；y24+x23=1(2)设过点P 1,-2的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH 证明：直线HN过定点3高考模拟新题速递高考模拟新题速递【题型【题型1 1】极点极线】极点极线二次曲线的极点极线二次曲线的极点极线(1).二次曲线Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0极点P(x0,y0)对应的极线为Ax0 x+By0y+Cx0y+y0 x2+Dx0+x2+Ey0+y2+F=0 x2x0 x,y2y0y,xyx0y+y0 x2,xx0+x2,yy0+y2(半代半不代)(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程
4、x2a2+y2b2=1极点P(x0,y0)在椭圆外，PA,PB为椭圆的切线，切点为A,B则极线为切点弦AB:x0 xa2+y0yb2=1；极点P(x0,y0)在椭圆上，过点P作椭圆的切线l，则极线为切线l:x0 xa2+y0yb2=1；极点P(x0,y0)在椭圆内，过点P作椭圆的弦AB，分别过A,B作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x0 xa2+y0yb2=1；(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.1过点（3，1）作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B则直线AB的方程为()A.2x+y3=0B.2xy3=0C.4xy3=0D.4x+y3=02已知点P为2x+y=4上一动点过
5、点P作椭圆x24+y23=1的两条切线，切点分别A、B，当点P运动时，直线AB过定点，该定点的坐标是43(2024广东湛江一模)已知点P为直线x-y-3=0上的动点，过P作圆O:x2+y2=3的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆E:x+22+y-32=4上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为4(2024湖南衡阳二模)(多选)已知圆C:x2+y2=4,P是直线l:x+y-6=0上一动点，过点P作直线PA,PB分别与圆C相切于点A,B，则()A.圆C上恰有一个点到l的距离为2 2B.直线AB恒过点23,23C.AB的最小值是4 73D.四边形ACBP面积的最小值为2 14【题型【题型2 2
6、】调和点列模型】调和点列模型一、调和点列的充要条件一、调和点列的充要条件如图，若A,C,B,D四点构成调和点列，则有(一般前2个出现较多)ACBC=ADBD2AB=1AD+1ACOC2=OBOAACAD=ABAOABOD=ACBD二、调和点列与极点极线的联系二、调和点列与极点极线的联系如图，过极点P作任意直线，与椭圆交于M,N，与极线交点M则点M,D,N,P成调和点列，若点P的极线通过另一点D，则D的极线也通过P一般称P、D互为共轭点1(2024江南十校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为 1,0，其中一条渐近线的倾斜角为3.5(1)
7、求C的标准方程；x2-y23=1(2)过点T 2,0作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段AB上取一点E满足 AETB=EB AT，证明：点E在一条定直线上.2(安徽高考)设椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点M(2,1)，且左焦点为F1(-2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|AP|QB|=|AQ|PB|，证明：点Q总在某定直线上63已知F1、F2分别为椭圆C1:y2a2+x2b2=1(ab0)的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2:x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且
8、|MF1|=53.(1)求椭圆C1的方程;y24+x23=1(2)已知点P(1,3)和圆O:x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A,B，在线段AB上取一点Q，满足:AP=-PB，AQ=QB，(0且1).求证:点Q总在某定直线上.答案：x+3y=37【题型【题型3 3】自极三点形与】自极三点形与a a2模型模型如图,设 P 是不在圆雉曲线上的一点,过 P 点引两条割线依次交二次曲线于 E,F,G,H四点,连接对角线EH,FG 交于 N,连接对边 EG,FH交于 M,则直线 MN 为点 P 对应的极线.若P为圆雉曲线上的点,则过P点的切线即为极线.同理,PM为点N对应的极线,P
9、N为点 M所对应的极线.因而将 MNP 称为自极三点形.设直线 MN交圆锥曲线于点A,B两点,则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.从直线x=t上任意一点P向椭圆E:x2a2+y2b2=1 ab0的左右顶点A1,A2引两条割线PA1,PA2与椭圆交于M,N两点，则直线MN恒过定点a2t,020242024杭州二模杭州二模1已知A,B是椭圆E:x24+y2=1的左，右顶点，点M m,0m0与椭圆上的点的距离的最小值为1(1)求点M的坐标(2)过点M作直线l交椭圆E于C,D两点(与A,B不重合)，连接AC，BD交于点G()证明：点G在定直线上82已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为
10、F1(-3,0)，且过点P32,134.(1)求椭圆C的标准方程；x24+y2=1(2)已知A1,A2分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线x=1上任意一点，直线A1Q,A2Q分别交椭圆C于不同的两点M,N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标.9深圳二模深圳二模1已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点M 1,32，且焦距 F1F2=2 3，线段AB,CD分别是它的长轴和短轴(1)求椭圆E的方程；x24+y2=1(2)若N(s,t)是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线PQ经过定点s=1,t32，直线NA,NB与椭圆E的另一交点分别为P，Q；4,0t=2,sR R，直线N
11、C,ND与椭圆E的另一交点分别为P，Q 0,121020232023广州白云区高三统考广州白云区高三统考1已知双曲线的中心在原点且一个焦点为F 2,0，直线y=x-1与其相交于A，B两点，若AB中点的横坐标为-12(1)求双曲线的方程；(2)设A1，A2为双曲线实轴的两个端点，若过F的直线l与双曲线C交于M，N两点，试探究直线A1M与直线A2N的交点Q是否在某条定直线上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由2(2010江苏18)在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆x29+y25=1的左右顶点为A,B，右顶点为F，设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)，N
12、(x2,y2)，其中m0,y10,y2b0，点P m,0，直线l过点P(极点)且与椭圆交于不同的两点A,B，与直线x=a2m(极线)交于M，显然A，P，B，M四点形成调和点列(1)点N为直线x=m上任意一点，则kAN+kBN=2kMN(2)若点Q为直线x=a2m上一点，则kAQ+kBQ=2kPQ(3)若点P 0,m，直线l过点P(极点)且与椭圆交于不同的两点A,B，Q为直线y=a2m上一点，则1kAQ+1kBQ=2kPQ1220242024 湖北十一校第二次联考湖北十一校第二次联考1已知椭圆M:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为12，A，B分别为椭圆的左顶点和上顶点，F1为左焦点，且A
13、BF1的面积为32(1)求椭圆M的标准方程：答案：x24+y23=1(2)设椭圆M的右顶点为C、P是椭圆M上不与顶点重合的动点(ii)若直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点N，求证：2kQN-kQC为定值，并求出此定值(其中kQN、kQC分别为直线QN和直线QC的斜率)1320242024届广东省四校联考届广东省四校联考1过原点O的直线交椭圆E：x29+y2b2=1(b0)于A，B两点，R 2,0，ABR面积的最大值为2 5.(1)求椭圆E的方程x29+y25=1(2)连AR交椭圆于另一个交点C，又P92,m(m0)，分别记PA，PR，PC的斜率为k1，k2，k3，求k2k1+k3的
14、值.20132013江西卷江西卷1已知椭圆方程为x24+y23=1.设P是直线x=4上任意一点，AB是经过椭圆右焦点F的一条弦.记直线PA，PF，PB的斜率依次为k1，k2，k3.问：是否存在常数，使得k1+k3=k2.若存在，求的值；若不存在，说明理由.14【题型【题型5 5】调和线束，平行截中点】调和线束，平行截中点(1 1)调和线束：调和线束：如图，若A,C,B,D构成调和点列，O为直线AB外任意一点，则直线OA,OC,OB,OD称为调和线束。若另一直线截调和线束，则截得的四点A,C,B,D仍构成调和点列。(2 2)调和线束，平行截中点中点性质：与调和线束的一条直线平行的直线截另外三条直
15、线，其中一个交点为另外两个交点的中点如图，过P点的线束l1，l2，l3，l4，以下3个条件若其中2个成立则能得出第三个：(1)l5与l4平行;(2)AM=BM，(3)l1，l2，l3，l4为调和线束.(3)调和线束斜率关系补充调和线束斜率关系补充：对于一组调和线束l1，l2，l3，l4，记斜率分别为k1,k2,k3,k4，则2(k1k3+k2k4)=(k1+k3)(k2+k4)1若其一为0，则余者倒数为等差数列(调和平均)；2若其一不存在(=)，则余者为等差数列(算术平均)；3若“一对儿”为0和不存在，则另一对儿互为相反数；4若“两条，非一对儿”为0和不存在，则余者二倍关系。151已知椭圆x2
16、4+y2=1，过点P(-2,1)的直线与椭圆交于不同的两点C，D，直线BC，BD分别与x轴交于点M，N，求|AM|AN|的值2(2020年高考北京卷20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1过点A-2,-1，且a=2b(1)求椭圆C的方程：(2)过点B-4,0的直线l交椭圆C于点M,N，直线MA,NA分别交直线x=-4于点P,Q，求PBBQ的值1620242024 福建省名校联盟福建省名校联盟1已知椭圆E的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),A为E的左顶点，B为E的上顶点，E的离心率为12,ABO的面积为3(1)求E的方程；(2)过点P-2,1的直线交E于M、N两点，过点M且垂直于x轴的直线
17、交直线AN于点H，证明：线段MH的中点在定直线上20242024 福建泉州四校联考福建泉州四校联考1已知抛物线C:y2=2px(p0)经过点P 4,4(1)求抛物线C的方程及其准线方程(2)设O为原点，直线y=kx+2与抛物线C交于M，N(异于P)两点，过点M垂直于x轴的直线交直线OP于点T，点H满足MT=TH 证明：直线HN过定点1720242024 浙江浙江Z Z2020 第二次联考第二次联考1已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的左右焦点分别为F1,F2，点P-1,2在C的渐近线上，且满足PF1PF2.(1)求C的方程；(2)点Q为C的左顶点，过P的直线l交C于A,B两点，直线AQ与y轴
18、交于点M，直线BQ与y轴交于点N，证明：线段MN的中点为定点.20242024届届 广州广州1212月联考月联考1在平面直角坐标系xOy中，点F-3,0，点P x,y是平面内的动点.若以PF为直径的圆与圆O:x2+y2=4内切，记点P的轨迹为曲线E(1)求E的方程；(2)设点A 0,1，M t,0，N 4-t,0t2，直线AM，AN分别与曲线E交于点S，T(S，T异于A)，AHST，垂足为H，求 OH的最小值1820242024 山东淄博山东淄博 一模一模1在平面直角坐标系xOy中，点.F5,0，点P x,y是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆 D:x2+y2=1相切，记点 P 的轨迹为曲
19、线C.(1)求C的方程;(2)设点A(1,0),M(0,t),N(0,4-t)(t2)，直线 AM，AN 分别与曲线C交于点S，T(S，T 异于 A)，过点A作AHST，垂足为 H，求|OH|的最大值.20242024 湖北武汉湖北武汉 二调二调1已知双曲线E：x2a2-y2b2=1的左右焦点为F1，F2，其右准线l为x=a2c，点F2到直线l的距离为32，过点F2的动直线交双曲线E于A，B两点，当直线AB与x轴垂直时，AB=6(1)求双曲线E的标准方程；(2)设直线AF1与直线l的交点为P，证明：直线PB过定点1极点极线与调和点列，调和线束专题极点极线与调和点列，调和线束专题(高观点拓展高观
20、点拓展)近近3 3年考情年考情考题示例考题示例考点分析考点分析关联考点关联考点2023年全国乙卷卷，第22题,调和线束平行截取中点证明中点问定点2022年新高考I卷，第21题调和线束平行截取中点已知中点与平行求定点2020年全国I卷，第22题自极三角形问题证明直线过定点题型解读题型解读【题型1】极点极线【题型2】调和点列模型【题型3】自极三点形与a2模型【题型4】斜率成等差模型【题型5】调和线束，平行截中点高考真题再现高考真题再现1(20232023 年全国乙卷)已知椭圆C:y2a2+x2b2=1(ab0)的离心率是53，点A-2,0在C上(1)求C的方程；(2)过点-2,3的直线交C于P,Q
21、两点，直线AP,AQ与y轴的交点分别为M,N，证明：线段MN的中点为定点【答案】（1）y29+x24=1（2）0,3【高观点简析】记B-2,3，点B的极线y3-x2=1过点A，设极线与PQ交于点D，则B，P，D，Q为调和点列，AB，AP，AD，AQ为调和线束，而AB平行y轴，故MN的中点为y轴于极线的交点2【详解】(1)由题意可得b=2a2=b2+c2e=ca=53，解得a=3b=2c=5，所以椭圆方程为y29+x24=1.(2)由题意可知：直线PQ的斜率存在，设PQ:y=k x+2+3,P x1,y1,Q x2,y2，联立方程y=k x+2+3y29+x24=1，消去y得：4k2+9x2+8
22、k 2k+3x+16 k2+3k=0，则=64k22k+32-64 4k2+9k2+3k=-1728k0，解得k1)的左、右顶点，G为E的上顶点，AG GB=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D(1)求E的方程；x29+y2=1(2)证明：直线CD过定点.32,0【高观点】延长CB,AD交于点Q，ABCD=E，则EPG为自极三角形，故x=6为E点的极线，则 E为32,03【详解】(1)依据题意作出如下图象：由椭圆方程E:x2a2+y2=1(a1)可得：A-a,0，B a,0，G 0,1AG=a,1，GB=a,-1AG GB=a2-1=8，a2=9椭圆方程为
23、：x29+y2=1(2)方法一：设而求点法证明：设P 6,y0，则直线AP的方程为：y=y0-06-3x+3，即：y=y09x+3联立直线AP的方程与椭圆方程可得：x29+y2=1y=y09x+3，整理得：y02+9x2+6y02x+9y02-81=0，解得：x=-3或x=-3y02+27y02+9将x=-3y02+27y02+9代入直线y=y09x+3可得：y=6y0y02+9所以点C的坐标为-3y02+27y02+9,6y0y02+9.同理可得：点D的坐标为3y02-3y02+1,-2y0y02+1当y203时，直线CD的方程为：y-2y0y02+1=6y0y02+9-2y0y02+1-3
24、y02+27y02+9-3y02-3y02+1x-3y02-3y02+1，4整理可得：y+2y0y02+1=8y0y02+36 9-y04x-3y02-3y02+1=8y06 3-y02x-3y02-3y02+1整理得：y=4y03 3-y02x+2y0y02-3=4y03 3-y02x-32所以直线CD过定点32,0当y20=3时，直线CD：x=32，直线过点32,0故直线CD过定点32,0方法二【最优解】：数形结合二次曲线系方程设P(6,t)，则直线PA的方程为y=t9(x+3)，即tx-9y+3t=0同理，可求直线PB的方程为tx-3y-3t=0则经过直线PA和直线PB的方程可写为(tx
25、-9y+3t)(tx-3y-3t)=0可化为t2x2-9+27y2-12txy+18ty=0易知 A，B，C，D 四个点满足上述方程，同时 A，B，C，D 又在椭圆上，则有 x2-9=-9y2，代入式可得27-9t2y2-12txy+18ty=0故y27-9t2y-12tx+18t=0，可得y=0或 27-9t2y-12tx+18t=0其中y=0表示直线AB，则 27-9t2y-12tx+18t=0表示直线CD令y=0，得x=32，即直线CD恒过点32,03(2022全国乙卷高考真题)已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A 0,-2,B32,-1两点(1)求E的方程；y24+x
26、23=1(2)设过点P 1,-2的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH 证明：直线HN过定点 答案：(0,-2)【高观点简析】AB为P所对应的极线，故P，M，C，N四点成调和点列，故AP，AM，AC，AN 四条线成调和线束，因为直线HM平行AP，且T为HM中点，由调和线束平行性质(平行于一组调和线束中的其中一条直线交另外三条直线的三个交点，其中一个点为另外两个点的中点)，故H点必然在直线AN上，故直线HN过定(0,-2)5【详解】(I)解：设椭圆E的方程为mx2+ny2=1，过A 0,-2,B32,-1，则4n=194m+n=1，解得m=13，n=
27、14，所以椭圆E的方程为：y24+x23=1(II)证法一：定点为 0,-2，证明如下：点P 1,-2对应的极线为1x3+-2y4=1，即y=23x-2，即为直线AB，则AP,AB;AM,AN为调和线束，过M作MHAP，交AB,AN于T,H，由调和性质可知T为MH中点，故直线HN过定点 0,-2证法二：A 0,-2,B32,-1，所以AB:y+2=23x，若过点 P(1,-2)的直线斜率不存在，直线 x=1代入x23+y24=1，可得 M 1,-2 63，N 1,2 63，代入 AB 方程 y=23x-2，可得 T-6+3,-2 63，由 MT=TH 得到 H-2 6+5,-2 63求得 HN
28、 方程：y=2+2 63x-2，过点(0,-2)若过点P(1,-2)的直线斜率存在，设kx-y-(k+2)=0,M(x1,y1),N(x2,y2)联立kx-y-(k+2)=0 x23+y24=1,得(3k2+4)x2-6k(2+k)x+3k(k+4)=0，可得x1+x2=6k(2+k)3k2+4x1x2=3k(4+k)3k2+4，y1+y2=-8(2+k)3k2+4y2y2=4(4+4k-2k2)3k2+4，且x1y2+x2y1=-24k3k2+4(*)联立y=y1y=23x-2,可得T3y12+3,y1,H 3y1+6-x1,y1，可求得此时HN:y-y2=y1-y23y1+6-x1-x2(
29、x-x2)，将(0,-2)，代入整理得2(x1+x2)-6(y1+y2)+x1y2+x2y1-3y1y2-12=0，将(*)代入，得24k+12k2+96+48k-24k-48-48k+24k2-36k2-48=0，显然成立综上，可得直线HN过定点 0,-2高考模拟新题速递高考模拟新题速递【题型【题型1 1】极点极线】极点极线二次曲线的极点极线二次曲线的极点极线(1).二次曲线Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0极点P(x0,y0)对应的极线为Ax0 x+By0y+Cx0y+y0 x2+Dx0+x2+Ey0+y2+F=06x2x0 x,y2y0y,xyx0y+y0 x2,xx0+x2,y
30、y0+y2(半代半不代)(2)圆锥曲线的三类极点极线(以椭圆为例)：椭圆方程x2a2+y2b2=1极点P(x0,y0)在椭圆外，PA,PB为椭圆的切线，切点为A,B则极线为切点弦AB:x0 xa2+y0yb2=1；极点P(x0,y0)在椭圆上，过点P作椭圆的切线l，则极线为切线l:x0 xa2+y0yb2=1；极点P(x0,y0)在椭圆内，过点P作椭圆的弦AB，分别过A,B作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线x0 xa2+y0yb2=1；(3)圆锥曲线的焦点为极点，对应准线为极线.1过点（3，1）作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A、B则直线AB的方程为()A.2x+y3=0B.2x
31、y3=0C.4xy3=0D.4x+y3=0解析：直线AB是点（3，1）对应的极线，则方程为 3-1x-1+1y=1，即2x+y-3=0故选A2已知点P为2x+y=4上一动点过点P作椭圆x24+y23=1的两条切线，切点分别A、B，当点P运动时，直线AB过定点，该定点的坐标是解析：设点P的坐标是（m,2m+4），则切点弦AB的方程为mx4+(2m+4)y3=1，化简得(3x8y)m=1216y，令3x8y=1216y=0，可得x=2,y=34，故直线AB过定点 2，343(2024广东湛江一模)已知点P为直线x-y-3=0上的动点，过P作圆O:x2+y2=3的两条切线，切点分别为A，B，若点M为
32、圆E:x+22+y-32=4上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为【答案】【分析】根据意义可设 P x0,y0，求出直线AB的方程为x0 x+y-3y-3=0，且恒过定点 Q 1,-1，所以点M到直线AB的距离的最大值为 QE+R=7.【详解】设P x0,y0,A x1,y1,B x2,y2，则满足x0-y0-3=0，x12+y12=3，x22+y22=3；易知圆O:x2+y2=3的圆心为O 0,0，半径r=3；圆E:x+22+y-32=4的圆心为E-2,3，半径R=2，如下图所示：7易知OAPA,OBPB，所以OA PA=0，即x1x1-x0+y1y1-y0=0，整理可得x1x0+y1y
33、0-3=0；同理可得x2x0+y2y0-3=0，即A x1,y1,B x2,y2是方程x0 x+y0y-3=0的两组解，可得直线AB的方程为x0 x+y0y-3=0，联立x0-y0-3=0，即x0 x+y-3y-3=0；令x+y=0-3y-3=0，可得x=1y=-1，即x=1,y=-1时等式x0 x+y-3y-3=0与x0无关，所以直线AB恒过定点Q 1,-1，可得 QE=-2-12+3+12=5；又Q在圆O内，当ABQE，且点M为QE的延长线与圆E的交点时，点M到直线AB的距离最大；最大值为 QE+R=5+2=74(2024湖南衡阳二模)(多选)已知圆C:x2+y2=4,P是直线l:x+y-
34、6=0上一动点，过点P作直线PA,PB分别与圆C相切于点A,B，则()A.圆C上恰有一个点到l的距离为2 2B.直线AB恒过点23,23C.AB的最小值是4 73D.四边形ACBP面积的最小值为2 14【答案】BCD【分析】根据直线与圆的位置关系，求出圆上点到直线距离的最值可判断 A错误；求出直线AB的方程可得其恒过点23,23，利用弦长公式可求得 AB的最小值是4 73，可得 BC正确；进而求得四边形 ACBP面积的最小值为2 14，即D正确.【详解】易知圆心C 0,0，半径r=2，如下图所示：对于A，圆心 0,0到直线l:x+y-6=0的距离为d=62=3 2，可得圆C上的点到直线l距离的
35、最小值为3 2-22 2，所以圆C上恰有两个点到l的距离为2 2，即A错误；对于B，设P t,6-t,A x1,y1,B x2,y2，可得x21+y21=4,x22+y22=4；8易知PA=x1-t,y1-6+t,CA=x1,y1，由PA CA=x1x1-t+y1y1-6+t=0，整理可得tx1+6-ty1=4，同理可得tx2+6-ty2=4，即可知A,B两点在直线tx+6-ty=4上，所以直线AB的方程为tx+6-ty=4，即t x-y+6y-4=0，令x-y=06y-4=0，解得x=23y=23，所以直线AB恒过定点23,23，即B正确；对于C，由直线AB恒过定点23,23，当点23,23
36、与圆心C 0,0的连线垂直于AB时，AB的值最小，点23,23与圆心C 0,0之间的距离为d1=2 23，所以 ABmin=2 r2-d21=4 73，故C正确；对于D，四边形ACBP的面积为 PACA=2 PA，根据切线长公式可知 PA=PC2-r2=PC2-4，当 PC最小值，PA最小，所以，故四边形的面积为2 14，即D正确；故选：BCD【题型【题型2 2】调和点列模型】调和点列模型一、调和点列的充要条件一、调和点列的充要条件如图，若A,C,B,D四点构成调和点列，则有(一般前2个出现较多)ACBC=ADBD2AB=1AD+1ACOC2=OBOAACAD=ABAOABOD=ACBD二、调
37、和点列与极点极线的联系二、调和点列与极点极线的联系如图，过极点P作任意直线，与椭圆交于M,N，与极线交点M则点M,D,N,P成调和点列，若点P的极线通过另一点D，则D的极线也通过P一般称P、D互为共轭点91(2024江南十校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C的中心为坐标原点，对称轴是坐标轴，右支与x轴的交点为 1,0，其中一条渐近线的倾斜角为3.(1)求C的标准方程；x2-y23=1(2)过点T 2,0作直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，在线段AB上取一点E满足 AETB=EB AT，证明：点E在一条定直线上.【答案】x=12【高观点-简析】显然E在T的极线上，故E点轨迹
38、为T的极线x=12【详解】(1)根据题意，设双曲线的方程为x2a2-y2b2=1，由题知a=1，ba=tan3=3，可得b=3；所以双曲线方程为x2-y23=1.(2)易知T 2,0为双曲线的右焦点，如下图所示：由题知直线l斜率存在，根据对称性，不妨设斜率为k 0k3，故直线的方程为y=k x-2，代入双曲线方程得 3-k2x2+4k2x-4k2+3=0，设A x1,y1，B x2,y2，由韦达定理有x1+x2=-4k23-k2，x1x2=-4k2+33-k2，且x1-1，1x22，设E x0,y0，点E在线段AB上，所以x1x0b0)过点M(2,1)，且左焦点为F1(-2,0)(1)求椭圆C
39、的方程；(2)当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点Q，满足|AP|QB|=|AQ|PB|，证明：点Q总在某定直线上解析：(1)由题意得c2=21a2+1b2=1c2=a2b2，解得a2=4,b2=2，所求椭圆方程为x24+y22=1(2)解法：已知PBPA=QBQA，说明点P,Q关于椭圆调和共轭，根据定理3，点Q在点P对应的极线上，此极线方程为4x4+1y2=1，化简得2x+y2=0故点Q总在直线2x+y2=03已知F1、F2分别为椭圆C1:y2a2+x2b2=1(ab0)的上、下焦点，其中F1也是抛物线C2:x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限
40、的交点，且|MF1|=53.(1)求椭圆C1的方程;y24+x23=1(2)已知点P(1,3)和圆O:x2+y2=b2，过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A,B，在线段AB上取一点Q，满足:AP=-PB，AQ=QB，(0且1).求证:点Q总在某定直线上.答案：x+3y=3【高观点-简析】由题可知AP=BP，即APBP=AQBQ，故点Q在P点的极线上【详解】(1)设M x0，y0，因为点M在抛物线C2上，且|MF1|=53，所以x02=4y0y0+1=53，解得x0=-2 63y0=23，又点M在抛物线C1上，所以232a2+-2 632b2=1，且c=1，即b2=a2-1，解得a2=4,b
41、2=3，所以椭圆C1的方程y24+x23=1；(2)设 A x1,y1，B x2,y2，Q x,y，因为 AP=-PB，所以 1-x1，3-y1=-x2-1,y2-3，即有x1-x2=1-，1y1-y2=3 1-，2，11又AQ=QB，所以 x-x1，y-y1=x2-x,y2-y，即有x1+x2=x 1+，3y1+y2=y 1+，4，所以 1 3+2 4得：x12+y12-2x22+y22=x+3y1-2，又点A、B在圆x2+y2=3上，所以x12+y12=3，x22+y22=3，又1，所以x+3y=3，故点Q总在直线x+3y=3上【题型【题型3 3】自极三点形与】自极三点形与a a2模型模型
42、如图,设 P 是不在圆雉曲线上的一点,过 P 点引两条割线依次交二次曲线于 E,F,G,H四点,连接对角线EH,FG 交于 N,连接对边 EG,FH交于 M,则直线 MN 为点 P 对应的极线.若P为圆雉曲线上的点,则过P点的切线即为极线.同理,PM为点N对应的极线,PN为点 M所对应的极线.因而将 MNP 称为自极三点形.设直线 MN交圆锥曲线于点A,B两点,则PA,PB恰为圆锥曲线的两条切线.从直线x=t上任意一点P向椭圆E:x2a2+y2b2=1 ab0的左右顶点A1,A2引两条割线PA1,PA2与椭圆交于M,N两点，则直线MN恒过定点a2t,01220242024杭州二模杭州二模1已知
43、A,B是椭圆E:x24+y2=1的左，右顶点，点M m,0m0与椭圆上的点的距离的最小值为1(1)求点M的坐标(2)过点M作直线l交椭圆E于C,D两点(与A,B不重合)，连接AC，BD交于点G()证明：点G在定直线上【答案】（1）3,0（2）x=43【高观点-简析】如图，椭圆内接四边形 ABCD，连接2组对边与对角线交点，得 EGM 为自极三角形，故EG在M点的极线上，则G点轨迹为x=43【详解】解(1)设P x0,y0是椭圆上一点，则x02+4y02=4因为 PM=m-x02+y20=34x0-43m2-13m2+1,-2x02若032,PMmin=344-4m+m2+1=1，解得m=1(舍
44、去)或m=3所以M点的坐标位 3,0(2)()设直线l:x=ty+3,C x1,y1,D x2,y2由x=ty+3x24+y2=1，得 t2+4y2+6ty+5=0所以y1+y2=-6tt2+4,y1y2=5t2+4所以y1+y2=-65ty1y2由=16t2-800，得t5 或tb0)的左焦点为F1(-3,0)，且过点P32,134.(1)求椭圆C的标准方程；x24+y2=1(2)已知A1,A2分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线x=1上任意一点，直线A1Q,A2Q分别交椭圆C于不同的两点M,N.求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标.【答案】(4,0)【高观点解析】椭圆内接四边形有自极三角形
45、模型，故 MN过x轴上一定点，该定点的极线为 x=1，故定点为(4,0)【详解】【详解】(1)椭圆的一个焦点F1(-3,0)，则另一个焦点为F2(3,0)，由椭圆的定义知:PF1+PF2=2a，所以32-32+1342+32-32+1342=2a，解得a=2.又b2=a2-c2=1，所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)设Q(1,t),M(x1,y1),N(x2,y2)，则直线A1Q:y=t3(x+2)，与x24+y2=1联立可得 4t2+9x2+16t2x+16t2-36=0，所以xA1+xM=-16t24t2+9，所以xM=-16t24t2+9-xA1=-8t2+184t2+9，所
46、以yM=t3-8t2+184t2+9+2=12t4t2+9，所以M-8t2+184t2+9,12t4t2+9，又直线A2Q:y=-t(x-2)，与x24+y2=1联立可得 4t2+1x2-16t2x+16t2-4=0，所以xA2+xN=16t24t2+1，所以xN=16t24t2+1-xA2=8t2-24t2+1，所以yN=-t8t2-24t2+1-2=4t4t2+1，所以N8t2-24t2+1,4t4t2+1所以直线MN的斜率为12t4t2+9-4t4t2+1-8t2+184t2+9-8t2-24t2+1=-2t4t2+3所以直线MN:y-12t4t2+9=-2t4t2+3x-8t2+184
47、t2+9=-2t4t2+3(x-4)所以直线MN恒过定点，且定点坐标为(4,0).14深圳二模深圳二模1已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(ab0)经过点M 1,32，且焦距 F1F2=2 3，线段AB,CD分别是它的长轴和短轴(1)求椭圆E的方程；x24+y2=1(2)若N(s,t)是平面上的动点，从下面两个条件中选一个，证明：直线PQ经过定点s=1,t32，直线NA,NB与椭圆E的另一交点分别为P，Q；4,0t=2,sR R，直线NC,ND与椭圆E的另一交点分别为P，Q 0,12【高观点-简析】(2)如图，椭圆内接四边形ABQP，连接2组对边，由自极三角形模型可知，N点轨迹为M点的极线，故
48、M 4,0(3)如图，N点的轨迹为M点的极线方程y=2，故M点坐标为 0,12【详解】(1)由已知，c=3，点M 1,32在椭圆上，所以1a2+34b2=1，又因为a2-b2=c2，所以a2=4,b2=1，所以椭圆的方程为：a2=4,b2=1.(2)选，则N(1,t),A-2,0,B 2,0，设P xP,yP,Q xQ,yQ，kNA=t1+2=t3,kNB=t1-2=-t,所以lNA:y=t3x+2,lNB:y=-t x-2,y=t3x+2x24+y2=1 消去y得：9+4t2x2+16t2x+16t2-36=0，=256t4-4 9+4t216t2-36=3620所以-2xP=16t2-36
49、9+4t2，所以xP=-8t2+189+4t2，则yP=12t9+4t2，所以P-8t2+189+4t2,12t9+4t2，y=-t x-2x24+y2=1，消去y得：1+4t2x2-16t2x+16t2-4=0，=256t4-4 1+4t216t2-4=160，所以2xQ=16t2-41+4t2，所以xQ=8t2-21+4t2，则yQ=4t1+4t2，所以15Q8t2-21+4t2,4t1+4t2，所以kPQ=12t9+4t2-4t1+4t2-8t2+189+4t2-8t2-21+4t2=32t3-24t36-64t4=-2t3+4t2，所以直线PQ的方程为：y-4t1+4t2=-2t3+4
50、t2x-8t2-21+4t2，所以16y4+8x-32t3+16yt2+2x-8t+3y=0，所以y=0,x=4，故直线PQ恒过定点 4,0.选，则N(s,2),C 0,1,D 0,-1，设P xP,yP,Q xQ,yQ，kNC=2-1s=1s,kND=2+1s=3s,所以lNC:y=1sx+1,lND:y=3sx-1,y=1sx+1x24+y2=1 消去y得：4+s2y2+2s2y+s2-4=0，=4s4-4 4+s2s2-4=640所以yP=s2-4s2+4，所以xP=-8ss2+4，所以P-8ss2+4,s2-4s2+4同理：yQ=36-s2s2+36，所以xQ=24ss2+36，所以Q